20xx屆山東省濟(jì)寧市鄒城市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題(含解析)-資料下載頁
2025-04-03 01:22本頁面
【正文】 1．過去五年，我國的扶貧工作進(jìn)入了“精準(zhǔn)扶貧”“精準(zhǔn)扶貧”覆蓋了全部貧困人口，東部幫西部，全國一盤棋的扶貧格局逐漸形成，到2020年底全國830個(gè)貧困縣都將脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口將全部脫貧，這將超過全球其他國家過去30年脫貧人口的總和，2020年是我國打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)收官之年，越是到關(guān)鍵時(shí)刻，更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)“精準(zhǔn)”.為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”政策，某扶貧小組計(jì)劃對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目共投資100萬元，：甲項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與投資t（單位：萬元）滿足；乙項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與投資t（單位：萬元）的數(shù)據(jù)情況如表：投資t（萬元）305090收益（萬元）設(shè)甲項(xiàng)目的投入為x（單位：萬元），兩個(gè)項(xiàng)目的總收益為（單位：萬元）.（1）根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，從下面四個(gè)函數(shù)中選取一個(gè)合適的函數(shù)描述乙項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與投資t（單位：萬元）的變化關(guān)系：①；②；③；④，其中，并求出該函數(shù)；（2）試問如何安排甲、乙這兩個(gè)項(xiàng)目的投資，才能使總收益最大.【答案】（1）函數(shù)④；；（2）甲項(xiàng)目投資80萬元，乙項(xiàng)目投資20萬元.【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，可知函數(shù)不單調(diào)，所以選④表示乙項(xiàng)目的收益與投資t的函數(shù)關(guān)系，然后將表中的數(shù)據(jù)代入中，解方程組求出即可；（2）設(shè)甲項(xiàng)目投資x萬元，則乙項(xiàng)目投資為萬元，由，得，則，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最大值【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，可知函數(shù)不單調(diào)，∵①②③均為單調(diào)函數(shù)，∴由函數(shù)④表示乙項(xiàng)目的收益與投資t的函數(shù)關(guān)系.把，代入，得，解得.∴；（2）設(shè)甲項(xiàng)目投資x萬元，則乙項(xiàng)目投資為萬元，由，得，.令，對(duì)任意恒成立，可得在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，有最大值為1160萬元.故對(duì)甲項(xiàng)目投資80萬元，乙項(xiàng)目投資20萬元，才能使總收益最大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題，解題的關(guān)鍵是從表中的數(shù)據(jù)正確選擇函數(shù)關(guān)系式22．已知函數(shù) (1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性(2)若恒成立，求整數(shù)的最大值(3)求證：【答案】（1）函數(shù)在上為減函數(shù) （2）整數(shù)的最大值為3 （3）見解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合，得函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）原命題可轉(zhuǎn)化為即恒成立，即，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可；（3）由（2）知，，令，再求和即可證明不等式，得解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以 ，即函數(shù)在上為減函數(shù)；（2）由恒成立，即恒成立，即，設(shè)， 所以，令，則，即在為增函數(shù)，又 ，即存在唯一的實(shí)數(shù)根，滿足，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，則，故整數(shù)的最大值為3；（3）由（2）知，，令，則 ，則=，故.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)求解不等式恒成立問題及利用證明的結(jié)論證明不等式，屬綜合性較強(qiáng)的題型.22
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