【正文】 用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面 BC。 ③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn) A A A 不在平A 點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn) A 的直線 l 上，記作： A∈ l；點(diǎn) A 在直線 l外，記作 A l； 第 2 頁(yè) 直線與平面的關(guān)系：直線 l 在平面α內(nèi)，記作 l l 不在平面α內(nèi)，記作 l （ 2） 公理 1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 （即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線） 應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號(hào)語(yǔ)言表示公理 1： A l,B l,A ,B l （ 3）公理 2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一 平面。 公理 2 及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù) （ 4）公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn) ,那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 符號(hào)：平面α和β相交，交線是 a，記作α∩β＝ a。 符號(hào)語(yǔ)言： P A B A B l,P l 公理 3 的作用： ①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。 ②它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。 ③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。 （ 5）公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 （ 6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 ①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 ②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 ③異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線 a、 b 是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn) O，分別引直線 a’∥ a， b’∥ b，則把直線 a’和 b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a 和 b 所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（ 0176。， 90176。 ]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。 說(shuō)明：（ 1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直 線的定義；②異面直線的判定定理 （ 2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn) O 是任取的，而和點(diǎn) O的位置無(wú)關(guān)。 ②求異面直線所成角步驟： A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn) 選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角 （ 7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。 （ 8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) —— 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)． 三種位置關(guān)系的符號(hào) 表示： a a∩α＝ Aa∥α （ 9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行 —— 沒(méi)有公共點(diǎn)；α∥β 相交 —— 有一條公共直線。α∩β＝ b 空間中的平行問(wèn)題 （ 1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì) 線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行 ,則該直線與此平面平行。 第 3 頁(yè) 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交， （ 2）平面 與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個(gè)平面平行的判定定理 （ 1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 （線面平行→面面平行）， （ 2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。 （線線平行→面面平行）， （ 3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行， 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 （ 1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行→線面平行） （ 2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行） 空間中的垂直問(wèn)題 （ 1）線線、面面、線面垂直的定義 ①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。 ③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。 （ 2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 ①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 ②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 空間角問(wèn)題 （ 1）直線與直線所成的角 ①兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0 ②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn) O，分別作與兩條異面直線 a， b平行的直線 a ,b這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。 （ 2）直線和平面所成的角 0。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為 90。 ③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條 直線和這個(gè)平面所成的角。 在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（ 1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（ 2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 （ 3）二面角和二面角的平面角 ①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二 第 4 頁(yè) 面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角 ④求二面角的方法 定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的 平面角 空間直角坐標(biāo)系 （ 1）定義：如圖， OBCD D,A,B,C,是單位正方體 .以 A 為原點(diǎn)， 分別以 OD,OA,OB的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸 x軸 .y軸 .z軸。 這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 ） O叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2） x軸，y 軸， z 軸叫做坐標(biāo)軸 .3）過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。 （ 2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)?x 軸正方向，食指指向?yàn)?y 軸正向，中指指向則為 z 軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。 （ 3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn) M 的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，有序?qū)崝?shù)組 (x,y,z)叫做點(diǎn) M 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 M(x,y,z)（ x 叫做點(diǎn) M的橫坐標(biāo)， y叫做點(diǎn) M 的縱坐標(biāo)，z 叫做點(diǎn) M 的豎坐標(biāo)） （ 4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式： d (x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2z1)2 第 5 頁(yè)