【導讀】中最基本、最重要的過程之一。勢壘的量子隧穿現(xiàn)象在微電子學、半導體器件、新型材料和介觀物理等中都有重要的應用。本文則是利用透射矩陣方法，通過求。能量變化的特點。本文共分四個部分。第一部分主要介紹了量子隧穿效應的概念以及近年來的。陣方法來研究勢壘隧穿問題。第二部分則通過理論分析一個d勢壘中粒子的非束。第三部分運用透射矩陣()Mk得到了計算等間。第四部分通過數(shù)值分析，模擬了電子穿過一個d勢壘、兩個d勢

　　

【正文】 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 443NN N M kCAM k D k M k D k D k M k （ ） （ 35） 四、 結果與討論 考慮的 入射 粒子為電子，勢壘之間寬度單位為 5= olA， 0=x 處的勢壘高度為 0 20=v eV ， 即 特征長度為 ( )2 2 2 00 0 0/ / 1 0 3 . 8 1 5nn == 鬃 ? ohheeL m m e A，其中的常量為 10=?eC， 10=?em kg， 341 .0 5 4 1 0 = 醋h Js。 接下來將分四 種情況分別數(shù)值分析并繪圖，討論電子通過勢壘時波函數(shù)及其物理性質。 1. 單 d 勢壘 情形 圖 1 電子能量分別為 1 0 2 0 3 0= 、 、E eV eV eV時，一個 d 勢壘兩側的波函數(shù)（實部）圖 我們先從單個的 電子從左 側 入射一個 d 勢壘的情形 來 討論。 借助 Wolfram Mathematica○R 軟件 [6][7]，可由式 （ ） ~（ ） 和其間的銜接條件和邊界條件可得出對應的電子能量為 1 0 2 0 3 0= 、 、E eV eV eV定態(tài)波函數(shù)實部圖 （見 圖 1）和電子通過勢壘的透射系數(shù) S 和反射系數(shù) R 分別與電子的能量 E 和勢壘的高度 0v 的關系 （見圖 2 和圖 3）。 圖 2 電子能量為 20=E eV 時，透射系數(shù) S 和反射系數(shù) R 與 d 勢壘的高度 0v 的變化關系 第 13 頁（共 16 頁） 圖 3 d 勢壘高度為 0 20=v eV 時，透射系數(shù) S 和反射系數(shù) R 與電子能量 E 的變化關系 由以上圖像可以看出，電子通過 d 勢壘時的波函數(shù)實部部分是以勢壘所在處為對稱軸，呈偶函數(shù) 對稱 分布；隨著電子能量 E 的不斷增加、勢壘高度 0v 的不斷降低，透射系數(shù) S 逐漸增大，相應的反射系數(shù) R 逐漸減小，換句話說，電子的能量與勢壘的高度相比越大，電子的勢壘貫穿效應 就會 越明顯， 即越會 毫無障礙的通過勢壘。 2. 兩 個 d 勢壘 情形 現(xiàn)在討論當電子從左側遇到兩個 d 勢壘時的情況 ，以從左向右的方向為正方向 。 根據(jù)式 （ ） ~（ ） 可得知 ， 與定態(tài) 波函數(shù) 相聯(lián)系的 幾率流密度 為 ( ) ( ) ( ) 22222 jjjj **輊 輊輊犏 ⅱ= = = 犏犏犏 臌 臌臌h h h %%d d k kJ x x x A A A Am i d x d x m m（ ） 上式，表征了 兩個 d 勢壘中的波函數(shù)對應于兩個平面波 的代數(shù)和 ，它們的動量 方向 相反 。其中 第一項對應于正方向 幾率流密度 ，第二項對應于負方向 幾率流密度 。接下來，我們先取兩個勢壘的高度 0120==v v eV相同、勢壘間距 5= olA保持不變，并且假定 總的 正方向 入射波 0ikxAe 波幅 0 1=A ，總的負方向 入射波 2162。%ikxAe波幅 2 0162。=%A 。 由此，我們就可以得到電子在兩個 d 勢壘中總的透射幾率 S 、反射幾率 R 與電子能量 E 的關系（如圖 4），以及在兩個勢壘之間正負方向上的幾率流密度與總的正向入射幾率流密度之比 ( )0/177。JJ隨電子能量 E 的變化情況（如圖 5）。 第 14 頁（共 16 頁） 圖 4 總的反射系數(shù) R （ a） 和透射系數(shù) S （ b） 與電子能量 E 的變化關系 由圖 4 可以看到明顯的共振透射現(xiàn)象。正方向入射的電子透過勢壘后，碰到兩側的勢壘壁發(fā)生反射與透射。在電子能量 E 滿足一定條件的情況下，經(jīng)過多 次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干疊加，使總的雙勢壘透射波波幅大增，從而出現(xiàn)共振透射。在電子能量 E 不斷增大之后總的透射系數(shù)趨近于 1，即也 意味著反射系數(shù)趨近于 0，電子會更加毫無障礙的透過勢 壘。 圖 5 兩勢壘之間 0/+JJ（ a） 和 0/JJ（ b） 與電子能量 E 的變化關系 根據(jù)圖 5 可以發(fā)現(xiàn)，當電子能量 E 與勢壘高度 v 相比較小的時候，兩個勢壘之間的正負方向的 幾率流密度 會在總正向入射 幾率流密度 的基礎上劇烈擺動， 甚至是入射 幾率流密度 的數(shù)十倍以上，可見共振現(xiàn)象的劇烈程度。隨著能量 E 的不斷增加，勢壘間正向的 幾率流密度 會趨近于入射前的 幾率流密度 的大小，負向 幾率流密度 趨近于 0，這也說明了在勢壘之間，高能量的電子會更加毫無障礙的通過每一個勢壘。 3. 三個 d勢壘 以上 情形 仿照兩個 d 勢壘的假設和討論方法， 針對三個 d 勢壘的勢場情況 進行數(shù)值模（ a） （ b） （ a） （ b） 第 15 頁（共 16 頁） 擬，最后總結出一般的結論以適用于更多勢壘的情形。 同樣，我們假定三個 d 勢壘之間的間距 5= olA固定，勢壘的高度0 1 2 20= = =v v v eV保持不變。由此就可以得到電子從正方向入射時，總的透射系數(shù) S 和反射系數(shù) R 以及勢壘之間正方向上的幾率流密度 0/+JJ與電子能量 E的變化關系（見圖 6 和圖 7）。 圖 6 總的反射系數(shù) R （ a） 和透射系數(shù) S （ b） 與電子能量 E 的變化關系 圖 7 第一個勢壘之間 （ a） 和第二個勢壘 （ b） 之間 0/+JJ與電子能量 E 的變化關系 從圖中可以看出，除了出現(xiàn) 總 透射系數(shù)為 1 的共振能級外，還出現(xiàn)了“次共振能級”。 可見，在三勢壘系統(tǒng)中，影響其總透射系數(shù)的是一個比較復雜的能級之間的耦合，或者說是在各勢壘之間正負方向上電子波動的復雜疊加。通過數(shù)值分析四個 d 勢壘中的總透射系數(shù)與電子能量的關系變化（見圖 8），可以發(fā)現(xiàn) 該“次共振能級”仍只 形成 一組，并且隨著勢壘個數(shù) N 的增加， 該 能級 分布變得更加密集；在 N 個 d 勢壘 中， 相鄰兩個共振能級之間會存在 2N 個“次共振能級”。最后，隨著電子能量 E 的不斷增加， 總透射系數(shù)趨近于 1， 周期 d 勢壘對入射電子的阻礙會越來越小。 （ a） （ b） （ a） （ b） 第 16 頁（共 16 頁） 圖 8 在四個 d 勢壘中，總透射系數(shù) S 與電子能量 E 的變化關系 4. 非對稱 等間距 分布的 d 勢壘對透射系數(shù)的影響 接下來，我們以兩個 d 勢壘的情形為例，討論 d 勢壘的非對稱周期分布對電子總的透射系數(shù) S 的影響。 可由推廣后的等間距分布 d 勢壘中波函數(shù)的銜接關系式（ ） ~（ ），就可以得到電子入射時總透射系數(shù) S 與電子能量 E 隨著相對 d 勢壘高度不同情況的變化關系（見圖 9）。 圖 9 0 25 , 50 ,100=v eV eV eV， 1 50=v eV 時，總透射系數(shù) S 和電子能量 E 的變化關系 由上圖可以得出結論， 隨著各 等間距 d 勢壘的 相對 高度 逐漸接近，電子的共振現(xiàn)象就越明顯， 在共振能級處形成了不完全隧穿 （透射系數(shù) 1S185。 ） 。 當各勢壘的高度完全相同時，電子的共振達到最大，此時 共振能級處的透射系數(shù) S 皆為 1。 參考文獻 [1]李春雷 ,肖景林 .勢壘的非對稱性對隧穿幾率的影響 .內蒙古名族大學學報（自然科學版） ,2020,21(03):253256 0112=vv 01=vv 012=vv 第 17 頁（共 16 頁） [2]張紅梅 ,劉德 .透射矩陣方法與矩形勢壘的量子隧穿 .河北科技大學學報 ,2020,27(03):196199 [3], 、 陳星奎譯 .量子力學 .第一卷 .上冊 .[M].高等教育出版社 .1984:276301 [4]張永德 .量子力學 .[M].北京 :科學出版社 ,2020 [5]曾謹言 .量子力學導論 .第二版 .[M].北京大學出版社 ,2020:6975 [6] .鄧建松 ,彭冉冉 .Mathematica 使用指南 .[M].科學出版社 .2020. [7]董建 .Mathematica 與大學物理計算 .[M].清華大學出版社 .2020:226279.