【正文】 ，BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；（4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值．【答案】（1）AE=DF，AE⊥DF；（2）是；（3）成立，理由見解析；（4）CP=QC﹣QP=．【解析】試題分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90176。，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90176。，∠DAE+∠ADF=90176。，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90176。，所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，再由勾股定理可得QC的長(zhǎng)，再求CP即可．試題解析：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90176。．在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF（SAS）．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90176。，∴∠DAE+∠ADF=90176。．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G，則∠CDF+∠ADG=90176。，∴∠ADG+∠DAE=90176。．∴AE⊥DF；（4）如圖：由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90176。，∴點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，在Rt△QDC中，QC=，∴CP=QC﹣QP=．考點(diǎn)：四邊形的綜合知識(shí)．14．倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問題．習(xí)題 如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45176。，連接EF，則EF=BE+DF，說明理由．解答：∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90176。，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90176。至△ADE′，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上．∴∠E′AF=90176。45176。=45176。=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．類比猜想：（1）請(qǐng)同學(xué)們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)∠BAD=120176。，∠EAF=60176。時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？請(qǐng)說明理由．（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】證明見解析．【解析】試題分析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120176。至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120176。，則點(diǎn)F、D、E′不共線，所以DE′+DF＞EF，即由BE+DF＞EF；（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE′=AE，∠EAF=∠E′AF，然后利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，由于∠ADE′+∠ADC=180176。，知F、D、E′共線，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納出結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)∠BAD=120176。，∠EAF=60176。時(shí)，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120176。，∠EAF=60176。，∴AB=AD，∠1+∠2=60176。，∠B=∠ADC=60176。，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120176。至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，∴∠EAE′=120176。，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60176。，∴∠2+∠3=60176。，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120176。，即點(diǎn)F、D、E′不共線，∴DE′+DF＞EF∴BE+DF＞EF；（2）當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF成立．理由如下：如圖（3），∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180176。，∴∠ADE′+∠D=180176。，∴點(diǎn)F、D、E′共線，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴EF=DE′+DF=BE+DF；歸納：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176。，∠EAF=∠BAD時(shí)，EF=BE+DF．考點(diǎn)：四邊形綜合題．15．已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形AECF都是矩形，AE與BC交于點(diǎn)M，CF與AD交于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF滿足何種關(guān)系時(shí)，四邊形 AMCN是菱形，證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)AB＝AF時(shí)，四邊形AMCN是菱形．證明見解析；【解析】試題分析：（1）由已知條件可得四邊形AMCN是平行四邊形，從而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90176。，利用HL即可證明；（2）若四邊形AMCN為菱形，則有AM=AN，從已知可得∠BAM=∠FAN，又∠B=∠F=90176。，所以有△ABM≌△AFN，從而得AB=AF，因此當(dāng)AB＝AF時(shí)，四邊形AMCN是菱形．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90176。，AB＝CD，AD∥BC．∵四邊形AECF是矩形，∴AE∥CF．∴四邊形AMCN是平行四邊形．∴AM＝CN．在Rt△ABM和Rt△CDN中，AB＝CD，AM＝CN，∴Rt△ABM≌Rt△CDN．（2）當(dāng)AB＝AF時(shí)，四邊形AMCN是菱形．∵四邊形ABCD、AECF是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90176。．∴∠BAD－∠NAM＝∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四邊形AMCN是平行四邊形，∴平行四邊形AMCN是菱形．考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．三角形全等的判定與性質(zhì)；3．菱形的判定．