【導(dǎo)讀】養(yǎng)老保險是各個國家按照國法或律例，目的是辦理勞動者在達(dá)到規(guī)定的。隨著經(jīng)濟(jì)和社會的不斷發(fā)展，養(yǎng)老保險制度在老年人的生活保障中發(fā)揮。著越來越重要的作用。在世界人口的因素下，高齡人所占的比例越來越大，人數(shù)。也越來越多，落實好養(yǎng)老保險制度等于穩(wěn)定了世界相當(dāng)部分人口的基本生活。型，另一個則是確定繳費型。顧名思義，確定給付。是可以隨時調(diào)整的，但是，基金管理者將會承擔(dān)相關(guān)的金融風(fēng)險。投資回報率，也就是說，投保人將承擔(dān)一系列的金融風(fēng)險。繳費率恒定的情況下，繳費金在養(yǎng)老保險計劃上變少。內(nèi)外的經(jīng)驗，要將投資的安全性放在第一位。和貢獻(xiàn)率由估值調(diào)整。之后的研究將繳費率與精算負(fù)債的比例替換為繳費率，代替為基。確定繳費型養(yǎng)老金提前確定的是繳費率，以后的給付額完全依賴于投資收益，上述的文獻(xiàn)中，基本上都是把風(fēng)險資產(chǎn)假設(shè)為服從幾何布朗運動的。設(shè)計，只有極少數(shù)研究了各個不同的方案的最優(yōu)投資問題和一系列的影響。

　　

【正文】 利用相同的方法，可以用對偶函數(shù)表示最優(yōu) 策略成 2 2 1* 1022() zst r r zg s ggs???? ??? ? ?? （ 425） 和退休前的結(jié)論類似， 我們的最終步驟就是把 g 的線性偏微分方程（ 424） 求解 ，然后將求得的解代入到（ 425）中，最后得到最優(yōu)投資策略。 最優(yōu)化問題求 解 退休前最優(yōu)化問題解 由式子 1( , , ) ( 39。) ( )g T s z U z?? 和式子（ 410），可以得到 1( , , ) 2g T s z z ???。 我們把（ 418）猜想的解的形式是 ( , , ) ( , ) ( )g T s z zh t s a t??，而且它是滿足邊界條件的，有 ( ) , ( , ) 1 / 2a T h T s???。 把這個結(jié)果代入到式子（ 418）中，可以得到 22 2 2 100 1 0 022()1( 2 ) 2 39。( ) ( ) 02t s s s rrh r r s h s h h r h z a t r a t cs? ?? ???? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?????（ 426）所以就可以把式子（ 426）分為兩個方程 039。( ) ( ) 0a t r a t c? ? ?， （ 427） 22 2 2 100 1 022()1( 2 ) 2 02t s ss rrh r r sh s h h r hs? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?。 （ 428） 將它們代到邊界條件 ()aT?? 中，可以得到式子（ 427）的解是 0 ()00( ) ( / ) /r T ta t c r e c r? ??? ? ?。 （ 429） 因為式子（ 428）為非線性方程， 我們通過變換和替換將其化為線性二次 偏微分方程。 定義 2( , ) ( , ) ,h t s f t y y s ????，邊界條件定義為 ( , ) 1/ 2f T y ? 。 把它們代入到式子（ 428）中，可以得出下面一個式子 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 23 22 2 2 1010 2()( ( 2 1 ) 2( 2 ) ) 2 2 0t y y y or r y ff r r y f y f r f? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?。（ 430）定義 ()( , ) ( ) B t yf t y A t e? ，邊界條件為 ( ) 1 / 2, ( ) 0A T B T??. 把它代入到式子（ 430）中，可以得到22 2 2 2 100 1 0 2()( 2 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 0t tA r rB r y B r r B BA ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????? （ 431） 上面這個式子可以分為兩個方程 2 2 2 2 21 0 1 02 ( 2 ) 2 ( ) / 0 , ( ) 0tB r r B B r r B T? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?, (432) 2 0( 2 1 ) 2 0 , ( ) 1 / 2tA B r A TA ? ? ?? ? ? ? ?. (433) 對常微分方程（ 432）和（ 433）分別求解，可以得到 2( ) ( )B t I t??? ， （ 434） 10 212212( ( 2 1 ) 2 ) ( ) 212 ( ) ( )211()2 r T t TtA t e e??? ? ?? ? ??????? ? ??????? ?????， （ 435） 其中， 2 122 122 ( ) ( ) 2 20 1 0 1111 , 22 ( ) ( )12( 2 ) 2( ) ,21TtTtr r r reIte? ? ?? ? ??? ?? ????????????。 命題 在均值 方差下，確定給付型養(yǎng)老金在退休前的最佳 投資策略是 * ()( ) 1 ( )ttatK t Mv??????????， （ 436） 其中，0 ()0 0 1 02 ( )( ) , ( ) 1r T tc c I ta t e K tr r r r?? ????? ? ? ? ? ??? ??? ， 1022( ) ,ttrrMss ??? ? ?? ???。 對于在均值 方差下的確定給付型養(yǎng)老金來 講 ，退休前的資產(chǎn)最優(yōu)比例 可以分為： 一 、 ()Kt ，主要受參數(shù) ? 的影響 ； 二、 (1 ( )/ )a t v? ，是受參數(shù) ? 所影響的；三、 ()tM? ，體現(xiàn)的是投資人的喜好因素。 退休后最優(yōu)化問題的解 和上一節(jié)類似，我們把（ 423）的解的形式想象為2( , , ) ( , ) ( ) ,g t s z zf t y a t y s ??? ? ?，它的條件是 ( , ) 1 / 2 , ( )f T N y a T N ?? ? ? ?。 把它代入到（ 424），可以得到 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 24 22 2 2 101 0 0 02()( ( 2 1 ) 2 ( 2 ) ) 2 2 39。( ) ( ) 0t y y y r r y ff r r y f y f r f z a t r a t B? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? （ 437） 把上式拆成兩個方程 039。( ) ( ) 0a t r a t B? ? ? （ 438） 22 2 2 101 0 02()( ( 2 1 ) 2( 2 ) ) 2 2 0t y y y r r y ff r r y f y f r f? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? （ 439） 將其代入到邊界條件 ()a T N ???中，解為 0 ()00( ) ( / ) /r T N ta t B r e B r? ? ? ?? ? ? （ 440） 因為除了邊界條 件不同以外，上述的兩個式子的表達(dá)式是完全相同的，所以它們的求解過程也是相似的，解為 2( ) ( )B t I t??? （ 441） 102 12212( ( 2 1 ) 2 ) ( ) 212 ( ) ( )211()2 r T N t T N tA t e e??? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ????? ????? , (442) 其中， 2 122 122 ( ) ( )112 ( ) ( )12() 1 T N tT N teIte? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ????， 220 1 0 11 , 2 ( 2 ) 22r r r r? ????。 命題 在均值 方差下，退休后的確定給付型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略為 * ()( ) 1 ( )ttatK t Mv?????????? （ 443） 其中，0 ()0 0 1 02 ( )( ) , ( ) 1r T N tB B I ta t e K tr r r r?? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ??? ， 1022()t rrM s ?? ? ?? 。 對比前面的兩個命題，明顯看 出對于確定給付型養(yǎng)老金來說，退休前和退休后的最優(yōu)投資策略最顯著的差異在于 ()at 的表達(dá)式是不一樣的。造成這一現(xiàn)象的原因是因為 投資人在間接的增加了其價值。 有效前沿 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 25 這一節(jié)要討論養(yǎng)老金最優(yōu)投資問題的有效前沿，也就是計算有效投資策略下的終端時刻養(yǎng)老金財富的方差與期望的關(guān)系。 退休前的有效前沿 為了方便計算，我們在這里假定 ( ) ( ) ( )tt K t M??? ， ( ) ( ) ( )t t S t?? ? ?? ，2 2 2( ) ( ) ( )t t S t?? ? ?? 。 把之前（ 436） 的結(jié)果 代入到（ 44）中，可以得到 0 1 0 1 0( ) ( ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )dV t r r r t V t r r a t t c dt V t a t t dW t? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 0(0)VV? （ 444） 對 2()Vt運用伊藤公式，得到 2 2 20 1 0 1 0( ) ( 2 2 ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )d V t r r r t t V t a t t c a t t a t t r r V t d t? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ??? 22 02 ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) , ( 0 )V t V t a t t d W t V V?? ? ?。 （ 445） 對以上兩個式子兩邊分別求期望，得到 1( ) ( )m t EV t? 和 22( ) ( )m t EV t? 滿足下面兩個線性常微分方程 1 0 1 0 1 1 0( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )m t r r r t m t r r a t t c??? ? ? ? ? ?， 10(0)mV? 。 （ 446） 22 0 1 0 2 1 0 1( ) ( 2 2 ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t r r r t t m t a t t c a t t a t t r r m t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 220(0)mV? 。 （ 447） 代入 ()at 的表達(dá)式，從（ 446）可以得到 ()EVT 的表達(dá)式 0 01( ) ( 1 )rTTTE V T e V? ? ? ?? ? ? ? （ 448） 其中， ? ?1 1 00e x p ( ) ( )t r r s ds????? , ? ?0010( / ) 2r T r tT e r e ce d t??? ? ?. 同樣的，對（ 447）可以得到 2()EV T 的表達(dá)式 022 2 202() rTTTE V T e V? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，