【導讀】著十分重要的意義,因而在自然科學、工程技術以及社會科學等領域中得到廣泛的應用.數(shù)在經(jīng)濟學中的應用.的一種理論性模型,因而稱為微分中值定理.分別舉例說明之.這個條件是相當特殊的,它使羅爾定理的應用受到限制.拉格朗。時速度.因此,拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶.xxxfy稱為有限增量公式.而需要函數(shù)增量的準確表達式時,拉格朗日中值定理。院供職，1719年因中風去世。羅爾在數(shù)學上的成就主要是在代數(shù)方面，專長于丟番圖方程的研究。方面的非議，其中也包括羅爾，并且他是反對派中最直言不諱的一員。在這場論戰(zhàn)中，羅爾認為無窮小方法由于。間，展開了異常激烈的爭論。由于羅爾對此問題表現(xiàn)。得異常激動，致使科學院不得不屢次出面干預。弗爾等人承認他已經(jīng)放棄了自己的觀點，并且充分認識到無窮小分析新方法價值。xf的兩個相鄰的實根之間，方程0)(?xf至少有一個根。一百多年后，即1

　　

【正文】 l i m ???? kkxxfx且 bkxxfx ???? )(lim，則 y=kx+b 是曲線 16 )(xfy? 的斜漸近線 . 二、函數(shù)圖形的描繪 ：對于一個函數(shù)，若能作出其圖形，就能從直觀上了解該函數(shù)的性態(tài)特征，并可從其圖形清楚地看出因變量與自變量之間的相互依賴關系 . 在中學階段，我們利用描點法來作函數(shù)的圖形 . 這種方法常會遺漏曲線的一些關鍵點，如極值點、拐點等 . 使得曲線的單調(diào)性、凹凸性等一些函數(shù)的重要性態(tài)難以準確顯示出來 . 本節(jié)我們要利用導數(shù)描繪函數(shù) )(xfy? 的圖形，其一般步驟如下 : 第一步 確定函數(shù) )(xf 的定義域 , 研究函數(shù)特性如 : 奇偶性、周期性、有界性等 , 求出函數(shù)的一階導數(shù) )(xf? 和二階導數(shù) )(xf? 。 第二 步 求出一階導數(shù) )(xf? 和二階導數(shù) )(xf? 在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點，并求出函數(shù))(xf 的間斷點和導數(shù) )(xf? 和 )(xf? 不存在的點 , 用這些點把函數(shù)定義域劃分成若干個部分區(qū)間 。 第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi) )(xf? 和 )(xf? 的符號 , 并由此確定函數(shù) 的增減性和凹凸性，極值點和拐點 。 第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其它變化趨勢 。 第五步 算出 )(xf? 和 )(xf? 的零點以及不存在的點所對應的函數(shù)值，并在坐標平面上定出圖形上相應的點；有時還需適當補充一些輔助作圖點 (如與坐標軸的交點和曲線的端點等 )； 然后根據(jù)第三、四步中得到的結(jié)果，用平滑曲線聯(lián)接而畫出函數(shù)的圖形 . 例題選講： 求曲線漸近線 例 1 求曲線1 )3)(2(2)( ? ??? x xxxf的漸近線 . 解：由 ???? )(lim1 xfx，所以 x=1 為曲線 )(xfy? 的鉛直漸近線 . 因為 41 )3(4l i m21 )3)(2(2l i m)2)((l i m,2)(l i m ?????? ????????????? xxxx xxxxfx xf xxxx 故 y=2x+4 為曲線 )(xfy? 的斜漸近線 . 例 2 求曲線 2)1( ??? xey 的漸近線 . 解：由 0lim 2)1( ????? xx e， y=0 為曲線 )(xfy? 的水平漸近線 . 例 3 求23 )1( ?? xxy 的漸近線 . 解：由 ?????? 231 )1(lim x xx，所以 x=1 為曲線 )(xfy? 的鉛直漸近線 . 因為 2)1(l i m)(l i m,1)1(l i ml i m 2322 ????????? ???????? xx xxyx xxy xxxx 所以 y=x2 為曲線 )(xfy? 的斜漸近線 . 函數(shù)作圖 例 4 作函數(shù) ? ? 123 ???? xxxxf 的圖形 . 17 例 5 作函數(shù) 2)1(4)(2 ??? xxxf的圖形 . 例 6 作函數(shù) 2221)(xex ????的圖形 . 例 7 作函數(shù)2)3( 361 ??? x xy的圖形 . 課堂練習 0,0 ?? yx 是否都是函數(shù)x xxf sin)( ?的漸近線 ? xxy 12 ?? 的圖形 第七節(jié) 曲率 在生產(chǎn)實踐和工程技術中，常常需要研究曲線的彎曲程度，例如，設計鐵路、高速公路的彎道時，就需要根據(jù)最高限速來確定彎道的彎曲程度 . 為此，本節(jié)我們介紹曲率的概念及曲率的計算公式 . 本節(jié)主要內(nèi)容 1 弧微分的概念 2 曲率及其計算公式 3 曲率圓的概念 4 曲率中心的計算公式 講解提綱： 一、 弧微分的概念 微分三角形； 22 )()( dydxds ?? 二、 曲率及其計算公式 ： 定義 單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小， || s??? 表示弧段的平均曲率，記作 ?K ，當 0??s 時，平均曲率的極限就是曲率，即 ||lim0 sK s ??? ?? ? 計算公式 ： .)1( 232yyK????? 三、 曲率圓的概念 ： 1 曲率半徑 曲線 )(xfy? 在點 M(x,y)處的曲率為 K(K不為零 ).在點 M 處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點 D,使 ??? KDM 1|| .以 D 為圓心， ? 為半徑作圓，這個圓稱為曲線在點 M 處的曲率圓，曲率圓的半徑 ? 叫做曲線在點 M 處的曲率半徑 . 18 2 曲率中心 曲率圓的圓心 D 叫做曲線在點 M 處的曲率中心 四、 曲率中心的計算公式 設曲線的方程是 )(xfy? ，且其二階導數(shù) 39。y 在點 x不為零， 則曲線在對應點 M(x,y)的曲率中心 ),( ??D 的坐標為 1 39。39。239。39。 )1( y yyx ???? 39。39。239。1 yyy ???? 例題選講： 曲率的計算與應用 例 1 拋物線 cbxaxy ??? 2 上哪一點的曲率最大 ? 解：2/322/3239。39。39。39。39。39。])2(1[ |2|)1( ||,2,2 bax ayykaybaxy ???????? 因此當 x=b/2a 時曲率最大 例 2 計算等邊雙曲線 xy=1 在點 (1,1)處的曲率 解法同上 例 3 求曲線 xy secln? 在點 (x,y)處的曲率與曲率半徑 . 解： xyxx xxy 239。39。39。 s e c,t a ns e ct a ns e c ??? 因此曲率 |c os|)tan1( s e c 2/322 xxxk ??? 曲率半徑 |sec|/1 xk ??? 例 4 求橢圓 ??? ?? tby tax sincos 在 ? ?b,0 點處的曲率及曲率半徑 . 解： tbytaxtbytax s i n,c o s。c o s,s i n 39。39。39。39。39。39。 ??????? 因此曲率 |||)c oss i n( ||)( || ),0(2/322222/3239。239。39。39。39。39。39。39。abtbta abyx yxyxk b ???? ?? 曲率半徑 ||/1 bak ??? 課堂練習 1. 橢圓 tx cos2? , ty sin3? 上哪些點處曲率最大 ? 2. 對數(shù)曲線 xy ln? 上那一點處的曲率半 徑最?。壳蟪鲈擖c處的曲率半徑 . 第八節(jié) 方程的近似解 高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難希望尋求方程近似根的有效計算方法 . 19 本節(jié)主要內(nèi)容 1 求近似實根的步驟 2 二分法和切線法 (牛頓法 ) 講解提綱： 一、求近似實根的步驟 ： （ 1）確定根的大致范圍 ????根的隔離 （ 2） 以根的隔離區(qū)間的端點作為根的初始近似值 ,逐步改善根的近似值的精確度 ,直至求得滿足精確度要求的近似實根 . 二、二分法和切線法 (牛頓法 ). 1 二分法 )(xf 在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)， 0)()( ?bfaf ，且方程 0)( ?xf 在 (a,b)內(nèi)只有一個實根 ? ，取中點 21 ba???，若 0)( 1 ??f 則 1? 即為所求根；若 0)()( 1 ??faf ，則),( 1?? a? ，令 111 , ??? baa ；否則 ),( 1 b??? ，令 bba ?? 111 ,? . 對新區(qū)間 ],[ 11ba 重復以上步驟，反復進行得 ?? ???? ],[],[],[ 11 nn bababa 若取 ],[ nn ba 的中點 )(21nnn ba ???作為 ? 的近似根，則誤差滿足 )(21||1 abnn ???? ??. 2 切線法 (牛頓法 )： 其基本思想是用切線近似代替曲線弧求方程的近似根 . 例題選講： 例 1 證明方程 0163 23 ???? xxx 在區(qū)間 (0,1)內(nèi)有唯一的實根，并用二分法求根的近似值 ,使誤差不超過 . 解：令 163)( 23 ???? xxxxf ，其在 [0， 1]上連續(xù)且 f(0)=10,f(1)=30，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理，至少存在一點 )1,0(?? 使得 0)( ??f 。 而 0]1)1[(3)( 239。 ???? xxf ，所以 f(x)單調(diào)增加，故方程在（ 0， 1）內(nèi)有唯一的實根 . 例 2 求方程 0133 ??? xx 的近似根 ,使誤差不超過 解：令 033)(,13)( 239。3 ?????? xxfxxxf ，函數(shù)單調(diào)遞增。 f(x)在 [0， 1]上連續(xù)，且 f(0)=10,f(1)=30,故方程 0133 ??? xx 在 (0,1)內(nèi)有唯一實根 . 課堂練習 0155 ??? xx 在區(qū)間 (0,1)內(nèi)有唯一的實根，并用切線法求根的近 似值 , 20 使誤差不超過 . 2. 求方程 1ln ?xx 的近似根 ,使誤差不超過 本章小結(jié)： 1 微分中值定理及其應用 (1) 微分中值定理及其相互關系 : 羅爾定理 。拉格朗日中值定理 ?？挛髦兄刀ɡ?。泰勒中值定理 。 (2)微分中值定理的主要應用 : 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài) 。 證明恒等式或不等式 。 證明有關中值問題的結(jié)論 (3)有關中值問題的解題方法 : 利用逆向思維 , 設輔助函數(shù) .一般解題方法 :1) 證明含一個中值的等式或根的存在 ,多用羅爾定理 ,可用原函數(shù)法找輔助 函數(shù) 。 2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個不同函數(shù) ,可考慮用柯西中值定理 。 3) 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 ,必須多次應用中值定理 。 4) 若已知條件中含高階導數(shù) , 多考慮用泰勒公式 有時也可考慮對導數(shù)用中值定理 。 5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧 . 2 導數(shù)應用 (1) 研究函數(shù)的性態(tài) : 增減 ,極值 ,凹凸 ,拐點 ,漸近線 ,曲率 (2) 解決最值問題 : 目標函數(shù)的建立與簡化 。 最值的判別問題 (3) 其他應用 :求不定式極限 。幾何應用 。證明不等式 。研 究方程實根等 .