【文章內(nèi)容簡介】 解 ：如圖 2 所示，連接 AE、 BF，過 C 點作線段 CG∥ BF，且 CG＝ BF，連接 FG、 EG，則 △ EFG 就是 △ ABC 平移后的圖形。 86 （ 3）已知原圖和平移方向、平移距離，作平移后的圖形。 【例 3】 如圖 1 所示，將 △ ABC 按箭頭所示方向平移 4cm，畫出平移后的圖形。 （保留作圖痕跡，不必寫作法） 解：如圖 2 所示， △ DEF 就是 △ ABC 平移后的圖形。 平移作圖的條件 （ 1）圖形原來的位置 （ 2）平移的方向 （ 3）平移的距離 三、坐標系中的平移 一個圖形 沿 x 軸方向平移或沿 y 軸方向平移 （ 1） 圖形的平移引起坐標的變化 坐標系中原圖形的坐標 平移方向 平移距離 對應點的坐標 （ x， y） 沿 x 軸方向 向右 a 個單位長度 （ a＞ 0） （ x＋ a， y） 向左 （ x－ a， y） 沿 y 軸方向 向上 （ x， y＋ a） 向下 （ x， y－ a） 【說明】 左右平移縱坐標不變，橫坐標左減右加；上下平移橫坐標不變，縱坐標上加下減。 （ 2） 坐標的變化引起圖形的變化 ① 縱坐標不變，橫坐標分別增加（或減少） a時，圖形向右（或向左）平移 a個單位； ② 橫坐標不變，縱坐標分別增加（或減少） a時，圖形向上（或向下）平移 a個單位。 一個圖形依次沿 x 軸方向、 y 軸 方向平移 （ 1）圖形的平移引起坐標的變化 原圖形的坐標 平移方向與平移距離 對應點的坐標 （ x， y） 向右平移 a 個單位長度，向上平移 b 個單位長度 （ x＋ a， y＋ b） 向右平移 a 個單位長度，向下平移 b 個單位長度 （ x＋ a， y－ b） 向左平移 a 個單位長度，向上平移 b 個單位長度 （ x－ a， y＋ b） 向左平移 a 個單位長度，向下平移 b 個單位長度 （ x－ a， y－ b） 【說明】一個圖形依次沿 x軸方向、 y軸方向平移后所得的圖形，可以看作是由原圖形經(jīng)過一次平移得到的。平移的距離等于向 x 軸、 y 軸平移距離的平方和 的算術平方根。平移的方向是起始位置到終止位置時每對對應點的方向。 （ 2）坐標的變化引起圖形的變化 ① 橫坐標增加 a，縱坐標增加 b 時，圖形先向右平移 a 個單位，再向上平移 b個單位。 ②橫坐標增加 a，縱坐標減少 b 時，圖形先向右平移 a 個單位，再向下平移 b個單位。 ③橫坐標減少 a，縱坐標增加 b 時，圖形先向左平移 a 個單位，再向上平移 b個單位。 ④橫坐標減少 a，縱坐標減少 b 時，圖形先向左平移 a 個單位，再向下平移 b個單位。 87 第 2 節(jié) 圖形的旋轉 一、 旋轉 的相關概念 旋轉的定義 在平面內(nèi)，將一個圖 形繞著某一個定點按某個方 向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉 （ rotation） 。 旋轉的三要素 （ 1）旋轉中心：旋轉時的定點稱為旋轉中心。 （ 2）旋轉方向：順時針、逆時針 （ 3）旋轉角：轉動的角稱為旋轉角。 【說明】 ① 如圖 1 所示， △ ABO 繞點 O 順時針 旋轉得到 △ CDO，則： 點 A 的對應點是點 C ，點 B 的對應點是點 D ； 線段 OA 的對應線段是線段 OC ； 線段 OB 的對應線段是線段 OD ； 線段 AB 的對應線段是線段 CD ； ∠ A 的對應角是 ∠ C ； ∠ B的對應角是 ∠ D ； ∠ AOB 的對應角是 ∠ COD ； 旋轉中心是 點 O；旋轉的角是 ∠ AOC 或 ∠ BOD。 ② 如圖 2 所示， △ ABC 繞點 O 順時針旋 轉得到 △ DEF，則： 點 A 的對應點是點 D ， 點 B 的對應點是點 E ； 點 C 的對應點是點 F ； 線段 AB 的對應線段是線段 DE ； 線段 BC 的對應線段是線段 EF ； 線段 AC 的對應線段是線段 DF ； ∠ A 的對應角是 ∠ D ； ∠ B 的對應角是 ∠ E ； ∠ C 的對應角是 ∠ F ； 旋轉中心是 點 O；旋轉的角是 ∠ AOD 或 ∠ BOE 或 ∠ COF。 ③ 旋轉中心在旋轉過程中保持不動，旋轉中心 可以在圖形上，可以在圖形外，還可以在圖形內(nèi)。 ④ 旋轉角的角度范圍為 0176。＜ x＜ 360176。 旋轉的實質(zhì) 圖形上的每一個點都繞著旋轉中心沿相同方向旋轉了相同的角度。 旋轉的性質(zhì) 旋轉改變了圖形的位置，但不改變圖形的形狀和大小，這說明旋轉前后的兩個圖形是全等的，因此得到如下性質(zhì)： （ 1）對應點到旋轉中心的距離相等。 （ 2）任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，它們都相等。 （ 3）對應線段相等，對應角相等。 二、旋轉作圖 旋轉作圖的類型 （ 1）已知原圖、旋轉中心和一對對應點，作旋 轉后的圖形。 【例 1】如圖 1 所示， △ ABC 繞 O 點按逆時針方向旋轉后，頂點 A 旋轉到了點 D，試確定旋轉后的三角形。 88 【例 2】如圖 1 所示， △ ABC 繞 O 點按逆時針方向旋轉后， AC 邊旋轉到了 DE 的位置，試確定旋轉后的三角形。 （ 3）已知原圖 、旋轉中心、旋轉方向和旋轉角，作旋轉后的圖形。 【例 3】 已知如圖 1 所示， △ ABC 和旋轉中心 O，請作出 △ ABC 繞點 O 順時針旋轉 60176。后的三角形 △ A′B′C′ 89 旋轉作圖的條件 （ 1）原圖形的位置 （ 2）旋轉中心 （ 3）旋轉方向 （ 4）旋轉角度 三、鐘表的旋轉 秒針勻速旋轉一周需要 1 分鐘，恰好轉過 360176。，即每分鐘轉過 360176。； 分鐘勻速旋轉一周需要 60 分鐘，恰好轉過 360176。，即每分鐘轉過 6176。； 時針勻速旋轉一大格需要 60 分鐘，恰好轉過 30176。，即每分鐘轉過 176。 第 3 節(jié) 中心對稱 一、 中心對稱 中心對稱的概念 如果把一個圖形繞著某一 點旋轉 180176。， 它能 夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱。這個點叫做它們 的對稱中心。 【說明】中心對稱是對兩個圖形來說的，它表示兩個圖形之間的對稱關系。 中心對稱的性質(zhì) 因為成中心對稱的兩個圖形能夠重合，所以這兩個圖形是全等的，因此有如下性質(zhì)： （ 1）成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。 （ 2）成中心對稱的兩個圖形 中，對應線段平行（或在一條直線上）且相等。 （ 3）成中心對稱的兩個圖形中，對應角相等。 確定成中心對稱的兩個圖形的對稱中心的方法 （ 1）連接任意一對對稱點，取這條線段的中點，這個中點即為對稱中心。 （ 2）連接任意兩對對稱點，兩 條線段的交點即為對稱中心。 二、中心對稱圖形 中心對稱圖形的概念 把一個圖形繞著某個點旋 轉 180176。， 如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。 【說明】中心對稱圖形是對一個圖形來的說的。 中心對稱圖形的性質(zhì) （ 1）中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。 （ 2）任何一條經(jīng)過對稱中心的直線都把一個中心對稱圖形分成全等的兩部分。 作中心對稱圖形的步驟 （ 1）確定對稱中心 （ 2）找出所給圖形中的關鍵點 （ 3）作出這些關鍵點關于對稱中心的 對稱點 （ 4）按原圖順序連接所作的對稱點，完成中心對稱圖形。 三、旋轉對稱圖形 旋轉對稱圖形的概念 把一個圖形繞著某個點旋轉一定角度后 ， 如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。旋轉的角度叫做旋轉角。 【說明】（ 1）一個旋轉對稱圖形旋轉后與自身重合，旋轉的角度不一定是唯一的。如圓繞著圓心旋轉任意角度都能與自身重合。 （ 2）旋轉對稱圖形不一定是中心對稱圖形，但中心對稱圖形一定是旋轉對稱圖形。 旋轉對稱圖形的性質(zhì) （ 1）旋轉對稱圖形上的每一對對應點到對稱中 心的距離都相等。 （ 2）任意相鄰的對應點與對稱中心所連線段的夾角都相等。 90 第 4 節(jié) 簡單的圖案設計 一、 欣賞圖案 從美觀的角度來欣賞 體會圖形的藝術美及其蘊涵的設計意義。 從數(shù)學的角度觀察與思考 把圖案分解成一些簡單的圖案，如三角形、圓、線段、多邊形等，再看它們經(jīng)過怎樣的圖形變換可得到原圖案。 【例 1】欣賞圖 1 中的圖案，并分析這個圖案形成的過程。 二、圖案的設計 依據(jù)：軸對稱、平移、旋轉、中心對稱 步驟 （ 1）整體構思 ①圖案的設計要突出“主題”，即設計圖案的意圖，要求簡捷、自然、 別致。 ②確定整幅圖案的形狀和“基本圖案”。 ③構思圖案的形成過程 ：首先構思該圖案由哪幾部分構成，再構思如何運用平移、旋轉、對稱等方法實現(xiàn)由“基本圖案”到各部分圖案的組合，并作出草圖。 （ 2）具體作圖 根據(jù)草圖，運用尺規(guī)作圖的方法準確地作出圖案，有條件的可用幾何畫板或用專業(yè)的畫圖軟件在電腦上繪制出滿意的圖案。 （ 3）對圖案進行適當?shù)男揎?，如著色等? 【例 2】如圖 2 所示，用給定的幾種圖形設計圖案。 要求 設計的圖案至少要能體現(xiàn)平移、旋轉或軸對稱的關系 ，并 簡單說明圖案所表示的含義。 解：如 下 圖 所示 ， ①②③ 既體現(xiàn) 平移關系，又能體現(xiàn)軸對稱關系； ④ 反映軸對稱關系； ⑤⑥體現(xiàn)的是旋轉關系 。 91 第 四 章 因式分解 第 1 節(jié) 因式分解 一、因式分解的概念 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解。 【說明】 （ 1）因式分解的對象必須是多項式，即