【導(dǎo)讀】：表題黑體小三號(hào)字，內(nèi)容五號(hào)字，行距18磅。通過腦電分析來認(rèn)識(shí)腦的活動(dòng)是一種有效的無創(chuàng)手段。析工具之一，而且還在繼續(xù)蓬勃向前發(fā)展著。研究小波的新理論、新方法以。在噪聲中如何準(zhǔn)確地檢測(cè)到信號(hào)。離，獲得滿意的去噪效果。本文對(duì)小波分析在腦電信號(hào)去噪中的應(yīng)用進(jìn)行了。較為深入研究和討論。在幾種方法中，因小波閉值去噪法，原理簡單易行，效。本文提出了一種基于正交小波變換的腦電信號(hào)去。試驗(yàn)表明，該方法具有很好的有效性。

　　

【正文】 t c tfゥ= ? ? ?= + F邋 ? (220) 當(dāng) J 時(shí)，上式變?yōu)? ( ) ( ),j k j kjkf t d tfゥ= ? ?= 邋 (221) 即對(duì)應(yīng)于 1AB==時(shí)的離散小波變換綜合公式 (或逆小波變換 )。 1AB==時(shí)的小波框架為正交小波基，所以常稱式 (220)、 (221)為離散正交小波變換 綜合公式。 由此可知，離散正交小波變換同多分辨率分析的思想是一致的，多分辨率分析理論為正交小波變換提供了數(shù)學(xué)上的理論基礎(chǔ)。 Mallat 的快速算法 Mallat 在 Burt 和 Adelson 圖象分解和重構(gòu)的拉普拉斯塔形算法的基礎(chǔ)燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 上，基于多分辨率框架理論，提出了塔式多分辨分解與綜合算法，巧妙的將多分辨分析與小波分析結(jié)合在一起， Mallat 塔式算法在小波分析中的地位頗似 FFT 在經(jīng)典傅立葉變換中的地位。 信號(hào)序列 ()sn的 Mallat 塔式分解算法，即 序列的離散小波變換算法如圖 23 所示，其中 2175。 表示二次采樣 (即刪掉奇次編號(hào)的樣本 )，如果 ()gn ()hn為共軛鏡像濾波器對(duì) (QMF)，則實(shí)現(xiàn)正交小波變換，此時(shí)濾波器組是非線性相位的，如果 ()gn和 ()hn為線性相位濾波器，則實(shí)現(xiàn)雙正交小波變換。設(shè) ( ) ( )0c n s n= ，則 Mallat 塔式算法用下列迭代方程表示： ( ) ( ) ( )1 2 , 0 , 1 , 2 , . . .jj kd n c k g n k j165。+ = ?= =229。 ( ) ( ) ( )1 2 , 0 , 1 , 2 , . . .jj kc n c k h n k j165。+ = ?= =229。 (222) 圖 23 3 階 Mallat 塔式算法 (序列的離散小波變換 ) 從式 (222)可以看出， Mallat 塔式算法實(shí)際上是通過低通和高通濾波，把信號(hào)分解為低頻和高頻部分。 本章小結(jié) 小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間 尺度 (時(shí)間 頻率 )分析方法，它具有多分辨率的特點(diǎn)，而且在時(shí) 頻兩域都有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種時(shí)頻窗口面積大小固定不變但其形狀可以改變，即時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。在低頻部分有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的順態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，因此有利于把噪聲從正常信號(hào)中分離出來，達(dá)到去噪聲的目的。 在傳統(tǒng)的基于傅立葉變換的信號(hào)處理方法中，要使信號(hào)和噪聲的頻帶重疊部分盡可能的小，這樣，在頻域就可以通過時(shí)不變?yōu)V波方法將信號(hào)同噪聲第 1章 緒論 19 區(qū)分開。而當(dāng)它們的頻域重疊時(shí)，這種方法就無能為力了。但如果采用線性小波分析法，是可以通過選擇不 同的基的方法，使得在相位坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)的信號(hào)同噪聲的重疊盡可能的小。這樣就可以通過抑制不需的頻帶的信號(hào)，而達(dá)到去噪的目的。但對(duì)大多數(shù)信號(hào)來說，合適的基的選擇本身就是一個(gè)難題，因此這種方法的應(yīng)用受到了限制。 第 3章 基于小波變換去噪方法的研究 經(jīng)典的濾波去噪方法 對(duì)隨時(shí)間變化的信號(hào)，通常采用兩種最基本的描述形式，即時(shí)域或頻域形式。時(shí)域描述信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化，頻域描述在一定時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的頻率分布。信號(hào)的變化率大的部分對(duì)應(yīng)高頻分量，變化率緩慢的部分則主要含低頻分量。 信號(hào)源送出的攜帶著我們希望傳送的有用信 息，然而在信號(hào)變換及傳送過程中，由于噪聲和干擾的疊加，使信號(hào)的辨認(rèn)產(chǎn)生困難。要恢復(fù)原信號(hào)攜帶的有用信號(hào)，必須去除信號(hào)中疊加的噪聲或干擾成份。如果噪聲的頻率高于或低于有用信號(hào)，通常采用濾波方法去除噪聲，也可以通過使信號(hào)平滑的方法抑制干擾帶來的毛刺。 經(jīng)典的濾波去噪方法一般都是頻域低通濾波法，經(jīng)常使用的低通濾波器只要有以下幾種：理想的低通濾波器、巴特沃斯低通濾波器、指數(shù)低通濾波器、梯形低通濾波器。圖形如圖 31 所示，圖中 F0 為截止頻率， H 為濾波器的傳遞函數(shù)。當(dāng)用經(jīng)典的濾波法去對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行去噪時(shí)，可以想 象其結(jié)果必然是在降低噪聲的同時(shí)也展寬了波形，平滑了信號(hào)中的銳變尖峰成分，損失了這些突變點(diǎn)可能攜帶著重要信息。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 (a) 理想低通濾波器 (b) 巴特沃斯低通濾波器 (c) 指數(shù)低通濾波器 (d) 梯形低通濾波器 圖 31 幾種頻域低通濾波器 基于小波變換模極大值去噪方法的研究 目前利用小波變換消除噪聲的方法很多，但總結(jié)起來，比較成熟的是Mallat 提出的一種多尺度小波變換模極大值的去噪 方法。 小波變換模極大值的定義 定義在尺度 s下，若 0xxd? ， ( ) ( )0,W f s x W f s x163。 成立，則 0x 稱為模極大值點(diǎn)， ( )0,Wf s x 稱為模極大值。小波變換極大模是由信號(hào)中奇異點(diǎn)和噪聲產(chǎn)生的。 根據(jù)理論分析，知道以平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為母小波作小波變換，其小波變換在各個(gè)尺度下的模極大值對(duì)應(yīng)于信號(hào)突變點(diǎn)的位置。小波分析尺度越小，平滑函數(shù)的平滑區(qū) 域小，小波系數(shù)模極大值點(diǎn)與突變點(diǎn)位置的對(duì)應(yīng)就越準(zhǔn)確。但是小尺度下小波變換隨噪聲影響非常大，產(chǎn)生許多偽極值點(diǎn)，往往第 1章 緒論 21 只憑一個(gè)尺度不能定位突變點(diǎn)的位置。相反，在大尺度下對(duì)噪聲進(jìn)行了一定的平滑，極值點(diǎn)相對(duì)穩(wěn)定，但由于平滑作用使其定位又產(chǎn)生了偏差。同時(shí)，只有在適當(dāng)尺度下各突變點(diǎn)引起的小波變換才能避免交迭干擾。因此，在用小波變換模極大值法判斷信號(hào)突變點(diǎn)時(shí)，需要把多尺度結(jié)合起來綜合觀察。 下面由小波變換模極大值在多尺度上的變化規(guī)律來表征信號(hào)突變點(diǎn)的性質(zhì)。在許多情況下，小波變換并不要求保留所有的連續(xù)尺度 a，為了實(shí)現(xiàn)快速算法 ，選擇尺度按二進(jìn)制變化，即二進(jìn)制變換。信號(hào)的突變點(diǎn)在不同尺度 2j 上都會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的模極大值。在任意尺度 2j 上模極大值對(duì)應(yīng)于信號(hào)在2j 尺度上平滑后的該點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)大小。小波理論表明，模極大值的幅值隨著尺度的變化規(guī)律是由信號(hào)在該突變點(diǎn)的局部李氏指數(shù) (Lipschitzexponent)決定的。 模極大值隨著尺度的變化規(guī)律 李氏指數(shù)的定義為，設(shè)函數(shù)在 0t 附近具有下述特征： ( ) ( )00 ,1nx t h p t h A h n na a+ + ? + (31) 則稱 ()xt 在 0t 處的李氏指數(shù)為 a 。式中 h是一個(gè)充分小量， ()npt是過 ( )0xt 點(diǎn)的 n次多 項(xiàng)式 ( )nZ206。 。 實(shí)際上 ()npt 就是 ()xt 在 0t 點(diǎn)作 Taylor 級(jí)數(shù)展開的前 n 項(xiàng)： ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 10 1 2 ... n n nnnx t x t a h a h a h O h p t O h++= + + + + + = + (32) 顯然 a 未必等于 1n+ ；它必定大于 n，但可能小于 1n+ 。如果 ()xt 為 n次可微，但 n階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因此 1n+ 次不可微，則 1nna? ；如果 ()xt 的李氏指數(shù)為 a ，則 ()x t dt242。 的李氏指數(shù)必為 1a+ ，即每積分一次，李氏指數(shù)增 1。 一般來講，函數(shù)在某一點(diǎn)的李氏指數(shù)表征了該點(diǎn)的奇異性大小， a 越大，該點(diǎn)的光滑度越高； a 越小，該點(diǎn)的奇異性越大。如果函數(shù) ()ft在某一點(diǎn)可導(dǎo)，它的 1a179。 ；如果 ()ft )在某一點(diǎn)不連續(xù)但其值有限，則 01a＃ ；對(duì)于脈沖函數(shù)， 1a= ；而對(duì)于白噪聲， 0a163。 。 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 下面討論某點(diǎn)的李氏指數(shù)同該點(diǎn)的小波變換模極大值之間的關(guān)系，目的是為了由小波變換模極大值推導(dǎo)出突變點(diǎn)的李氏指數(shù)，從而判斷奇異性大小。 假設(shè)小波函數(shù) ()tf 是連續(xù)可微的，并且在無限遠(yuǎn)處的衰減速率為211O t驏琪琪 +桫，Mallat 證明：當(dāng) t在區(qū)間 [ ],ab 中時(shí)，如果 ()ft的小波變換滿足： ( )aW f t ka a163。 也就是 ( )l o g l o g l o gaW f t k aa? 其中 k是一個(gè)常數(shù)，則 ()ft在區(qū)間 [ ],ab 中的李氏指數(shù)均勻?yàn)?a 。 當(dāng) 2ja= 時(shí)，上式變成 ( ) ( )2 2j jW f t k a163。 或 ( )222l o g l o gjW f t k ja? (33) 式中 ja 這一項(xiàng)把小波變換的尺度特征 j與李氏指數(shù) a 聯(lián)系了起來。式 (33)給出了小波變換的對(duì)數(shù)值隨尺度 j 或 a 的變化規(guī)律。自然的，對(duì)應(yīng)信號(hào)奇異點(diǎn)的小波變換模極大值隨尺度的變化也應(yīng)滿足此規(guī)律。由式可知，當(dāng) 0a 時(shí)，小波變換的極大值將隨尺度 j的增大而增大；當(dāng) 0a 時(shí)，則隨 j 的增大而減小。對(duì)階躍情況 ( 0a= )，則小波變換的極大值不隨尺度而改變。 幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化如圖 32 所示， 32(b)圖的四條曲線從上到下分別是尺度 j=1,2,3,4 時(shí)的小波變換極值。從圖中可以看出： t=1,2,4(分別對(duì)應(yīng) 50， 100， 200 點(diǎn) )處的突變的小波變換極值隨著尺 度的增 加而增大，而 t=3(對(duì)應(yīng) 150 點(diǎn) )處的突變則隨之而減小。 第 1章 緒論 23 (a) (b) 圖 32 幾種突變的小波變換極值隨尺度的變化 由以上可知，白噪聲的李氏指數(shù) 0a ，其對(duì)應(yīng)的模極大值隨尺度 j的增大將減小 (因此其主要對(duì)小尺度下的模極大值影響較大 )。而一般信號(hào)的突變點(diǎn)的李氏指數(shù)大于等于零，這種突變點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的小波變換模極大值隨尺度 j 的增加幅度逐漸增大。表征信號(hào)重要特征的極大值點(diǎn)能從小尺度傳播到大尺度，并且尺度間模極大值點(diǎn)的相對(duì)位移在一個(gè)錐形范圍內(nèi)。依據(jù)此區(qū) 別，可以在模極大值圖上去除那些幅度隨尺度減小的極值點(diǎn) (對(duì)應(yīng)噪聲的極值點(diǎn) )，而保留幅度隨尺度增加而增大的點(diǎn) (對(duì)應(yīng)信號(hào)突變點(diǎn)位置 )。這樣就可以在模燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24 極大值圖上達(dá)到去噪的目的，然后從去噪以后的模極大值圖重建原信號(hào)，就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的去噪。 針對(duì)這一理論，主要解決的問題有如下幾個(gè)方面： (1)要選擇正確的小波，一般要根據(jù)實(shí)際問題的需要 ,選擇和構(gòu)造不同的小波； (2)要確定對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換的次數(shù)，尺度過大會(huì)增加計(jì)算難度，尺度過小又不能很好的濾除噪聲； (3)要解決如何重構(gòu)信號(hào)的問題。文獻(xiàn)介紹了由模極大值重建原始信號(hào)的 一些方法。 從以上理論可以看出，模極大值方法能夠精確的消除有用信號(hào)中的噪聲，但是運(yùn)算過程復(fù)雜，計(jì)算量大。針對(duì)這個(gè)問題提出了一種新的子波域?yàn)V波算法。 一種新的子波域?yàn)V波算法 算法步驟 定義 ( ) ( ) ( )f x g x n xd=+其中 )gx為真實(shí)信號(hào)； ()nx為被干擾的信號(hào)； ()nx是均值為 0，方差為 2s 的高斯白噪聲， d 為噪聲水平。 (1)首先計(jì)算出 ()fx在各尺度 (j=1,2,…, J)上的小波值 ( )2,jWf x ； (2)從大尺度出發(fā) (j=J)，對(duì)小波值為正的所有數(shù)，計(jì)算出均值及這些數(shù)的方差 var 和過零數(shù) zeronum[j]；以 zeronum[j]/2 為初始閾值， var 為閾值的初始步長； ； ，若 數(shù)目增加，增加閾值，即將當(dāng)前閾值加上當(dāng)前步長；若數(shù)目減少則降低閾值，即將當(dāng)前閾值減去當(dāng)前步長；若不變則增加閾值； (如減半 )； 重復(fù)步驟，直至迭代步長小于某一值為止； 取當(dāng)前閾值為最終閾值，閾值之上的保留，之下去除； 對(duì)小波值為負(fù)的集合做同樣處理。 (3)在上一個(gè)尺度有值的相應(yīng)位置及其一定鄰域 (如左右 13 個(gè)點(diǎn) )內(nèi)進(jìn)行搜索判斷，以減小噪聲的干擾； 第 1章 緒論 25 若上一尺度相應(yīng)鄰域有值，而該尺度沒有，說明為噪聲所干擾，保留該值； 若上一尺度相應(yīng)鄰域沒有值，而該尺度有，說明為噪聲所產(chǎn)生，去除； (4)j=j1， 計(jì)算下一個(gè)小尺度。 重復(fù)步驟 (2)(4)，直到尺度 j＝ 1。 理論依據(jù) 對(duì) ( ) ( ) ( )f x g x n xd=+做小波變換，根據(jù)小波變換的線性性質(zhì)，可以知道小波變換值是信號(hào) ()gx與噪聲 ()nx分別進(jìn)行小波變換的結(jié)果，即 ( ) ( ) ( ), , ,W f s x W g s x W n s xd=+ 先來討論高斯白噪聲的小波變換 ( ),Wn s x 。因?yàn)橐言O(shè)定 ()nx為高斯白