20xx數(shù)學(xué)分?析課本華師大三版)習(xí)題及答案第四章精選-資料下載頁
2025-03-26 00:59本頁面
【正文】 h2hh??h，從而?arctanh?h。 0???h，因此21?h21??21?h6．確定以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）f(x)?3x?x （2）f(x)?2x?lnx22x2?1（3）f(x)?2x?x （4）f(x)?x2解 （1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?當(dāng)x?3 233時(shí)，f?(x)?0，f遞增；當(dāng)x?時(shí)，f?(x)?0，f遞減。 2214x2?11（2）f的定義域?yàn)閤?0。f?(x)?4x??，令f?(x)?0，得x?xx2當(dāng)0?x?11時(shí)，f?(x)?0，f遞減；當(dāng)x?時(shí)，f?(x)?0，f遞增。221?x2x?x2（3）f的定義域?yàn)??x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1當(dāng)0?x?1時(shí)，f?(x)?0，f遞增；當(dāng)1?x?2時(shí)，f?(x)?0，f遞減。1x2?1?0，故f在其定義域 （4）f的定義域?yàn)閤?0。f?(x)?1?2?2xx(??,0)?(0,??)遞增。7．應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明以下不等式：x3?（1）tanx?x?，x?(0,)33x3證明 設(shè)f(x)?tanx?x?，那么f在x?0連續(xù)，且f(0)?0。由于3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0,?3)，故f在(0,?3)嚴(yán)格單調(diào)遞x3?增，又因f在x?0連續(xù)，因此f(x)?f(0)?0，從而tanx?x?，x?(0,)。33（2）2x??sinx?x，x?(0,2x?2)2sinxsnix2??。設(shè)f(x)?那么f在x??sinx，?，??xx?2?xcosx?sinx(x?tanx)cosx?連續(xù)，且f()?0。由于f?(x)?，??0x?(0,)。2222xx??sinx2?因此f在(0,)嚴(yán)格單調(diào)遞減，因此f(x)?f()?0，從而?，x?(0,)。22x?2證明 先證其次證明：sinx?x。設(shè)f(x)?x?sinx，那么f在x?0連續(xù)，且f(0)?0。由于f?(x)?1?cosx?0，x?(0,?2)。因此f在(0,?2)嚴(yán)格單調(diào)遞增，又因f在x?0連續(xù)，因此f(x)?f(0)?0，從而x?sinx，x?(0,?2)。x2x2?ln(1?x)?x?（3）x?，x?0 22(1?x)x2x2?ln(1?x)，x?0。?nl(1?x)，證明 先證：x?令f(x)?x?那么f在x?0221?x2??0，x?0。因此f在x?0嚴(yán)格連續(xù)，且f(0)?0。由于f?(x)?1?x?1?x1?xx2?ln(1?x)，x?0。單調(diào)遞減，又因f在x?0連續(xù)，因此f(x)?f(0)?0，從而x? 2x2x2?ln(1?x)，那么其次證明：ln(1?x)?x?，x?0。令f(x)?x?2(1?x)2(1?x)2x?x21x2???0，x?0。且f(0)?0。由于f?(x)?1?f在x?0連續(xù)，2(1?x)21?x(1?x)2因此f在x?0嚴(yán)格單調(diào)遞增，又因f在x?0連續(xù)，因此f(x)?f(0)?0，從而x2ln(1?x)?x?，x?0。2(1?x)8．以S(x)記由(a,f(a)), (b,f(b)), (x,f(x))三點(diǎn)組成的三角形面積, 試對(duì)S(x)應(yīng)用羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理.證明 由于S(x)?1?b2xaf(a)1f(b)1, 假設(shè)f(x)在[a,b]連續(xù), 在(a,b)可導(dǎo), 那么易見f(x)1S(x)也在[a,b]連續(xù), 在(a,b)可導(dǎo), 且S(a)?S(b)?0. 故由羅爾定理知, 存在??(a,b), 使得S?(?)?0. 而1?b21a1f(b)1?[f?(x)(b?a)?(f(b)?f(a))], 故2f?(x)0f(a)1S?(x)?f(b)?f(a)?f?(?)(b?a).1．試征詢函數(shù)f(x)?x,g(x)?x在區(qū)間[1, 1]上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么？2解 由于f?(x)?2x,g?(x)?3x，故當(dāng)x?0時(shí)，f?(0)?0,g?(0)?0，不滿足柯23西中值定理的條件，因此在區(qū)間[1, 1]上不能用柯西中值定理。2．設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可導(dǎo)，證明：存在??(a,b)，使得2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f?(?)證明 設(shè)F(x)?x[f(b)?f(a)]?(b?a)f(x)，那么F(x)在[a,b]上連續(xù)并可222
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