20xx-20xx九年級(jí)數(shù)學(xué)平行四邊形的專項(xiàng)培優(yōu)-易錯(cuò)-難題練習(xí)題及詳細(xì)答案-資料下載頁(yè)
2025-03-30 22:22本頁(yè)面
【正文】 EFG為菱形；（2）設(shè)DE=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，即，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．考點(diǎn)：1．翻折變換（折疊問(wèn)題）；2．勾股定理；3．菱形的判定與性質(zhì)；4．矩形的性質(zhì)；5．綜合題．14．如圖1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=60176。，求證：AM=MN．（2）若將（1）中“正三角形ABC”改為“正方形ABCD”，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=90176。，則AM=MN是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由．（3）若將（2）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形A1A2…An“，其它條件不變，請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠An﹣2MN=_____176。時(shí)，結(jié)論An﹣2M=MN仍然成立．（不要求證明） 【答案】【解析】分析：（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點(diǎn)E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AM=MN．（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點(diǎn)E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AM=MN．詳（1）證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．在正△ABC中，∠B=∠BCA=60176。，AB=BC．∴∠NMC=180176?！螦MN∠AMB=180176?！螧∠AMB=∠MAE，BE=ABAE=BCMC=BM，∴∠BEM=60176。，∴∠AEM=120176。．∵N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，∴∠ACN=60176。，∴∠MCN=120176。．在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：結(jié)論成立；理由：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90176。，AB=BC．∴∠NMC=180176?！螦MN∠AMB=180176。∠B∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=ABAE=BCMC=BM，∴∠BEM=45176。，∴∠AEM=135176。．∵N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)，∴∠NCP=45176。，∴∠MCN=135176。．在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（3）由（1）（2）可知當(dāng)∠An2MN等于n邊形的內(nèi)角時(shí)，結(jié)論An2M=MN仍然成立；即∠An2MN=時(shí)，結(jié)論An2M=MN仍然成立；故答案為[]．點(diǎn)睛：本題綜合考查了正方形、等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，同時(shí)考查了學(xué)生的歸納能力及分析、解決問(wèn)題的能力．難度較大．15．（本題14分）小明在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)知識(shí)時(shí)總結(jié)了如下結(jié)論：端點(diǎn)分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短．小明應(yīng)用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行了下列探索活動(dòng)和問(wèn)題解決．問(wèn)題1：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，P為AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PB，PA為邊構(gòu)造□APBQ，求對(duì)角線PQ的最小值及PQ最小時(shí)的值．（1）在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為 ，當(dāng)PQ最小時(shí)= _____ __；（2）小明對(duì)問(wèn)題1做了簡(jiǎn)單的變式思考．如圖3，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到點(diǎn)E，使AE=nPA（n為大于0的常數(shù)）．以PE，PC為邊作□PCQE，試求對(duì)角線PQ長(zhǎng)的最小值，并求PQ最小時(shí)的值；問(wèn)題2：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．（1）如圖4，若為上任意一點(diǎn)，以，為邊作□．試求對(duì)角線長(zhǎng)的最小值和PQ最小時(shí)的值．（2）若為上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，再以，為邊作□．請(qǐng)直接寫(xiě)出對(duì)角線長(zhǎng)的最小值和PQ最小時(shí)的值．【答案】問(wèn)題1：（1）3，；（2）PQ=，=．問(wèn)題2：（1）=4，．（2）PQ的最小值為．．【解析】試題分析：?jiǎn)栴}1：（1）首先根據(jù)條件可證四邊形PCBQ是矩形，然后根據(jù)條件“四邊形APBQ是平行四邊形可得AP=QB=PC，從而可求的值．（2）由題可知：當(dāng)QP⊥AC時(shí)，PQ最?。^(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．此時(shí)四邊形CDPQ為矩形，PQ=CD，在Rt△ABC中，∠C=90176。，AC=4，BC=3，利用面積可求出CD=,然后可求出AD=， 由AE=nPA可得PE=，而PE=CQ=PD=ADAP=，所以AP=．所以=．問(wèn)題2：（1）設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)．Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由題可知：當(dāng)QP⊥AB時(shí)，PQ最小，此時(shí)=CH=4，根據(jù)條件可證四邊形BPQH為矩形，從而QH=BP=AP．所以．（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，當(dāng) AB時(shí)，的長(zhǎng)最小，PQ的最小值為．．試題解析：?jiǎn)栴}1：（1）3，；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．由題意可知當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ最短．所以此時(shí)四邊形CDPQ為矩形．PQ=CD，DP=CQ=PE．因?yàn)椤螧CA=90176。，AC=4，BC=3，所以AB=5．所以CD=．所以PQ=．在Rt△ACD中AC=4，CD=，所以AD=．因?yàn)锳E=nPA，所以PE==CQ=PD=ADAP=．所以AP=．所以=．問(wèn)題2：（1）如圖2，設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)．所以G是DC的中點(diǎn)，作QHBC，交BC的延長(zhǎng)線于H，因?yàn)锳D//BC，所以．所以．又，所以Rt≌Rt．所以AD=HC，QH=AP．由圖知，當(dāng) AB時(shí)，的長(zhǎng)最小，即=CH=4．易得四邊形BPQH為矩形，所以QH=BP=AP．所以．（若學(xué)生有能力從梯形中位線角度考慮，若正確即可評(píng)分．但講評(píng)時(shí)不作要求）（2）PQ的最小值為．．考點(diǎn)：1．直角三角形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．平行四邊形的性質(zhì)；4矩形的判定與性質(zhì)．
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