【導(dǎo)讀】beout-of-control.

　　

【正文】 體結(jié)果以及結(jié)論在第三部分給出，同時也給出了灰色預(yù)測值與樣本值的比較。我們還作出了基于樣本均值及灰色預(yù)測值的 X 條形控制圖Ⅰ類誤差。最后，在第四部分我們給出了基于結(jié)果的建議。 2 灰色預(yù)測模型和程序步驟 灰色系統(tǒng)是由鄧聚龍教授提出的，現(xiàn)在灰色系統(tǒng)理論已成功地運(yùn)用于許多領(lǐng)域如管理、經(jīng)濟(jì)、工程、金融等。系統(tǒng)分為三種 —— 白色、黑色和灰色。人們把信息了解得清清楚楚的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)。與之相反，黑色系統(tǒng)表示人們對系統(tǒng)信息全然不知。如果系統(tǒng)信息部分已知，部分未知則稱為灰色系統(tǒng)。 在制造流程中，操作環(huán)境、設(shè) 施可靠性及雇員行為都是不可能完全得知或完全掌控的因素。為了控制系統(tǒng)行為，灰色模型用來構(gòu)建一個常微分方程，然后求解灰色模型微分方程。運(yùn)用稀缺的過去數(shù)據(jù)，灰色模型可以精確預(yù)測輸出結(jié)果。得到預(yù)測結(jié)果，我們就可以檢查過程是否失去控制。 本文我們通過 GM(1,1)模型 監(jiān)控及預(yù)測輸出結(jié)果。順序監(jiān)控這個過程是選擇輸出節(jié)點(diǎn)（通常是樣本值），并在到達(dá)新節(jié)點(diǎn)之前分析灰色預(yù)測累積結(jié)果。這個過程可分為五步： 步驟 1：收集原始數(shù)據(jù)建立數(shù)據(jù)序列觀察到的原始數(shù)據(jù)定義為 )0(ix ， i 是第 i 個樣本值。則原序列 k 個樣本值定義為 ? ?)0()0(3)0(2)0(1)0( , kxxxxx ?? (1) 步驟 2：把原始數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)換成新序列。新序列 )1(x 是由一次累加操作生成的，即 ? ?)1()1(3)1(2)1(1)1( , kxxxxx ?? (2) 定義 )1(ix 如下 ： .,2,1,1 )0()1( ?? ?? in ni kixx ? (3) 步驟 3：建立 GM(1,1)模型的一階微分方程。通過把原始數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)化成一階微分方程，時間序列 近似為指數(shù)函數(shù)，得到灰色微分方程模型： bxadtxd ?? 11 (4) 其中 a 是發(fā)展系數(shù)， b 代表灰色輸入。根據(jù)方 程 2 和方程 4，參數(shù) a 和 b 可用最小二乘法估計(jì)。參數(shù) a 的估計(jì)值 a? 為 ? ? kTTT YBBBbaa 1)(,? ??? (5) 其中?????????????????????????? 1)(211)(211)(21)1()1(1)1(3)1(2)1(2)1(1kk xxxxxxB?? (6) ? ?Tkk xxxY )0()0(3)0(2 , ?? (7) 步驟 4： 灰色預(yù)測結(jié)果如下取得：把方程 5 至 7 得到的參數(shù)估計(jì)代入方程 4，得到 abeabxx akk ??? ?? )(? )0(1)1( 1 (8) 其中 )0(1)1(1? xx ? 。 通過作一階累減可生成第 )1( ?k 個預(yù)測數(shù)據(jù) )0(1??kx ，即 ? ? akakkk eeabxxxx ??? ??????? ???? 1??? )0(1)1()1( 1)0( 1 , ?,3,2,1?k (9) 步驟 5： 檢查過程：得到新節(jié)點(diǎn)（一個樣本值）后 ，依次完成步驟 1 至步驟4 來預(yù)測過程直到異常情況出現(xiàn)?？刂品秶腔?X 條形控制圖，最高限和最低限將分別是 xx ?3? 和 xx ?3? 。一旦新預(yù)測節(jié)點(diǎn)超出或低于限制就意味著過程失去控制就要開始調(diào)查；否則，過程繼續(xù)受監(jiān)控。 3 數(shù)值分析及結(jié)論 在這部分，我們給出模擬結(jié)果。我們假設(shè)過程變量服從正態(tài)分布，數(shù)據(jù)點(diǎn)產(chǎn)生于均值 為 3 方程為 1 的 正態(tài)分布。樣本大小是 3,5 及 7 分別進(jìn)行模擬。當(dāng)樣本 量等于 3 時， X 條形控制圖的中線等于均值 3，標(biāo)準(zhǔn)差等于31。 X 條形控制圖上下限為 )3133,3133( ????。同樣的步驟可分別用于樣本量為 5 和 7 的情況。 得到每個數(shù)據(jù)后就可以分析過程。所有程序用 MATLAB 語言寫出，所有樣本通過 MATLAB 生成。所有結(jié)果基于 1000 個重復(fù)抽樣。 一旦得到 X 條形控制圖的上下限，通過計(jì)算 ARL來比較灰色預(yù)測值和樣本值。模擬過程前 10 個樣本受控制而第 11 個樣本失去控制。一旦發(fā)現(xiàn)均值漂移不再控制范圍， ARL會有記錄。 我們來討論均值漂移的下面三種水平： ⑴ 標(biāo)準(zhǔn)差改變 的均值漂移。例如，均值偏離目標(biāo)到 s ＋目標(biāo)，其中 s 是上面所描述的樣本值的標(biāo)準(zhǔn)差（即ns /?? ，其中 n 是樣本量） —— 在本文中，目標(biāo)為 3； ⑵ 標(biāo)準(zhǔn)差改變 的均值漂移； ⑶ 標(biāo)準(zhǔn)差改變 的均值漂移。 我們還比較了樣本值的 Ⅰ類誤差 概率和灰色預(yù)測值在同樣控制范圍內(nèi)的概率。為了了解對用來計(jì)算灰色預(yù)測的樣本數(shù)的敏感性和影響程度（即 k 值設(shè)為4,6,7 和 8） ， k 個樣本的原始定義為 ? ?)0()0(3)0(2)0(1)0( , kxxxxx ?? 其中 k 分別等于 4,6,7 和 8。 4?k 時所觀測的 Ⅰ類誤差 概率結(jié)果，樣本值的ARL及灰色預(yù)測值在表 1 給出。在 8,7,6?k 的情況下的結(jié)果在表 2 至 4 中給出總結(jié)。 表 1 當(dāng) 4?k 時 x 和灰 色預(yù) 測的 Ⅰ 類誤差和 ARL 樣本量 Ⅰ 類誤差 ARL s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) x 灰色 x 灰色 x 灰色 x 灰色 3 5 7 表 2 當(dāng) 6?k 時 x 和灰色預(yù) 測的 Ⅰ 類誤差和 ARL 樣本量 Ⅰ 類誤差 ARL s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) x 灰色 x 灰色 x 灰色 x 灰色 3 5 7 表 3 當(dāng) 7?k 時 x 和灰色預(yù) 測的 Ⅰ 類誤差和 ARL 樣本量 Ⅰ 類誤差 ARL s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) x 灰色 x 灰色 x 灰色 x 灰色 3 5 7 表 4 當(dāng) 8?k 時 x 和灰色預(yù) 測的 Ⅰ 類誤差和 ARL 樣本量 Ⅰ 類誤差 ARL s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) s ＋目標(biāo) x 灰色 x 灰色 x 灰色 x 灰色 3 5 7 樣本值的 Ⅰ類誤差 概率實(shí)際確定為 ，如 %。這是因?yàn)?X 條形控制圖是基于 xx ?3? ，其中 x 和 x? 在第 3 部分假設(shè)值。如果過程變量服從正態(tài)分布，那么總平均概率會達(dá)到樣本值標(biāo)準(zhǔn)差 3 以內(nèi)，約為 %。從我們的模擬結(jié)果可以看出，灰色預(yù)測值對樣本量非常敏感，即 k 值。從表 1 至表 4 可以看出，隨著 k 值的增加，灰色預(yù)測 Ⅰ類誤差 迅速增長。 一旦均值漂移水平變大，兩者方法中的 ARL 都會變小；即發(fā)現(xiàn)失去控制情況變得容易。當(dāng) 4?k 或 6，灰色預(yù)測值支配樣本值，但灰色預(yù)測的 Ⅰ類誤差 比樣本值大。當(dāng) k 值變大（ 7?k ），樣本值 ARL 和灰色預(yù)測值的差別并不明顯，但灰色預(yù)測的 Ⅰ類誤差 比 x 的小。這意味著如果用灰色預(yù)測值，過程變化色指示出錯概率會小。當(dāng) k 值增加到 8，灰色預(yù)測的 ARL作用不明顯，但其 Ⅰ類誤差 很小。 從我們的模擬結(jié)果可知，當(dāng) 4?k 或 6 時，發(fā)現(xiàn)失去控制情況的灰色預(yù)測能力顯著，但其 Ⅰ類誤差 相對較大。當(dāng) k 值增加到 7，樣本值和灰色預(yù)測值的發(fā)現(xiàn)異常情況能力相似，但灰色預(yù)測有較小的 Ⅰ類誤差 。 4 建議 總結(jié)來說，如果過程失控的代價(jià)很大，即恢復(fù)或補(bǔ)過 的代價(jià)是重大的，用來計(jì)算灰色預(yù)測的樣本數(shù)應(yīng)該較小，因?yàn)榛疑A(yù)測值對過程變化很敏感。由于，當(dāng)4?k 時灰色預(yù)測的 Ⅰ類誤差 很大，建議用 6?k 來監(jiān)控過程。如果過程中斷的代價(jià)可以忽略，建議用 4?k 。當(dāng) 6?k 時，灰色預(yù)測的 Ⅰ類誤差 較大。重點(diǎn)是，當(dāng)6?k 時，灰色預(yù)測能迅速檢驗(yàn)過程變化，即便是微小的變化，所以此處可以節(jié)約修補(bǔ)損 失。同時，由失去控制而產(chǎn)生的過程混亂能被預(yù)測和減少。根據(jù)不同的獨(dú)立過程要考慮不同的優(yōu)劣勢。 如果損失代價(jià)較小，但中斷過程代價(jià)很高，建議使用 7?k ，當(dāng) 7?k 時，比較 x 和灰色預(yù)測值，灰色預(yù)測的 Ⅰ類誤差 較??；就是說，當(dāng)過程實(shí)際受控制時，灰色預(yù)測有較小發(fā)現(xiàn)失去控制的概率。 因?yàn)榛疑A(yù)測的 ARL 很大，除非過程中斷的代價(jià)是微小的，否則 不建議將 k 值增加到 8。 如果失控和中斷的代價(jià)都很高，可同時用抽樣和灰色預(yù)測來監(jiān)控過程。一旦灰色預(yù)測和樣本值指出過程可能失控，在過程中斷前就該做提前檢查。