【文章內(nèi)容簡介】 成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè) 步驟各有若干種不同的方法，：1．有限制條件的排列問題常見命題形式：“在”與“不在” “鄰”與“不鄰”在解決問題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法：⑴“相鄰”問題在解題時(shí)常用“合并元素法”，可把兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法.⑵“不鄰”問題在解題時(shí)最常用的是“插空排列法”.⑶“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，．有限制條件的組合問題，常見的命題形式：“含”與“不含”“至少”與“至多”在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”.3． 在處理排列、組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重、不漏，按事件的發(fā)生過程分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法.*****************************************************************************提供10道習(xí)題供大家練習(xí)三邊長均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個(gè)數(shù)為（C）(A)25個(gè)(B)26個(gè)(C)36個(gè)(D)37個(gè)【解析】根據(jù)三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可見最大的邊是11則兩外兩邊之和不能超過22 因?yàn)楫?dāng)三邊都為11時(shí) 是兩邊之和最大的時(shí)候因此我們以一條邊的長度開始分析如果為11，則另外一個(gè)邊的長度是11，10，9，8，7，6。1如果為10 則另外一個(gè)邊的長度是10，9，8。2，（不能為1 否則兩者之和會(huì)小于11，不能為11，因?yàn)榈谝环N情況包含了11，10的組合）如果為9 則另外一個(gè)邊的長度是 9，8，7。3（理由同上，可見規(guī)律出現(xiàn)）規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是11＋9＋7＋。1＝（1＋11）6247。2＝36（1）將4封信投入3個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？【解析】 每封信都有3個(gè)選擇。信與信之間是分步關(guān)系。比如說我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封，所以分步屬于乘法原則 即3333＝3^4（2）3位旅客，到4個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？【解析】跟上述情況類似 對(duì)于每個(gè)旅客我們都有4種選擇。彼此之間選擇沒有關(guān)系 不夠成分類關(guān)系。屬于分步關(guān)系。如：我們先安排第一個(gè)旅客是4種，再安排第2個(gè)旅客是4種選擇。知道最后一個(gè)旅客也是4種可能。根據(jù)分步原則屬于乘法關(guān)系 即 444＝4^3（3）8本不同的書，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？【解析】分步來做第一步：我們先選出3本書 即多少種可能性 C8取3＝56種第二步：分配給3個(gè)同學(xué)。P33＝6種這 里稍微介紹一下為什么是P33，我們來看第一個(gè)同學(xué)可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個(gè)同學(xué)就只剩下2種選擇的情況，最后一個(gè)同學(xué)沒有選擇。即321 這是分步選擇符合乘法原則。最常見的例子就是 1，2，3，4四個(gè)數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？ 也是滿足這樣的分步原則。用P來計(jì)算是因?yàn)槊總€(gè)步驟之間有約束作用 即下一步的選擇受到上一步的壓縮。所以該題結(jié)果是566＝336七個(gè)同學(xué)排成一橫排照相.（1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？（3600）【解析】這個(gè)題目我們分2步完成第一步： 先給甲排 應(yīng)該排在中間的5個(gè)位置中的一個(gè) 即C5取1＝5 第二步： 剩下的6個(gè)人即滿足P原則 P66＝720 所以 總數(shù)是7205＝3600（2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？（1440）【解析】第一步：確定乙在哪個(gè)位置 排頭排尾選其一 C2取1＝2 第二步：剩下的6個(gè)人滿足P原則 P66＝720 則總數(shù)是 7202＝1440（3）甲不在排頭或排尾，同時(shí)乙不在中間的不同排法有多少種？（3120）【解析】特殊情況先安排特殊第一種情況：甲不在排頭排尾 并且不在中間的情況去除3個(gè)位置 剩下4個(gè)位置供甲選擇 C4取1＝4，剩下6個(gè)位置 先安中間位置 即除了甲乙2人，其他5人都可以 即以5開始，剩下的5個(gè)位置滿足P原則 即5P55＝5120＝600 總數(shù)是4600＝2400第2種情況：甲不在排頭排尾，甲排在中間位置則 剩下的6個(gè)位置滿足P66＝720因?yàn)槭欠诸愑懻?。所以最后的結(jié)果是兩種情況之和 即 2400＋720＝3120（4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？（1440）【解析】相鄰用捆綁原則 2人變一人，7個(gè)位置變成6個(gè)位置，即分步討論第1： 選位置 C6取1＝6第2： 選出來的2個(gè)位置對(duì)甲乙在排 即P22＝2 則安排甲乙符合情況的種數(shù)是26＝12 剩下的5個(gè)人即滿足P55的規(guī)律＝120 則 最后結(jié)果是 12012＝1440（5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520）【解析】這個(gè)題目非常好,無論怎么安排甲出現(xiàn)在乙的左邊 和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。所以我們不考慮左右問題 則總數(shù)是P77＝5040 ,根據(jù)左右概率相等的原則 則排在左邊的情況種數(shù)是5040247。2＝2520用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù).（1）能組成多少個(gè)四位數(shù)？（300）【解析】 四位數(shù) 從高位開始到低位 高位特殊 不能排0。則只有5種可能性接下來3個(gè)位置滿足P53原則＝543＝60 即總數(shù)是 605＝300（2）能組成多少個(gè)自然數(shù)？（1631）【解析】自然數(shù)是從個(gè)位數(shù)開始所有情況分情況1位數(shù)： C6取1＝62位數(shù)： C5取2P22＋C5取1P11＝25 3位數(shù)： C5取3P33＋C5取2P222＝100 4位數(shù)： C5取4P44＋C5取3P333＝3005位數(shù)： C5取5P55＋C5取4P444＝6006位數(shù)： 5P55＝5120＝600 總數(shù)是1631這里解釋一下計(jì)算方式 比如說2位數(shù)： C5取2P22＋C5取1P11＝25先從不是0的5個(gè)數(shù)字中取2個(gè)排列 即C5取2P22 還有一種情況是從不是0的5個(gè)數(shù)字中選一個(gè)和0搭配成2位數(shù) 即C5取1P11 因?yàn)?不能作為最高位 所以最高位只有1種可能（3）能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？（288）【解析】高位不能為0 個(gè)位為奇數(shù)1，3，5 則 先考慮低位，再考慮高位 即 34P44＝1224＝288（4）能組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)？（21）【解析】 能被25整除的4位數(shù)有2種可能后2位是25： 33＝9后2位是50： P42＝43＝12 共計(jì)9＋12＝21（5）能組成多少個(gè)比201345大的數(shù)？（479）【解析】從數(shù)字201345 這個(gè)6位數(shù)看 是最高位為2的最小6位數(shù) 所以我們看最高位大于等于2的6位數(shù)是多少？4P55＝4120＝480 去掉 201345這個(gè)數(shù) 即比201345大的有480－1＝479（6）求所有組成三位數(shù)的總和.（32640）【解析】每個(gè)位置都來分析一下百位上的和：M1=100P52(5+4+3+2+1)十位上的和：M2=4410(5+4+3+2+1)個(gè)位上的和：M3=44(5+4+3+2+1)總和 M＝M1+M2+M3=32640生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查.（1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？（152096）【解析】 也就是說被抽查的5件中有3件合格的，即是從98件合格的取出來的所以 即C2取2C98取3＝152096（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？（7224560）【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個(gè)次品，再從98件合格的產(chǎn)品中挑4個(gè)C2取1C98取4＝7224560（3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？（67910864）【解析】則即在98個(gè)合格的中抽取5個(gè) C98取5＝67910864（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？（7376656）【解析】全部排列 然后去掉沒有次品的排列情況 就是至少有1種的C100取5－C98取5＝7376656（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？（75135424）【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的C100取5－C98取3＝75135424從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（）(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況第一種情況：2臺(tái)甲＋1臺(tái)乙 即 C4取2C5取1＝65＝30 第二種情況：1臺(tái)甲＋2臺(tái)乙 即 C4取1C5取2＝410＝40 所以總數(shù)是 30＋40＝70種在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，【解析】至少有3件 則說明是3件或4件3件：C4取3C46取2＝4140 4件：C4取4C46取1＝46共計(jì)是 4140＋46＝4186有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù), 甲需2人承擔(dān), 乙、, 不同的選法共有（C）(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】分步完成第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4＝210第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2C2取1C1取1＝621＝12種情況則根據(jù)分步原則 乘法關(guān)系 21012＝2520 12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有__C(4,12)C(4,8)C(4,4)___種－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】每個(gè)路口都按次序考慮第一個(gè)路口是C12取4第二個(gè)路口是C8取4 第三個(gè)路口是C4取4則結(jié)果是C12取4C8取4C4取4可能到了這里有人會(huì)說 三條不同的路不是需要P33嗎 其實(shí)不是這樣的 在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時(shí)候，其實(shí)將這些分類情況已經(jīng)包含了對(duì)不同路的情況的包含。如果再P33 則是重復(fù)考慮了如果這里不考慮路口的不同 即都是相同路口 則情況又不一樣 因?yàn)槲覀冊(cè)诜峙淙藬?shù)的時(shí)候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況 所以在上述結(jié)果的情況下要247。P33在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？ 990－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法直接解答較為麻煩，故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有P(9,1)種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有P(10,1)種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插11個(gè)空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9,1)P(10,1)P(11,1)=990種。另解：先在11個(gè)位置中排上新添的三個(gè)節(jié)目有P(11,3)種，再在余下的8個(gè)位置補(bǔ)上原有的8個(gè)節(jié)目，只有一解，所以所有方法有P3111=990種。4.【分享】排列組合新講義作者：徐克猛（天字1號(hào)）2009219一、排列組合定義什么是C 公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列（即不排序）。例如：編號(hào)1～3的盒子，我們找出2個(gè)來使用，這里就是運(yùn)用組合而不是排列，因?yàn)轭}目只是要求找出2個(gè)盒子的組合。即C（3，2）＝3什么是P或A 公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列(即排序)。例如：1～3，我們?nèi)〕?個(gè)數(shù)字出來組成2位數(shù)，可以是先取C（3，2）后排P22，就構(gòu)成了 C（3，2）P（2，2）＝A（3，2）A和C的關(guān)系事實(shí)上通過我們上面2個(gè)對(duì)定義的分析，我們可以看出的是，A比C多了一個(gè)排序步驟，即組合是排列的一部分且是第一步驟。計(jì)算方式以及技巧要求組合：C（M，N）＝M！247。（N?。∕－N）?。l件：N排列：A（M，N）＝M！247。（M－N）！條件：N二、排列組合常見的恒等公式C（n，0）＋C（n，1）＋C（n，2）＋……＋C（n，n）＝2^nC（m，n）＋C（m，n＋1）＝C（m＋1，n＋1）針對(duì)這2組公式我來舉例運(yùn)用(1)有10塊糖，假設(shè)每天至少吃1塊，問有多少種不同的吃法？ 解答：C（9，0）＋C（9，1）＋……＋C（9，9）＝2^9=512(2)，公司將14副字畫平均分給甲乙篩選出參加展覽的字畫，按照要求，甲比乙多選1副，且已知甲按照要求任意挑選的方法與乙任意挑選的方法 之和為70，求，甲挑選了多少副參加展覽？C（8，n）＝70n＝4即得到甲選出了4副。三、排列組合的基本理論精要部分（分類和分步）(1)、加法原理（實(shí)質(zhì)上就是一種分類原則）：一個(gè)物件，它是由若干個(gè)小塊組成的，我們要知道這個(gè)物件有多重，實(shí)際上可以分來算，比如，我們知道每一個(gè)小塊的重量，然后計(jì)算總和就等于這個(gè)物件的重量了，這就是我們要談的分類原則。排列組合當(dāng)中，當(dāng)我們要求某一個(gè)事件發(fā)成的可能性種類，我們可以將這個(gè)事件分成若干個(gè)小事件來看待?；麨榱?，例如：7個(gè)人排座位，其中甲乙都只能坐在邊上。問有幾種方法。根據(jù)分類的方法。我們可以看，第一類情