高中數(shù)學奧賽輔導：第四講不定方程-資料下載頁
2025-06-07 23:54本頁面
【正文】 得到即因易知兩兩互素，上式表明它們的積是整數(shù)的平方，故存在正整數(shù)使得從而于是我們得出了①的一組正整數(shù)解但和的最小性矛盾.【評述1】由例10立即推出,費馬方程當時沒有正整數(shù)解.【評述2】例11的證明方法,稱為無窮遞推法,這是費馬首先提出的一個重要方法.采用無窮遞降法證明不定方程無正整數(shù)解（滿足某種限制的解）的主要步驟是：從相反的結(jié)論出發(fā)，假設存在一組正整數(shù)解，設法造出這個方程的另一個正整數(shù)解，而新的解比原來的解“嚴格地小”.這里所謂嚴格的小，是指某一個與解有關的，則由于嚴格遞減的正整數(shù)列只有有限多項，兩者產(chǎn)生矛盾.有一些不定方程需要應用稍深入的同余知識：二次剩余（或稱平方剩余）.這里只介紹一個最基本、最常用的結(jié)果：引理 設是型的素數(shù)，則 ③沒有整數(shù)解. 換句話說,對于素數(shù)的素因子或者是2，或者③，則 故但 ，于是由費馬小定理知，進而即，得，這不可能. 例12：設是型的素數(shù)，是正整數(shù)且若可以表示為兩個素數(shù)的平方和，即存在整數(shù)使得 ① 則中的冪次是偶數(shù).【證明】，可設 ，則有整數(shù)，使以乘①的兩邊，再模，得出（注意到） 因，這與引理矛盾，故設則我們證明，即中的冪次是偶數(shù). 記則都是整數(shù)，且 由①得 假設，則由上述相同的論證表明，導出矛盾，這就證明了本題的斷言. 【評述】例12的論證表明：如設是型的素數(shù)，若有整數(shù)使得 則均被整除. 例13：證明：方程 ①沒有整數(shù)解. 【證明】首先,若是偶數(shù)，將①模4得，當時，由①得，于是，于是，因此必有一個型的素因子，將①變形為 ① 并模，必有即，①沒有整數(shù)解. 【評述1】上面的論證中，先用同余導出了（有解的）某些必要條件，目的是為了使①的右邊產(chǎn)生型的素因子，以應用引理或例12評述中的事實. 【評述2】.上猶中學 sheng2181@第 11 頁 共 11 頁
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