清華大學(xué)計(jì)算固體力學(xué)第七次課件ale公式-資料下載頁(yè)
2025-05-15 12:08本頁(yè)面
【正文】 思想：當(dāng)用差分方程求解偏微分方程時(shí) ，利用特征線方向一側(cè)的單邊差商來(lái)代替空間偏導(dǎo)數(shù) 。 目的是保證數(shù)值穩(wěn)定性 。 如一階線性常系數(shù)雙曲型方程： 7 PetrovGalerkin方法 ,0,0 ??????? txuatu在特征線方向一側(cè)的單邊差商來(lái)代替偏導(dǎo)數(shù) ， 迎風(fēng)格式為： j1 n+1 a0 n j j+1 j1 n+1 a0 n j j+1 ,0,0,0,01111??????????????ahuuauuahuuauunjnjnjnjnjnjnjnj?? 中心差分格式需要加入 非線性人工粘性 項(xiàng)以去掉激波前振蕩 ， 同時(shí)加入 線性數(shù)值粘性項(xiàng) 以確保計(jì)算穩(wěn)定 。 迎風(fēng)格式依據(jù) Euler方程中波傳播的信息構(gòu)造格式 ， 無(wú)需添加人工粘性項(xiàng) ， 迎風(fēng)格式為空間差分格式 (偏心差分格式 )， 理論上比中心差分格式扎實(shí) 。 7 PetrovGalerkin方法 如果差分格式 (所用的網(wǎng)格點(diǎn) )與微分方程的特征線方向一致 ， 那么網(wǎng)格比 在滿足一定條件下是穩(wěn)定的 ， 否則 ， 差分格式是不穩(wěn)定的 。 h?雙曲線型微分方程的特征線－存在交叉，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。 7 PetrovGalerkin方法 穩(wěn)態(tài)線性對(duì)流－擴(kuò)散方程為 02 ????? ???u運(yùn)動(dòng)粘度 給定速度 對(duì)于一維問(wèn)題，偏微分方程成為常微分方程 22ddddxxu??? ?應(yīng)用邊界條件 1)(0)0( ?? L?? 和這是在 0xL 域上的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，容易證明公式的精確解答是 ??? uLuxeex???11)(空間非獨(dú)立變量 7 PetrovGalerkin方法 00),( ???? udxuw xxx , ????應(yīng)用線性形狀函數(shù)建立 Galerkin離散，并在全域上積分 變分函數(shù) 分部積分并且應(yīng)用散度原理，對(duì)流－擴(kuò)散方程的弱形式是 00, Uwdxwdxwu xxx ?????? ??? ??將域（ 0， L）劃分成相同尺寸的單元 在每個(gè)單元上的離散方程給出為 e?? ? ? ? 2,1,0, ????? badxNNdxNuN be xbxabe xba ??? ??有限元的形狀函數(shù) 022 2 1111 ????????? ??????????? ? ???? xxu jjjjj ? ????? ??對(duì)于第 j個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)部方程為 7 PetrovGalerkin方法 上式 恰好是中心差分方程，可以方便地重寫成為 0)2()(2 1111 ?????? ???? jjjjjxu ??????1 如果 Peclet數(shù)小于 1， 則離散解答是類似于精確解答； 2 如果 Peclet數(shù)大于 1， 則離散解答是正或者負(fù)而振蕩。 這種不穩(wěn)定是數(shù)值離散的空間不穩(wěn)定。 ?2exuP ??Peclet數(shù) ? ? ?? juxj eccx 21 ??精確解 ? ?jj PPccx????????????ee21 11?離散解 111ee ??????????? jPP111ee ??????????? jPP? ?不連續(xù)變分函數(shù)變分函數(shù)xG a le r k in ,~ ???將上式中的變分函數(shù) 重寫為 2x????式中 選擇 是為了消除振蕩，期望得到精確解。 如 ?????? ??ee PP1)c ot h(?簡(jiǎn)化成為中心差分方法 0??1?? 是一個(gè)完全的迎風(fēng)公式 ?00),( ???? udxuw xxx , ????7 PetrovGalerkin方法 應(yīng)用線性形狀函數(shù)建立 Galerkin離散，并在全域上積分 ? ? ?? ? ? ???? Nee xxxxxxx e vuwdxvuw 1 ),(,),(0 ?????逆 PG項(xiàng) G項(xiàng) 總結(jié) ALE網(wǎng)格 ， 調(diào)整網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)的相對(duì)速度 。 邊界處 ， Lagrangian化； 在內(nèi)部 ， Eulerian化； 穩(wěn)定性 ， 增加粘性 。
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