【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。負(fù)數(shù)和正數(shù)是什么關(guān)系：數(shù)量相等、意義相反，因此負(fù)數(shù)也是對(duì)數(shù)量的抽象，如果你把掙的錢算正，交的錢就算負(fù)，往東算正，往西就算負(fù)，往上就算正，往下的就意義相反，數(shù)量相等這個(gè)事的意義很重要，因此絕對(duì)值是表示它的數(shù)量，這還談了中國(guó)傳統(tǒng)文化挺好。還有一個(gè)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是內(nèi)涵的方法，內(nèi)涵的方法是數(shù)，是一個(gè)個(gè)多起來(lái)的這個(gè)叫后繼數(shù)，這個(gè)是皮亞諾的算術(shù)工藝體系，數(shù)是一個(gè)個(gè)多起來(lái)的，一個(gè)個(gè)多起來(lái)按+1表示，所以加法同時(shí)定義出來(lái)的，這是數(shù)學(xué)的公理，這是皮亞諾公理，是自然數(shù)公理。那么現(xiàn)在就有一個(gè)問(wèn)題了，我有一次聽(tīng)課說(shuō)是講10000，那么10個(gè)1000是10000，我說(shuō)十千為什么是一萬(wàn)呢，后來(lái)我問(wèn)我們附小，我們附小也是這樣講，課本上也是這樣講的，10個(gè)1000是10000，是乘法，那個(gè)時(shí)候教乘法了嗎？10000是怎么回事？在千以內(nèi)最大的是9999，如果又來(lái)一個(gè)數(shù)，我們?cè)趺唇行碌臄?shù)呢？中國(guó)老祖宗出面起個(gè)名字叫萬(wàn)，西方的老祖宗不是特別聰明就叫它10千，一萬(wàn)是起個(gè)名字，數(shù)是一個(gè)個(gè)多起來(lái)的，這就是內(nèi)涵的方法理解，所以一開(kāi)始用對(duì)應(yīng)的方法，然后用內(nèi)涵的方法來(lái)教這個(gè)事情。不管你怎么教符號(hào)，表達(dá)是一致的，所以符號(hào)表達(dá)很重要。讀數(shù)怎么讀，我也是聽(tīng)一堂課。一開(kāi)始我看孩子們上課前眼睛發(fā)光，聽(tīng)完這堂課眼睛就迷離了，我說(shuō)終于把孩子們講糊涂了。讀數(shù)有0不好讀，是不是？后面有一個(gè)0怎么辦？后面有兩個(gè)0怎么辦？中間有一個(gè)0怎么辦？中間有2個(gè)0怎么辦？一堂課下來(lái)孩子們都弄糊涂了。下課我就問(wèn)老師你讀數(shù)就這么讀啊。老師回答說(shuō)我不這么讀，我說(shuō)你不這么讀你為什么讓孩子們這么讀，我說(shuō)讀數(shù)的關(guān)鍵是什么，他說(shuō)不知道，我說(shuō)你們這么教書不行。我認(rèn)為讀數(shù)的關(guān)鍵就兩條，一個(gè)是符號(hào)，09；第二個(gè)是數(shù)位，個(gè)位的2和十位的2是不一樣的。那么怎么讀呢？就用它的符號(hào)讀它的數(shù)位就完了，2002（2000零百零10，2個(gè)）就是這樣讀，你不嫌麻煩就這么讀，你要嫌麻煩就讀2002，這堂課就講完了，還用講一堂課嗎？五分鐘肯定講完了。還有一件事情就是數(shù)位和數(shù)沒(méi)有分出來(lái)“十”個(gè)個(gè)是“十”，“十”個(gè)十是“百”，“十”個(gè)百是“千”，“十”個(gè)千是“萬(wàn)”，是指數(shù)位，為什么是“十”呢？因?yàn)槭鞘M(jìn)制，數(shù)不是，數(shù)是一個(gè)個(gè)多起來(lái)的，所以萬(wàn)是計(jì)數(shù)單位。運(yùn)算也有兩個(gè)方法，我這邊講兩個(gè)最基礎(chǔ)的，再往下你們自己想去。加法怎么講？加法的本質(zhì)怎么講？加法是最重要的，你們都這樣講的有3個(gè)小方塊再加上1個(gè)小方塊，4個(gè)小方塊，所以3+1+4，對(duì)不對(duì)？我說(shuō)為什么等于4，他也說(shuō)不出來(lái)，我說(shuō)是不是4=3+1，所以3+1=4。是的，但是這里有兩個(gè)事情沒(méi)有說(shuō)出來(lái)，什么叫加？什么叫等？他問(wèn)我怎么講，我說(shuō)你這么講，我們附小老師現(xiàn)在按我說(shuō)的講：這頭有3個(gè)小方塊，這頭有4個(gè)小方塊，問(wèn)小孩哪頭多，小孩說(shuō)那頭多，這頭再加上一個(gè)小方塊，問(wèn)哪頭多，說(shuō)一樣多，所以3+1=4。什么叫加得清楚？什么叫等要清楚？什么叫等？等有兩個(gè)概念，一個(gè)是運(yùn)算的結(jié)果，還有一個(gè)表示量相等。等號(hào)有這么一個(gè)功能，就是等號(hào)在講兩個(gè)故事，兩個(gè)故事量相等，這就是建立方程。什么是方程呢？就是方程必須講兩個(gè)故事，講一個(gè)故事怎么來(lái)列出方程呢，講兩個(gè)故事，兩個(gè)故事量相等，所以就這樣講。我后來(lái)對(duì)小學(xué)老師佩服得五體投地，我講課講得干巴巴的，而我們附小老師這樣講：猴哥哥同猴妹妹去摘桃，猴哥哥摘了4個(gè)，猴妹妹摘了3個(gè)，誰(shuí)摘的多，猴哥哥摘的多，那么我在猴妹妹這加上一個(gè)，一樣多，所以3+1=4。你看人家講的比我好多了，就是所有的符號(hào)，你跟孩子講可能講的不是很清楚，但是你給孩子創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境，讓孩子去悟。所以這塊就涉及到這樣一個(gè)事了，方程。什么是方程？含有未知數(shù)的等式是方程，這句話對(duì)嗎？我就問(wèn)編書的，2xx=x是方程嗎？那是運(yùn)算，怎么叫方程呢？等號(hào)有兩個(gè)功能，一個(gè)是運(yùn)算，一個(gè)是量相等。那么什么是方程？方程應(yīng)該是講兩個(gè)故事，兩個(gè)故事量相乘，因此應(yīng)該是含有未知數(shù)的表示量相等的等式是方程，不把本質(zhì)體現(xiàn)出來(lái)，糾結(jié)表面也沒(méi)用，含有2的等式是方程，你怎么不說(shuō)含有加法的等式是方程呢，所以小學(xué)老師不好當(dāng)就在這里。這些概念是最基本的概念，這些概念是沒(méi)法用其他的詞無(wú)法形容的概念，這些概念你得讓孩子們悟出來(lái)，這就難了，所以我說(shuō)教大學(xué)好教，教研究生好教，這個(gè)概念他都不懂，你都可以批評(píng)他了，你批評(píng)小孩子怎么批評(píng)呢？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（二）作者：史寧中（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師）就是根據(jù)核心素養(yǎng)抓住最本質(zhì)的東西，計(jì)算最本質(zhì)的還在數(shù)位上，只有相同數(shù)位的才能進(jìn)行計(jì)算，個(gè)位只能在個(gè)位加，十位只能在十位加，包括乘法。通分是為了單位，只有化成同樣單位才能比較大小，換成同樣單位才能進(jìn)行加法運(yùn)算，所以要通分就是這個(gè)道理。小數(shù)的乘法也同樣最本質(zhì)的是數(shù)量與數(shù)量的運(yùn)算，單位同單位的運(yùn)算。我有一個(gè)學(xué)生問(wèn)我是豎式重要，還是橫式重要，我跟他講豎式一點(diǎn)也不重要，橫式重要，豎式是計(jì)算程式，橫式表達(dá)的是計(jì)算算理，計(jì)算的道理和計(jì)算的程式應(yīng)該搞清楚，這個(gè)就是課程標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)的應(yīng)該懂得算理。我們通常的運(yùn)算是這樣的，2515是用分配率來(lái)算的，從上往下和從下往上是一個(gè)道理，只要你了解算理，你光教數(shù)是不行的，你得教理，所以我們的小學(xué)老師，我希望我們的孩子們慢慢知道為什么會(huì)這樣，說(shuō)不清楚不要緊，創(chuàng)設(shè)背景能夠感悟就行了，也不用著急。點(diǎn)、線、面，過(guò)去先講點(diǎn)、線、面，后講體，是根據(jù)難易程度來(lái)的，世界上看見(jiàn)的東西都是三維的，都是立體的，必須從立體的把點(diǎn)、線、面抽象出來(lái)，要有一個(gè)抽象的過(guò)程。什么是角？這是個(gè)大問(wèn)題，書上說(shuō)的是由一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出兩條射線所組成的圖形叫做角，但是這個(gè)定義我想半天也沒(méi)想明白，是角的哪一塊啊？是整個(gè)圖形是角，還是哪個(gè)地方是角？第二個(gè)，三角形有沒(méi)有角？三角形是射線，三角形如果沒(méi)有角怎么叫三角形呢？三角形是三個(gè)角的意思，有一個(gè)方法叫做對(duì)應(yīng)法，我說(shuō)要這樣講，你畫一個(gè)圖形，這樣的圖形叫做角，這就是對(duì)應(yīng)的方法，就是起個(gè)名，把這個(gè)圖形叫成角。接著往下說(shuō)，角并不重要，重要的是它的度量，角是由兩個(gè)線段組成的，一個(gè)端點(diǎn)重合，角的大小與線段長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。那么角的大小跟什么有關(guān)？后來(lái)上了這么一節(jié)課，畫一個(gè)角，讓孩子畫出同樣大小的角，一開(kāi)始用量角器，但是不許用，就把這個(gè)角挪到這邊，比哪個(gè)在外頭哪個(gè)大，后來(lái)畫弧，那么單位圓就出來(lái)了，弦長(zhǎng)就決定了角，幾何的度量是非常重要的，幾何度量的本質(zhì)是長(zhǎng)度，我下面再講長(zhǎng)度這個(gè)事情，度量的本質(zhì)是長(zhǎng)度，面積也是同長(zhǎng)度有關(guān)的，體積也是同長(zhǎng)度有關(guān)的，現(xiàn)在我說(shuō)了角也是同長(zhǎng)度有關(guān)的，所以線的長(zhǎng)度是最本質(zhì)的，教幾何位置關(guān)系是重要的，度量是重要的，度量關(guān)鍵是長(zhǎng)度，抓住長(zhǎng)度做文章就不會(huì)出任何問(wèn)題。我?guī)н^(guò)一個(gè)藏族的學(xué)生叫卓瑪，現(xiàn)在是西藏大學(xué)最年輕的教授，她問(wèn)過(guò)我這么一個(gè)問(wèn)題，說(shuō)：“老師，世界上的知識(shí)分幾種？”我一下就被問(wèn)住了，我還挺機(jī)敏的說(shuō)世界上的知識(shí)分三種，小學(xué)老師必須得會(huì)的，有一種是不教也會(huì)的，有一種知識(shí)是教了也不會(huì)的，我們要教那種教了能會(huì)的知識(shí)，但是有時(shí)候不教也會(huì)的知識(shí)，比如說(shuō)怎么認(rèn)錢，該教的時(shí)間長(zhǎng)的得花時(shí)間教，這是基本概念。我們一直不注意概念的理解，一直只注意怎么算，這樣是不行的，所以我建議關(guān)于角度大小這點(diǎn)，你花點(diǎn)時(shí)間用它一堂課，大家畫畫看，慢慢就知道了，角的大小是由長(zhǎng)度決定的，這件事情很重要，平面幾何最重要的全等概念，全等概念的核心就是長(zhǎng)度不變，這是最重要的。數(shù)感是怎么回事呢？剛才我說(shuō)的是抽象的，抽象是最后用符號(hào)表達(dá)，是一種符號(hào)意識(shí)。抽象是舍去現(xiàn)實(shí)背景，數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，它的要害是舍去了現(xiàn)實(shí)背景，舍去了所有的物理背景；數(shù)感是對(duì)數(shù)的感悟，它要回歸現(xiàn)實(shí)背景。估算和精算有什么區(qū)別？精算是對(duì)數(shù)的運(yùn)算，估算是對(duì)數(shù)量的運(yùn)算，這個(gè)是小學(xué)義務(wù)教育階段估算最核心的事情。估算是要有背景的，要有背景的就是要有數(shù)量，讓孩子得知道在桌上估一個(gè)長(zhǎng)度要用厘米，在教室上是用米，縣城之間的距離要用公里。在哪個(gè)單位上估是要有背景的，只要選擇了合適的單位，在這個(gè)單位估還是往下小數(shù)點(diǎn)一位估，就是對(duì)的，都是好的。要不然你不知道估算往哪里估，在合適的背景單位上估是第一條，第二條，估算就是大一點(diǎn)估，小一點(diǎn)估，夠不夠的問(wèn)題，能不能的問(wèn)題，在課標(biāo)第26李阿姨買魚就是一個(gè)例子。一開(kāi)始有些人反對(duì)在小學(xué)里講估算，但是在現(xiàn)實(shí)中有用，我當(dāng)場(chǎng)就舉了一個(gè)例子，后來(lái)就寫成課標(biāo)了，估算在現(xiàn)實(shí)中是有用的，因此抽象現(xiàn)在對(duì)象也知道，功能也知道，現(xiàn)在在腦中形成這樣一個(gè)印象，抽象的東西是不存在的，現(xiàn)實(shí)2是不存在的，只有具體的2匹馬，2頭牛，這個(gè)是第一個(gè)事件。如