線代答案第三章-資料下載頁(yè)
2025-08-26 11:21本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣?其逆矩陣就是其本身?試?yán)镁仃嚨某醯茸儞Q?
【正文】 因此當(dāng) ??1 時(shí) ? 方程組有無窮多個(gè)解 . 16? 非齊次線性方程組 ???????? ????????2321 3213212222??xxx xxxxxx 當(dāng) ?取何值時(shí)有 解？并求出它的解 ? 解 ?????????????2211 1212112??B~????????????????)2)(1(000)1(32110121????? 要使方程組有解 ? 必須 (1??)(??2)?0? 即 ??1? ???2? 當(dāng) ??1 時(shí) ? ?????????????1211 11212112B ~???????? ??0000 01101101 ? 方程組解為 ??? ? ??3231 1xx xx 或 ?????????333231 1xx xxxx ? 即 ??????????????????????????001111321 kxxx (k 為任意常數(shù) )? 當(dāng) ???2 時(shí) ? ????????? ?????4211 21212112B ~???????? ??0000 110101 ? 方程組解為 ??? ?? ?? 223231 xx xx 或 ?????? ????333231 22xx xxxx ? 即 ??????????????????????????022111321 kxxx (k 為任意常數(shù) )? 17? 設(shè)???????????? ????????1)5(42 24)5(2122)2(321321321????xxx xxxxxx ? 問 ?為何值時(shí) ? 此方程組有唯一解、無解或有 無窮多解 ? 并在有無窮多解時(shí)求解 ? 解 B? ????????????? ????1542 24521222???? ~ ???????????? ?????)4)(1()10)(1(00 11102452???? ???? ? 要使方程組有唯一解 ? 必須 R(A)?R(B)?3? 即必須 (1??)(10??)?0? 所以當(dāng) ??1 且 ??10 時(shí) ? 方程組有唯一解 . 要使方程組無解 ? 必須 R(A)?R(B)? 即必須 (1??)(10??)?0 且 (1??)(4??)?0? 所以當(dāng) ??10 時(shí) ? 方程組無解 . 要使方程組有無窮多解 ? 必須 R(A)?R(B)?3? 即必須 (1??)(10??)?0 且 (1??)(4??)?0? 所以當(dāng) ??1 時(shí) ? 方程組有無窮多解 ?此時(shí)，增廣矩陣為 B~ ???????? ?0000 00001221 ? 方程組的解為 ???????????3322321 1xx xxxxx ? 或 ?????????????????????????? ??????????00110201221321 kkxxx (k1? k2為任意常數(shù) )? 18? 證明 R(A)?1 的充分必要條件是存在非零列向量 a 及非零行向量 bT? 使 A?abT? 證明 必要性 ? 由 R(A)?1 知 A 的標(biāo)準(zhǔn)形為 )0 , ,0 ,1(001000000001????????????????????????????????????????????????? 即存在可逆矩陣 P和 Q? 使 )0 , ,0 ,1(001?????????????????P A Q ? 或 11 )0 , ,0 ,1(001?? ????????????????? QPA ? 令?????????????? ?0011Pa ? bT?(1? 0? ???? 0)Q?1? 則 a 是非零列向量 ? bT是非零行向量 ? 且 A?abT? 充分性 ? 因?yàn)?a 與 bT是都是非零向量 ? 所以 A 是 非零矩陣 ? 從而 R(A)?1? 因?yàn)? 1?R(A)?R(abT)?min{R(a)? R(bT)}?min{1? 1}?1? 所以 R(A)?1? 19? 設(shè) A 為 m?n 矩陣 ? 證明 (1)方程 AX?Em 有解的充分必要條件是 R(A)?m? 證明 由定理 7? 方程 AX?Em 有解的充分必要條件是 R(A)?R(A? Em)? 而 | Em|是矩陣 (A? Em)的最高階非零子式 ? 故 R(A)?R(A? Em)?m? 因此 ? 方程 AX?Em 有解的充分必要條件是 R(A)?m? (2)方程 YA?En有解的充分必要條件是 R(A)?n? 證明 注意 ? 方程 YA?En 有解的充分必要條件是 ATYT?En有解 ? 由 (1) ATYT?En有解的充分必要條件是 R(AT)?n? 因此，方程 YA?En有解的充分必要條件是 R(A)?R(AT)?n? 20? 設(shè) A為 m?n 矩陣 ? 證明 ? 若 AX?AY? 且 R(A)?n? 則 X?Y? 證明 由 AX?AY? 得 A(X?Y)?O? 因?yàn)?R(A)?n? 由定理 9? 方程 A(X?Y)?O 只有零解 ? 即 X?Y?O? 也就是 X?Y?
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