【正文】 0t tA r rB r y B r r B BA ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ????? （ 431） 上面這個式子可以分為兩個方程 2 2 2 2 21 0 1 02 ( 2 ) 2 ( ) / 0 , ( ) 0tB r r B B r r B T? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?, (432) 2 0( 2 1 ) 2 0 , ( ) 1 / 2tA B r A TA ? ? ?? ? ? ? ?. (433) 對常微分方程（ 432）和（ 433）分別求解，可以得到 2( ) ( )B t I t??? ， （ 434） 10 212212( ( 2 1 ) 2 ) ( ) 212 ( ) ( )211()2 r T t TtA t e e??? ? ?? ? ??????? ? ??????? ?????， （ 435） 其中， 2 122 122 ( ) ( ) 2 20 1 0 1111 , 22 ( ) ( )12( 2 ) 2( ) ,21TtTtr r r reIte? ? ?? ? ??? ?? ????????????。 對比前面的兩個命題，明顯看 出對于確定給付型養(yǎng)老金來說，退休前和退休后的最優(yōu)投資策略最顯著的差異在于 ()at 的表達式是不一樣的。 （ 446） 22 0 1 0 2 1 0 1( ) ( 2 2 ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m t r r r t t m t a t t c a t t a t t r r m t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 220(0)mV? 。( ) ( ) 0a t r a t B? ? ? （ 438） 22 2 2 101 0 02()( ( 2 1 ) 2( 2 ) ) 2 2 0t y y y r r y ff r r y f y f r f? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? （ 439） 將其代入到邊界條件 ()a T N ???中，解為 0 ()00( ) ( / ) /r T N ta t B r e B r? ? ? ?? ? ? （ 440） 因為除了邊界條 件不同以外，上述的兩個式子的表達式是完全相同的，所以它們的求解過程也是相似的，解為 2( ) ( )B t I t??? （ 441） 102 12212( ( 2 1 ) 2 ) ( ) 212 ( ) ( )211()2 r T N t T N tA t e e??? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ????? ????? , (442) 其中， 2 122 122 ( ) ( )112 ( ) ( )12() 1 T N tT N teIte? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ????， 220 1 0 11 , 2 ( 2 ) 22r r r r? ????。 定義 2( , ) ( , ) ,h t s f t y y s ????，邊界條件定義為 ( , ) 1/ 2f T y ? 。 最優(yōu)化問題求 解 退休前最優(yōu)化問題解 由式子 1( , , ) ( 39。 一般情況下，我們把 G 看做為邊際效用的反函數(shù)。 變量 v 的最優(yōu)化用 (, , )gt sz 得到，并滿足 ? ?( , , ) i nf | ( , , ) ( , , ) , 0g t s z v H t s v zv H t s z t T? ? ? ? ?，其中 0v? 。 對 其進行 求導(dǎo)，使其 解等于零，可以得出最終的 策略 2 2 1* 1022() v svt vvr r H s Hv s H???? ?????? （ 413）把上面的表達式代入到（ 12）中，可以得出價值函數(shù)的一個偏微分方程 2 2 1 22 2 2 1010 22( ( ) )1( ) 022 v s vt s v s s vvr r H s HH r s H r v c H s H sH????? ??? ??? ? ? ? ? ? （ 414） 我們可以發(fā)現(xiàn)， 我們已經(jīng)把上面的問題通過轉(zhuǎn)化，改為了一個新的方程，即偏微分方程 。可以把一個拉格朗日乘子 2 R?? 引入到 ()EV T K? 這個約束條件中。所以，( ( ), )tVt? 就被稱為一個可行的養(yǎng)老金投資策略組合。和先前的假設(shè)一樣，假設(shè) ()Vt為 t 時刻養(yǎng)老金的財富價值， t? 和 1 t?? 為債券和股票的投資比例。在 t 時刻時，將 ()Vt定義 為最終解 ， i? 和 1 i?? 為 在兩者上的 投資比例。所以我們?yōu)榱烁蠈嶋H，就把股票價格假設(shè)為 CEV模型。通過基本知識中提到的內(nèi)容來建立養(yǎng)老金最優(yōu)投資的 HJB 方程，從而求得養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略，并在最后 求得其有效前沿。 1 , 39。 （ 1） 在這個投資策略中， 期望收益 與方差可以寫為1m i n 1 ( 3 / 7, 4 / 7 ) 39。所以，我們來進一步的得出結(jié)論。) , ( ) ( 39。1M a xim ize U R x V xG S u b ject to x e?? ??在這個式子中，函數(shù) U 是關(guān)于 ()Rx 的單調(diào)遞增，但是卻又對 ()Vx單調(diào)遞減。 任意一個組合都可以利用以下三個模型的其中之一解決。 ( , ,..., )nr r r r? 定為投資時的隨機收益向量，將 ir 設(shè)為投資時風險證券( 1,..., )i i n? 的隨機收益； 同理，我們把期望的收益向量設(shè)為 1239。 接下來，將上述方程直接 代入 到 （ 28），可以 進一步 得到 ( , ) ( , ) ( , ) 0( , ) ( )uuV t x F t x V t xtV T X x?? ? ? ? ???????? （ 210） （ 4） 我們將上述方程的解求出后，繼續(xù)代入到上式，可以得出 V 就是 最優(yōu) 價值函數(shù)，而 u 就為 最優(yōu)控制規(guī)則。 由上面的結(jié)論可以繼續(xù)假設(shè)， 最優(yōu)價值函數(shù) 1,2VC? 是光滑的， 利用 0It 定理得到 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )t h t hu u u u u ut h s s x s sttVV t h X V t X s X V s X d s V s X d Bt ???? ???? ? ? ? ? ? ???????? （ 27） 上式中， u? 是上文所定義的偏微分算子， x? 是如下定義的梯度 1 2 1, , ...,nx x x x??? ? ??? ??? ? ??? 對（ 27）兩邊基于二維點 (, )tX 取期望。 下 我們做出了如下假設(shè)，目的是為了將偏微分方程順利導(dǎo)出。 現(xiàn)在來討論在控制模型的目標函數(shù)。 假設(shè)選定了一個固定的控制規(guī)則 (, )ut X ，如果把它代入到（ 21）中，將會得到一個隨機微分方程： ( , , ( , ) ) ( , , ( , ) )t t t t tdX t X u t X dt t X u t X dB???? 對于控制問題來說，約束條件是不可少的，因此，對任意一個 t ，有 tuU? ，U 代表的是控制元素的集合。很多學者 基于風險的最優(yōu)退休為了對付養(yǎng)老金資產(chǎn)管理退休并取得了一系列的相關(guān)研究。在對其的研究當中，基本都是 最大的終端財富期望效用的退休時間用于統(tǒng)計目的 ，統(tǒng)計整理后得出最優(yōu)投資組合策略。可以想象，這幾種假設(shè)是不符合實際的，原因就是不一樣的投資組合所帶來的回報率也是不盡相同的。每一個基金管理者肯定都是希望最小化風險的。 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 3 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 確定給付型養(yǎng)老金的最優(yōu)化投資策略 退休金在 DB 型養(yǎng)老金中是預(yù)先確定的，是基于對工資和工作幾年的水平，和貢獻率由估值調(diào)整。對于養(yǎng)老金的發(fā)展史，最開始，許多的國家都是采用 DB 型的養(yǎng)老金計劃，但隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，DB 型養(yǎng)老金已經(jīng)不能滿足時代的要求，所以， DC 型養(yǎng)老金慢慢的登上養(yǎng)老金歷史的舞臺，越來越多的國家開始重視 DC 型養(yǎng)老金計劃。天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 1 畢業(yè)論文 均值方差標準下確定給付型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資策略 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 2 1 前 言 研究背景與選題意義 養(yǎng)老保險是社會保障體系的重要組成部分，是社會保險五大類型的最重要的產(chǎn)品。反過來，對于確定繳費型養(yǎng)老金來說，提前確定的則是繳費率，給付額的多少取決于養(yǎng)老金的投資回報率，也就是說，投保人將承擔一系 列的金融風險。不管是在理論上或是在實際的操作中。 第一種風險與養(yǎng)老金的穩(wěn)定性有關(guān)；第二種風險與養(yǎng)老金的安全性有關(guān)。 在現(xiàn)在這個年代的研究中，有的研究者把投資回報率假定為獨立同分布過程，自回歸過程和移動平均過程。 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 4 很多學者在 對 養(yǎng)老金的積累階段上進行了非常深入的研究。 上述的文獻中，基本上都是把風險資 產(chǎn)假設(shè)為服從幾何布朗運動的。左面的 u 表示的是控制在某一時刻的值，也就是在集合 kR 中的一個點，而對于等式右邊的 u，則為一個函數(shù)。uC t x t x u t x t x u t x??? ( , ) ( , , ( , ) )uF t x F t x u t x? (3) 對任意一個固定向量 kuR? ，定義偏微分算子 u? 21 , 11( , ) ( , )2nnuui i ji i ji i ju t x C t xx x x????? ? ?? ? ??? （ 4）對任意一個控制規(guī)則 u，定義偏微分算子 u? 21 , 11( , ) ( , )2nnu u ui i ji i ji i ju t x C t xx x x????? ? ?? ? ??? 根據(jù)上面的定義，對于一個給定的控制規(guī)則 u，可以把式子（ 22）改寫成 u u uttdX dt dB???? 另外，對于一個給定的控制規(guī)則和相應(yīng)的受控過程 uX ，常用符號 tu 來表示。 （ 2） 最優(yōu)價值函數(shù) : nV R R R? ?? ( , ) su p ( , , )V t x J t x u? 也就是說， 價值函數(shù) (, , )Jt xu 是 在區(qū)間 ? ?,tT 的期望效用， 同理，在相同的條件中， 最優(yōu)價值函數(shù) 是 在區(qū)間 ? ?,tT 的最優(yōu)期望效用。 根據(jù)上述思路，可以得到 ? ?,( , ) ( , , ) ( , )th uut x s s t htV t X E F s X u d s V t h X? ?? ? ?? （ 26） 天津科技大學 2020屆本科生畢業(yè)論文 9 假設(shè)（ 26）為 等式， 就有結(jié)論，這個規(guī)則只能是最優(yōu)規(guī)則 ， 并且這個規(guī)則并不是有且只有一個的。 所以，就有 u