【正文】 制多邊形頂點(diǎn)。 ?若生成的曲線通過給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，則首先必須根據(jù)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)反求控制多邊形的頂點(diǎn)，然后再代入曲線。 ? 非均勻 B樣條曲線的實(shí)現(xiàn) 給定數(shù)據(jù)點(diǎn) di(i=0,1,…,n 1)就是控制多邊形的頂點(diǎn)。 對于開口曲線 ， n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)只畫 n3段曲線，需 n2個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)。而計(jì)算 [Ui, Ui+1]上的一點(diǎn)，要用到除它們之外的前 3個(gè)和后 3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，所以在首尾各添加 3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)，一共需要 n+4個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值。為使曲線過給定數(shù)據(jù)的首末點(diǎn)，令 U0=U1=U2=0；Un+1=Un+2=Un+3=1；全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為： 用 Hartley－ Judd方法，即所畫曲線段對應(yīng)的控制多邊形的長度與總控制多邊形的長度之比確定節(jié)點(diǎn)參數(shù)。 nkkiuunKssKsjjiKijjii ,2,111111 ????????? ???????????? ，U0=U1=U2=0； UK， UK＋ 1， … ， Un； Un+1=Un+2=Un+3=1； ? 不過點(diǎn)三次非均勻 B樣條曲線 對于閉合曲線 ， n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)畫 n段曲線 ， 需 n＋ 1個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)曲線；首尾各添加 3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù) ， 共 n＋ 7個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù) 。 由于不過點(diǎn)閉合曲線 ， 不通過控制多邊形的首末點(diǎn) ， 全部節(jié)點(diǎn)參數(shù)為： U0＝ 0U1U2UKUK＋ 1… Un＋ 3Un+4Un+5Un+6=1 各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值采用 Hartley－ Judd方法。計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)后，就可以計(jì)算基函數(shù) Ni,K(u)的值，然后用曲線方程計(jì)算各段曲線上的點(diǎn) 對于過點(diǎn)曲線，給定的數(shù)據(jù)點(diǎn) Pi (i=0,1,…,n 1)是曲線上的點(diǎn)。由曲線方程知，必須先計(jì)算出節(jié)點(diǎn)參數(shù)，再計(jì)算基函數(shù) Ni,K(u)的值，代入曲線方程，才能反算出控制多邊形的頂點(diǎn)： ????3, )()(iijKjj uNdupn個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) ， 反求出 n+2個(gè)控制頂點(diǎn) ， 畫 n1段曲線 ， 需 n個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)；首尾各添加 3個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù) ， 一共需要 n+6個(gè)節(jié)點(diǎn)參數(shù)值；在曲線首端重 3段曲線首段的長度 ， 在曲線的末端重 3段曲線末段的長度 。 所有節(jié)點(diǎn)參數(shù)為： U0＝ 0U1U2UKUK＋ 1…U n＋ 2Un+3Un+4Un+5=1 i=1,2,?? ,n+5, L為包含附加段在內(nèi)的總長 。 LUUiii11?? ??＝? 過點(diǎn)三次非均勻 B樣條曲線 根據(jù)節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算基函數(shù) Ni,K(u)的值，代入曲線方程可以計(jì)算 n個(gè)已知的曲線上的點(diǎn)，得如下方程： ??? ?? ?? 3 3,3 )()( i ij iiKjji puNdup],[],[ 2343 ??? ?? nii uuuuu 1,1,0 －ni ??寫成矩陣形式如下： ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1n2n3,1n1n2n1033,00n1n212n3,n2n3,1n1n3,n1n3,1n1n3,2n43,343,243,133,233,1d)u(Npppd)u(Npdddd)u(N)u(N)u(N)u(N)u(N)u(N)u(N)u(N)u(N)u(N????對于開口曲線 ， d0=P0, dn+1=Pn1，上述方程組是“追趕法”能夠求解的三對角方程。求出 d0,d1,……,d n,dn+1共 n+2個(gè)控制頂點(diǎn)，即可以畫出 n1曲線。 （ 閉合曲線省略 ） ?????niKiiniKiiiuNuNdup0,0,)()()(??wi， i=0， 1， … ， n稱為權(quán)因子； Ni,K(u)是 B樣條的基函數(shù) ? 有理 B樣條曲線 非均勻 B樣條考慮節(jié)點(diǎn)分布不勻稱的影響，但與所有已介紹的計(jì)算曲線一樣，非均勻 B樣條不能精確表達(dá)二次曲線曲面，采用有理 B樣條，可以統(tǒng)一表達(dá)自由曲線曲面和二次曲線曲面。 有理 B樣條曲線的表達(dá)式為： ?當(dāng) Ni,K(u)是均勻基函數(shù)時(shí) ， p(u)為均勻有理 B樣條曲線； ?當(dāng) Ni,K(u)是非均勻基函數(shù)時(shí) ， p(u)為非均勻有理 B樣條 (NonUniform Rational BSpline ， 簡稱 NURBS)曲線； ?通過合理的定義權(quán)系數(shù) ， NURBS曲線能夠精確地描述二次圓錐曲線 。 目前已納入到產(chǎn)品形狀定義的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)之中 。 ?曲線設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵在于 基函數(shù)的選擇 ，選擇合適的基函數(shù)能夠使系數(shù)矢量具有更明確的 幾何意義 ，繪圖操作簡單直觀。 ?基函數(shù)和參數(shù)化方法的選擇對曲線的精度、光順性、局部修改性具有決定性的影響。 ?整個(gè)曲線設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)方向是在提高精度、保證光順性的同時(shí)追求 靈活的操作、明確的幾何意義和良好的局部修改性 。 iniiuu ?? 0)( aP ＝ ????3, )()(iijKjj uNdup???ninii tBt1, )()( dp? 曲線設(shè)計(jì)結(jié)論 ： 用 OpenGL生成曲線和曲面 在 OpenGL中， GLU函數(shù)庫提供了一個(gè) NURBS接口。用戶需要提供的數(shù)據(jù)包括控制點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)等數(shù)據(jù)，控制點(diǎn)描述曲線的大致形狀，節(jié)點(diǎn)控制 B樣條函數(shù)的形狀。繪制一條 NURBS曲線的步驟： （ 1）提供控制點(diǎn)序列和節(jié)點(diǎn)序列； （ 2）創(chuàng)建一個(gè) NURBS對象，設(shè)置 NURBS對象屬性； （ 3）繪制曲線； 創(chuàng)建一個(gè) NURBS對象 ， 用如下兩條語句： GLUnurbsObj *theNurbs； theNurbs=gluNewNurbsRender( )； 創(chuàng)建對象后 ， 用如下函數(shù)設(shè)置 NURBS對象屬性： void gluNurbsProperty(GLUnurbsObj * nobj， GLenum property， Glfloat value)； 曲線的繪制是在 gluBeginCurve( )/gluEndCurve( )函數(shù)對中完成 。 繪制曲線的函數(shù)為： void gluNurbsCurve (GLUnurbsObj * nobj， GLint nknots， GLfloat * knot， GLint stride， GLfloat *ctlarray， GLint order， GLenum type)； 具體參數(shù)含義在下面程序?qū)崿F(xiàn)中解釋。 詳見 OpenGL專著有關(guān)說明。 void CView::DrawNurbsCurve( ) { GLfloat controlPoints[7][3] = {{, , }, {, , }, {, , }, {, , }, { , , }, {, , },{, , } }。//給定控制點(diǎn) GLfloat knots[14] = { , , , , , , , , , , , , , }。 //節(jié)點(diǎn) glColor3f (, , )。 GLUnurbsObj *theNurb。 //創(chuàng)建 NURBS對象 theNurb = gluNewNurbsRenderer( )。 gluNurbsProperty (theNurb, GLU_SAMPLING_TOLERANCE, )。 //屬性 // GLU_SAMPLING_TOLERANCE表示邊緣最大像素長度 glNewList(1, GL_COMPILE)。 gluBeginCurve(theNurb)。 gluNurbsCurve(theNurb, /*NURBS曲線對象 */ 14, /*參數(shù)區(qū)間節(jié)點(diǎn)數(shù)目＝控制點(diǎn)數(shù)＋ NURBS曲線階數(shù) */ knots, /*節(jié)點(diǎn) */ 3, /*曲線控制點(diǎn)之間的偏移量 */ (float*)controlPoints, /*控制點(diǎn) */ 7, /*曲線階數(shù) */ GL_MAP1_VERTEX_3)。 /*曲線類型 */ gluEndCurve(theNurb)。 glEndList()。 glCallList(1)。 } ? 用 OpenGL生成 NURBS曲面 NURBS曲面的繪制與 NURBS曲線的繪制過程是一致的。但曲面是二維參數(shù)曲面，需定義兩個(gè)節(jié)點(diǎn)序列。繪制一張 NURBS曲面的步驟： （ 1）給定控制點(diǎn)序列和節(jié)點(diǎn)序列 （ 2）給出或自動(dòng)生成法矢序列 （ 3）創(chuàng)建 NURBS對象并確定屬性 （ 4）進(jìn)行光照 （ 5）激活各種所需功能 （ 6）繪制曲面 （ 7）掛起各種已用功能 繪制 NURBS曲面的函數(shù)是： void gluNurbsSurface (GLUnurbsObj * nobj， GLint sknot_count ， GLint * sknot， GLint tknot_count ， GLint * tknot， GLint s_stride， GLint t_stride，Glfloat *ctlarray， GLint sorder， GLint torder， GLenum type)； 參數(shù)含義見書中程序。 曲面實(shí)現(xiàn)代碼較長，參見 ～ 210