【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 奶 牛 數(shù) 量 ：幼 牛 數(shù) 量 ：實(shí) 際 年 末 產(chǎn) 奶 牛 數(shù) 量 ：計(jì) 劃 年 末 產(chǎn) 奶 牛 數(shù) 量 限 制 ： 100 (150%) s年 末 幼 牛 數(shù) 量 ：留 下 的 剛 出 生 小 母 牛 數(shù) 量 ：賣(mài) 掉 的 剛 出 生 小 母 牛 數(shù) 量 ：5551 ( 3 )21( 1 ) 2ams??? ? ?賣(mài) 掉 的 剛 出 生 小 公 牛 數(shù) 量 ： 種植面積限制： 5550 g t 200 。0 g 80。? ? ??? 幼牛數(shù)量限制： ? ? ? ?5 5 55 5 5a u a (3) 。m 0 m 1 s ??? ? ? 糧食及甜菜買(mǎi)賣(mài)決定式： 5555h d 0。f b 0。???? 供需平衡： 5 5 5 5 5 55 5 5 5 5 52d g s ( u a ( 3)) h 。32b t s ( u a ( 3)) f 。3? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 五年公共所需貸款金額： 51)(6000020400100400011 ???????????? rICr 其中，第一年初承包 120 頭牛的費(fèi)用： 204001004000 ??? 必須貸款，地租 60000 元有可 12 能從當(dāng)年收益中獲得，故做謹(jǐn)慎估計(jì) 051)(11 ??????? rIC 15? ? ?每 年 還 貸 款 額 ：r (1+ 5) 模型的目標(biāo)函數(shù)： 560 000)(m a x 5 15 1 ???????? ?? ?? rCIN k kk k 模型求解和方案分析 本文建立以影響農(nóng)場(chǎng)第 k 年支出和收入的參數(shù)為決策變量，以五年總收益為最大目標(biāo)函數(shù)的非線性回歸模型，目標(biāo)函數(shù)為：560 000)(m a x 5 15 1 ???????? ?? ?? rCIN k kk k ；決策變量有：賣(mài)出幼公牛頭數(shù)??1km ， 賣(mài)出幼母牛頭數(shù) ??0km ， 留下的幼母牛頭數(shù) ??3ka ， 每年初小母牛的 ku ，擁有的產(chǎn)奶牛頭數(shù) ks ， 糧食種植畝數(shù) kg ， 甜菜種植畝數(shù) kt ， 糧食購(gòu)買(mǎi)噸數(shù) kd ，甜菜購(gòu)買(mǎi)噸數(shù) kb ， 賣(mài)出糧食噸數(shù) kh ， 賣(mài)出糧食噸數(shù) kh ， 賣(mài)出甜菜噸數(shù) kf ； 結(jié)合農(nóng)產(chǎn)面積限制，牛群數(shù)量要求等約束條件，基于 lingo 軟件建立規(guī)劃模型求解出五年農(nóng)場(chǎng)的最大凈收益。 在每一年中，由于題目繁雜的條件限制，尤其是小牛會(huì)長(zhǎng)成產(chǎn)奶牛，每年可以自行選擇出賣(mài)新生小母牛的數(shù)量，各年的收入、支出及約束條件會(huì)有相應(yīng)調(diào)整，分開(kāi)列式建模是合理化的。 模型的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，貸款金額 R 的試算。為使得凈利潤(rùn)最大化，同時(shí)減輕每年末的貸款還款壓力，考慮由兩部分費(fèi)用組成：一部分為承包農(nóng)場(chǎng)所需的 120頭牛費(fèi)用；另一部分為承包第一年能使得農(nóng)場(chǎng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)的最少費(fèi)用（包括地租、貸款、飼養(yǎng)牛群費(fèi)用），即為預(yù)期第一年獲得的總支出和總收入之差。由此，求出的 R 為最優(yōu)貸款數(shù) 額。 第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于：每年種植的糧食、甜菜未知，而只有當(dāng)種植的食物少于 13 牛需要的數(shù)量時(shí)才會(huì)從市場(chǎng)上高價(jià)購(gòu)買(mǎi)，相反則出售。所以首先，分別設(shè)出每年的糧食、甜菜購(gòu)買(mǎi)量和賣(mài)出量，用 h d 0,ii?? f b 0ii??進(jìn)行限制選擇，巧妙避開(kāi)在未知狀態(tài)下人為做出買(mǎi)入食物還是賣(mài)出食物的選擇。其次，根據(jù)供給等于需求的經(jīng)濟(jì)學(xué)平衡，有 2d g s ( u a ( 3) ) h3i i i i i i? ? ? ? ? ? ? ? ? 2b t s ( u a ( 3) ) f3i i i i i i? ? ? ? ? ? ? ? ? 令糧食和甜菜的種植、買(mǎi)賣(mài)選擇問(wèn)題得到有效解決。 第三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，農(nóng)場(chǎng)最多只能養(yǎng) 130 頭牛，超過(guò)此數(shù)每多養(yǎng)一頭，要投資 2020元。這里的額外投資為固定投資，但存在每年多出的牛中有重復(fù)計(jì)算的，需要剔除 ,否則額外投資變動(dòng)較大 。運(yùn)用 max 函數(shù)，將次年與上一年的總牛數(shù)相減即可： )0)),0,130)3(m a x ()0,130)3(m a x ( ( m a x ( ??????? kkkkkk ausaus 。 綜上所述，將模型輸入 lingo 軟件后求解得到局部最優(yōu)解，得出農(nóng)場(chǎng)五年期的貸款金額為貸： 408000 元； 五年最大凈利潤(rùn)為： 758364 元；農(nóng)產(chǎn)五年的生產(chǎn)計(jì)劃表如下： 表一 農(nóng) 場(chǎng)五年生產(chǎn)方案 變量 年份k 賣(mài)出幼公牛頭數(shù)??1km 賣(mài)出幼母牛頭數(shù)??0km 留下的幼母牛頭數(shù)??3ka 擁有的產(chǎn)奶牛頭數(shù)ks 糧食種植畝數(shù) kg 甜菜種植畝數(shù) kt 糧食購(gòu)買(mǎi)噸數(shù) kd 甜菜購(gòu)買(mǎi)噸數(shù) kb 賣(mài)出糧食噸數(shù) kh 賣(mài)出甜菜噸數(shù) kf 1 55 37 18 100 80 120 0 0 2 54 0 54 98 80 120 0 0 3 89 33 56 150 80 120 0 0 4 82 82 0 183 80 120 0 0 5 103 103 0 188 80 120 0 0 5 年末 — — — 175 — — — — — — 14 問(wèn)題分析與模型建立 2 個(gè)百分點(diǎn)，分別為10%和 14%，重新計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的解； ，我們以按年還息，到期還本為例，只需修改模型中對(duì)貸款金額 R 的約束為： 11 4 0 0 0 1 0 0 4 0 0 2 0 6 0 0 0 0 0 .1 2r C I r? ? ? ? ? ? ? ? ? ，直接分析 kg ， kt 系數(shù)的靈敏度；對(duì)于糧食：kg 的系數(shù)變化為一個(gè)單位時(shí)，產(chǎn)量的變化 1/900。對(duì)于甜菜：產(chǎn)量變化 1/750將導(dǎo)致 kt 的系數(shù)變化一個(gè)單位，由此可分析產(chǎn)量變化分別對(duì)目標(biāo)函數(shù)值和最優(yōu)解的影響； 模型求解 （ 1）當(dāng)利率調(diào)低兩個(gè)百分點(diǎn)即 10%時(shí)，的目標(biāo)函數(shù)為： 5511m a x ( 1 5 0 . 1 0 ) 6 0 0 0 0 5kkkkN I C r??? ? ? ? ? ? ? ??? 貸款金額為： 11 14 0 0 0 1 0 0 4 0 0 2 0 6 0 0 0 0 ( 1 5 0 . 1 0 ) 5r C I r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其他約束條件不變，求解得到的最優(yōu)解為：最終總盈利 758364 元，貸款金額為 408000，此時(shí)公司盈利變大，生產(chǎn)方案不發(fā)生變化； 當(dāng)利率調(diào)整為 14%時(shí)，同理求解得到的最優(yōu)解為：總盈利 6535951 元，貸款金額仍為 408000，此時(shí)公司盈利減小。 （ 2）還 貸方式發(fā)生變化時(shí)，五年計(jì)劃及收益也會(huì)隨之發(fā)生改變。以按年還息，到期還本為例，經(jīng)過(guò)計(jì)算，公司的最大利潤(rùn)為 756289 元。其五年的生產(chǎn)計(jì)劃如下表： 15 表二 改變還款方式后的五年生產(chǎn)計(jì)劃 （ 3）控制勞動(dòng)力市場(chǎng)價(jià)格不變，僅有糧食產(chǎn)量變化或者甜菜產(chǎn)量的變化時(shí)，在 lingo 軟件的 range report 的參數(shù)和原始變量的系數(shù)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算得出 甜菜產(chǎn)量的變化區(qū)間： ①當(dāng)只考慮甜菜產(chǎn)量變化時(shí)，甜菜的原產(chǎn)量為 ，當(dāng)甜菜產(chǎn)量的變動(dòng)區(qū)間約為 ? ?, 時(shí)，整個(gè)模型的最優(yōu)基不變，模型仍可以得到局部最優(yōu)解，五年的生產(chǎn)計(jì)劃不變，此時(shí)農(nóng)場(chǎng)仍可取得最大的凈盈利，此時(shí)求得的最優(yōu)解的范圍是：? ?61 27 70 ,80 01 51元 ②當(dāng)只考慮糧食產(chǎn)量變化時(shí)，糧食的產(chǎn)量區(qū)間約為 ? ?, 時(shí)，整個(gè)模型的最優(yōu)基不發(fā)生改變，農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)計(jì)劃不會(huì)發(fā)生變化時(shí)仍可取得最大的凈盈利為714588，而糧食增產(chǎn)時(shí)仍采取原來(lái)生產(chǎn)方案。 （ 4）當(dāng)只考慮勞動(dòng)力市場(chǎng)價(jià)格變化時(shí)，勞動(dòng)力如果變動(dòng)將導(dǎo)致本模型的最優(yōu)基發(fā)生變化，最優(yōu)解也將發(fā)生變化。 變量 年份k 賣(mài)出幼公牛頭數(shù)??1km 賣(mài)出幼母牛頭數(shù)??0km 留下的幼母牛頭數(shù)??3ka 年初小母?？傤^數(shù) ku 擁有的產(chǎn)奶牛頭數(shù)ks 糧食種植畝數(shù) kg 甜菜種植畝數(shù) kt 糧食購(gòu)買(mǎi)噸數(shù) kd 甜菜購(gòu)買(mǎi)噸數(shù) kb 賣(mài)出糧食噸數(shù) kh 賣(mài)出甜菜噸數(shù) kf 1 55 14 41 20 100 80 120 0 0 2 54 0 54 49 98 80 120 0 0 3 100 67 33 0 183 80 120 0 0 4 94 94 0 32 170 80 120 0 0 5 103 103 0 0 188 80 120 0 0 5 年末 — — — 0 175 — — — — — — 16 模型的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：模型把握全局，以最大化的五年總凈收益為目標(biāo)函數(shù)； 模型中目標(biāo)函數(shù)包含了所有收益項(xiàng)目和支出項(xiàng)目的計(jì)算； 將貸款金額作為決策變量之一進(jìn)行建模。 缺點(diǎn)：非線性變量過(guò)多，計(jì)算出的為局部最優(yōu)解，增大靈敏度分析的難度； 每年牛的頭數(shù)應(yīng)為整數(shù)，為了避免計(jì)算的難度，模型沒(méi)有對(duì)所有牛的頭數(shù)進(jìn)行取整； 模型沒(méi)有考慮飼養(yǎng)每頭牛所需的 土地面積； 模型改進(jìn) 可將目標(biāo)函數(shù)中的 @smax()函數(shù)化為線性表示，將整個(gè)模型變?yōu)榫€性規(guī)劃模型； 可在 lingo 中使用 @GIN()函數(shù)對(duì)部分表達(dá)式進(jìn)行取整； 可更深入地挖掘和每年的具體細(xì)節(jié)限制或者去掉對(duì)模型計(jì)算結(jié)果影響不大的表達(dá)式項(xiàng)，從而簡(jiǎn)化模型； 可查閱資料對(duì)楊每頭牛的占地面積進(jìn)行設(shè)定，將此參數(shù)加入模型的約束條件中。 7．參考文獻(xiàn) [1]姜啟源 ,謝金星 ,葉俊 .數(shù)學(xué)模型（第三版） .高等教育出版社 . [2]胡運(yùn)權(quán) .運(yùn)籌學(xué)教程 .清華大學(xué)出版社 . [3]吳祈宗 .運(yùn)籌學(xué)與最優(yōu)化方法 .機(jī)械工業(yè) 出版社 . 17 附件： model: title 農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)規(guī)劃問(wèn)題 。 !所有變量 s(k) 第 k年的產(chǎn)奶牛數(shù)量 x(k) 第 k年末的小母牛數(shù)量 u(k) 第 k年初小母牛數(shù)量 a(k,1)第 k年末 0歲的小母牛數(shù)量 a(k,2)第 k年末 1歲的小母牛數(shù)量 a(k,3)第 k年沒(méi)有變賣(mài)的小母牛數(shù)量 m(k,1)第 k年初賣(mài)出的小母牛數(shù)數(shù)量 m(k,2)第 k年初賣(mài)出的小公牛數(shù)數(shù)量 t(k) 第 k年甜菜的種植面積 f(k) 第 k年賣(mài)甜菜的數(shù)量 b(k) 第 k年買(mǎi)甜菜的數(shù)量 g(k) 第 k年糧食的 種植面積 h(k) 第 k年賣(mài)糧食的數(shù)量 d(k) 第 k年買(mǎi)糧食的數(shù)量 I(k) 第 k年的總收入 C(k) 第 k年的總成本 N(k) 第 k年的凈利潤(rùn) R 貸款本金 。 !Nk：第 k年的凈收益 。 sets: year/1,2,3,4,5,6/:x,u,f,t,b,g,h,d,s,N。 age/1,2/。 ag/1,2,3/。 maichu(year,age):m。 18 xiaoniu2(year,ag):a。 endsets !第一組約束條件 。 s(1)=100。 s(6)=100*。 s(6)=100*。!牛的頭數(shù)限制 。 a(4,3)=0。 a(1,2)=10。 u(1)=20。 a(5,3)=0。 @for(year(i)|ilt6:x(i)=u(i)+a(i,3)。 !第 i年年初小母牛數(shù) +本年留下的小母牛數(shù)=本年擁有的小母牛數(shù) 。 @for(year(i)|ilt6:m(i,1)+m(i,2)=s(i)*)。!賣(mài)出的小母牛和公牛數(shù)量限制 。 @for(year(i)|(igt1)and(ile6):s(i)=*s(i1)10*^(i1)+5*a(i1,2))。!每年產(chǎn)奶牛數(shù)量變化 。 @for(year(i)|(igt1)and(ile6):u(i)=*x(i1)*a(i1,2))。!年初小母牛損失后的總小母牛 。 @for(year(i)|ilt6:m(i,1)=()*s(i)a(i,3))。!賣(mài)出的小母牛數(shù)量 。 @for(year(i)|ilt6:m(i,2)=()*s(i))。!賣(mài)出的小公牛數(shù)量 =產(chǎn)出的小公牛數(shù)量 。 @for(year(i)|ilt6:g(i)+t(i)=200)。!種植甜菜和糧食面積限制 。 @for(year(i)|ilt6:g(i)=80)。!糧食面積限制 。 @for(year(i)|ilt6:h(i)*d(i)=0)。 @for(year(i)|ilt6:f(i)*b(i)=0)。!糧食或甜菜賣(mài)出與買(mǎi)進(jìn)的積為零 。 @for(year(i)|ilt6:d(i)+*g(i)=*s(i)+