專題08--猜想與證明(解析版)-資料下載頁
2025-04-03 02:36本頁面
【正文】 5，6）或（16，6）或（1+6，6）．11．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(3，0)，C(0，3)，交x軸于另一點B，其頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上一點，直線CP交x軸于點E，若△CAE與△OCD相似，求P點坐標(biāo)；（3）如果點F在y軸上，點M在直線AC上，那么在拋物線上是否存在點N，使得以C，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出菱形的周長；若不存在，請說明理由．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得此拋物線解析式為：；（2）∵∴頂點∵，∴，，∴點E只能在A點左邊①如下圖，若則∴∴∴∵∴聯(lián)立∴，（舍去）∴；②若則∴AE=2∴∴∵∴聯(lián)立∴，（舍去）得因此，或；（3）在拋物線上存在點N，使得以C，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形①若CF為對角線，則CF與NM互相垂直平分時，四邊形CNFM為菱形∵∴∴，四邊形CNFM為正方形∴N點與頂點D重合∵∴，∴菱形CNFM的周長為；②若CF為菱形的一邊，則，NM=NF時，四邊形CNFM為菱形過F作FH⊥NM于H，設(shè)直線NM交x軸于G，則, ∴NM===NF∵，∴∴NF=FH又FH=OG=∴=∴ 或∴NF=或NF=菱形周長為或 因此，存在菱形，其周長為，或.12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(1，4)，點B(3，2)，連接OA，OB．（1）求直線OB與AB的解析式；（2）求△AOB的面積．（3）下面兩道小題，任選一道作答．作答時，請注明題號，若多做，則按首做題計入總分．①在y軸上是否存在一點P，使△PAB周長最?。舸嬖?，請直接寫出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．②在平面內(nèi)是否存在一點C，使以A，O，C，B為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點C坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）設(shè)直線OB的解析式為y=mx， ∵點B(3，2)，∴ ，∴直線OB的解析式為，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意可得：解之得 ∴直線AB的解析式為y= x+5． 故答案為：直線OB的解析式為，直線AB的解析式為y= x+5；（2）如圖，延長線段AB交x軸于點D， 當(dāng)y=0時，x+5=0，x=5，∴點D橫坐標(biāo)為5，OD=5，∴， ∴，故答案為：5． （3）①存在，(0，)；過點A作y軸的對稱點，連接B，交y軸與點P，則點P即為使△PAB周長最小的點，由作圖可知，點坐標(biāo)為，又點B（3，2）則直線B的解析式為：，∴點P坐標(biāo)為，故答案為：；②存在． 或或．有三種情況，如圖所示：設(shè)點C坐標(biāo)為，當(dāng)平行四邊形以AO為對角線時，由中點坐標(biāo)公式可知，AO的中點坐標(biāo)和BC中點坐標(biāo)相同，∴解得∴點坐標(biāo)為，當(dāng)平行四邊形以AB為對角線時，AB的中點坐標(biāo)和OC的中點坐標(biāo)相同，則∴點的坐標(biāo)為，當(dāng)平行四邊形以BO為對角線時，BO的中點坐標(biāo)和AC的中點坐標(biāo)相同，則解得∴點坐標(biāo)為，故答案為：存在，或或．
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