04不定方程-資料下載頁
2025-08-14 02:17本頁面
【導(dǎo)讀】本章只討論幾類比較簡單的不定方程。,an是非零整數(shù)，b是整數(shù)，稱關(guān)于未知數(shù)x1,x2,?,xn0滿足方程，則稱(x10,x20,?n）及整除的性質(zhì)容易知道式成立。另一方面，由第一章第三節(jié)定理2，存在整數(shù)y1,y2,?因此，若式成立，則)(,,,證明容易驗(yàn)證，由式確定的x與y滿足方程。(ⅰ)判斷方程是否有解，即(a,b)?(ⅱ)利用輾轉(zhuǎn)相除法求出x0，y0，使得ax0?,an,b是整數(shù)，再設(shè)(a1,a2,?,t)是方程組的解，則顯。1元一次不定方程。重復(fù)這個(gè)過程，最終歸結(jié)為求解。并且消去中間變量t2,t3,?由輾轉(zhuǎn)相除法，可知x=?對例1也可以如此處理。數(shù)n都可以表示成n=ax?by的形式，其中x與y是非負(fù)整數(shù)，但是n. 這與式矛盾，所以式是不可能的。何一個(gè)長度大于22ba?的線段上至少有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是整數(shù)。Z，記Pt是以為坐標(biāo)的點(diǎn)，則Pt?
【正文】 z = ?3y1 ? 1， 代入方程組 (4)中的第一個(gè)方程，有 1 ? (3y1 ? 1)3 ? (?3y1 ? 1)3 = 3， 1 ? 2(9y12 ? 1) = 3， y1 = 0， x = 1， y = 1， z = 1。 (ⅱ ) 若 x1y1z1 ? 0。由式 (6)可知， x1， y1與 z1三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)數(shù)符號(hào)相同。不妨設(shè) x1與 y1同符號(hào)。由式 (6)得到 z1 = ?(x1 ? y1)， 代入方 程組 (4)中的第一個(gè)方程，得到 (3x1 ? 1)3 ? (3y1 ? 1)3 ? (1 ? 3(x1 ? y1))3 = 3， 稍做整理，即是 3x1y1(x1 ? y1) ? 2(x12 ? y12 ? x1y1) = 0， (2x12 ? x1y1)(y1 ? 1) ? (2y12 ? x1y1)(x1 ? 1) = 0。 (7) 由于 x1與 y1符號(hào)相同，所以式 (7)當(dāng)且僅當(dāng) x1 = y1 = 1時(shí)成立，此時(shí) z1 = ?(x1 ? y1) = ?2， 并且 x = 4， y = 4， z = ?5。 綜合以上討論，注意到方程 (4)中對于三個(gè)變量的對稱性，得到方程組 (4)的解是 (x, y, z) = (1, 1, 1)， (4, 4, ?5)， (4, ?5, 4)， (?5, 4, 4)。 例 5 求方程 (x ? 1)! = xy ? 1的滿足 x 1的正整數(shù)解 。 解 若 (x, y)是方程滿足 x 1的正整數(shù)解，則 (x ? 1)! ? ?1 (mod x)。 因此，由第二章第二節(jié)習(xí)題 4， x是素?cái)?shù)。 取 x = 2， 3， 5，得到方程的解 (x, y) = (2, 1)， (3, 1)， (5, 2)。 設(shè) x 5是素?cái)?shù)，于是 (x ? 1)! ? 1?2?? 21?x ? ?(x ? 1)， (x ? 1)2?(x ? 1)!。 因此，若 x是方程的 x 5的解，則對于正整數(shù) y，有 xy ? 1 ? 0 (mod (x ? 1)2)。 104 由上式及 xy ? 1 = ((x ? 1) ? 1)y ? 1 = (x ? 1)y ?)1(C)1(C)1(C 12211 ?????? ??? xxx yyyyyy ? = (x ? 1)2Q ? y (x ? 1)， 其中 Q是某個(gè)整數(shù)，推出 (x ? 1)2?y (x ? 1)， x ? 1?y ， 于是 xy ? 1 ? xx ? 1 ? 1 ? (x ? 1)!（ x 5）。 這說明當(dāng) x 5時(shí)，方程無正整數(shù)解。所以，所求的全部解是 (x, y) = (2, 1)， (3, 1)， (5, 2)。 二、因數(shù)分析法 任何非零整數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，因此，可以對不定方程的解在有限范圍內(nèi)用枚舉法確定。 例 6 求方程 x2y ? 2x2 ? 3y ? 7 = 0的整數(shù)解 。 解 原方程即 (x2 ? 3)(y ? 2) = 1。 因此 ??? ??? ?????? ?? ?? 12 1312 13 22 yxyx 或 ， 解這兩個(gè)聯(lián)立方程組，得到所求的解是 ??? ?? ????? ??? 1212 2211 yxyx 或。 例 7 求方程 x3 ? y3 = 1072的正整數(shù)解。 解 容易看出，對于任何正整數(shù) a， (x, y) = (1, a)， (a, 1)及 (a, a)都不是方程的解。所以，只需考慮 x ? 2， y ? 2， x ? y的情況。于是 x2 – xy ? y2 xy x ? y， (8) (x ? y)2 x2 ? xy ? y2。 (9) 原方程即 (x ? y)(x2 ? xy ? y2) = 24?67。 由此及式 (8)與式 (9)得到 105 ???????? ?? 672 224yxyx yx ， 解這兩個(gè)聯(lián)立方程組，得到所求的解是 ??? ????? ?? 7997 2211 yxyx 或。 三、不等分析法 利用量的整數(shù)性或不等關(guān)系，確定出方程解的范圍。 例 8 求方程 3x2 ? 7xy ? 2x ? 5y ? 35 = 0 的正整數(shù)解。 解 對于正整數(shù) x， y，由原方程得到 57 3523 2 ? ???? x xxy 。 (10) 因此，若 x ? 1， y ? 1，則應(yīng)有 ??? ????? ? 573523 12 xxxx ， 解這個(gè)不等式組，得到 1 ? x ? 2。 分別取 x = 1和 x = 2，由式 (10)得到 y = 17和 y = 3。所以所求的解是 (x, y) = (1, 17)， (2, 3)。 例 9 求方程 5(xy ? yz ? zx) = 4xyz的正整數(shù)解。 解 原方程即 54111 ??? zyx。 (11) 設(shè) x ? y ? z，則由 xzyxx 31111 ???? 及式 (11)，得到 xx 3541 ?? ， 1 x 4， x = 2或 3。 (ⅰ ) 若 x = 2，則式 (11)成為 106 10311 ??zy。 由此及 yzyy 2111 ??? 得到 yy 21031 ??， 3 y 7， y = 4， 5或 6。 將 x = 2以及 y = 4， 5或 6分別代入式 (11)，得到所求的解 (x, y, z) = (2, 4, 20)， (2, 5, 10)。 (ⅱ ) 若 x = 3，同樣的方法可以推出，方程 (11)無解。 綜合以上，注意到 (11)式對于 x， y， z 的對稱性，得到方程的 12個(gè)正整數(shù)解 (x, y, z) = (2, 4, 20)， (2, 5, 10)， (2, 20, 4)， (2, 10, 5)， (4, 2, 20)， (5, 2, 10)， (20, 2, 4)， (10, 2, 5)， (20, 4, 2)， (10, 5, 2)， (4, 20, 2)， (5, 10, 2)。 習(xí) 題 三 1. 求方程 x2 ? xy ? 6 = 0的整數(shù) 解。 2. 求方程組??? ???? ??? 180333 zyx zyx 的整數(shù)解。 3. 求方程 2x ? 3y = 1的正整數(shù)解。 4. 求方程zyx 111 ??的 正 整數(shù)解。 5. 設(shè) p是素?cái)?shù)，求方程yxp 112 ??的整數(shù)解。 6. 設(shè) 2n ? 1個(gè)有理數(shù) a1, a2, ? , a2n ? 1滿足條件 P：其中任意 2n個(gè)數(shù)可以分成兩組，每組 n個(gè)數(shù)，兩組數(shù)的和相等，證明： a1 = a1 = ? = a2n ? 1。
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