階段性測(cè)試題6(編輯修改稿)
2025-01-13 07:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 且 an＋ an－ 1＝ 2n＋ 2n－ 1， Sn為數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和 ， 則 log2(S2021＋ 2)＝ ________. [答案 ] 2021 [解析 ] 因?yàn)?a1＋ a2＝ 22＋ 2， a3＋ a4＝ 24＋ 23， a5＋ a6＝ 26＋ 25， … . 所以 S2021＝ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ … ＋ a2021＋ a2021 ＝ 21＋ 22＋ 23＋ 24＋ … ＋ 22021＋ 22021 ＝ 2?1－ 22021?1－ 2 ＝ 22021－ 2. 故 log2(S2021＋ 2)＝ log222021＝ 2021. 14． 已知數(shù)列 {an}， 其前 n項(xiàng)和 Sn＝ n2＋ n＋ 1， 則 a8＋ a9＋ a10＋ a11＋ a12＝ ________. [答案 ] 100 [解析 ] a8＋ a9＋ a10＋ a11＋ a12＝ S12－ S7＝ (122＋ 12＋ 1)－ (72＋ 7＋ 1)＝ 100. 15． 如圖 ， 將數(shù)列 {an}中 的所有項(xiàng)按每一行比上一行多兩項(xiàng)的規(guī)則排成數(shù)表 ． 已知表中的第一列 a1， a2， a5， … 構(gòu)成一個(gè)公比為 2的等比數(shù)列 ， 從第 2行起 ， 每一行都是一個(gè)公差為 d的等差數(shù)列 ． 若 a4＝ 5， a86＝ 518， 則 d＝ ________. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … [答案 ] 32 [解析 ] ∵ a4＝ 5， ∴ a2＝ 5－ 2D． 又 ∵ 第 1 行到第 9 行共有 1＋ 3＋ 5＋ … ＋ 17＝ 81 項(xiàng)， ∴ 第 10 行的第 1 項(xiàng)為 a82＝ a86－ 4d＝ 518－ 4D． 又表中的第 1 列 a1， a2， a5， … ， a82是公 比為 2 的等比數(shù)列， ∴ a82＝ a22 8，即 518－ 4d＝ (5－ 2d)2 8，解得 d＝ 32. 三、解答題 (本大題共 6 個(gè)小題，共 75 分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 ) 16． (本小題滿分 12 分 )已知數(shù)列 {an}是公差不為 0的等差數(shù)列 ， a1＝ 2 且 a2, a3, a4＋ 1 成等比數(shù)列 ． (1)求數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式 ； (2)設(shè) bn＝ 2n?an＋ 2?， 求數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)和 Sn. [解析 ] (1)設(shè)數(shù)列 {an}的公差為 d， 由 a1＝ 2 和 a2， a3， a4＋ 1 成等比數(shù)列，得 (2＋ 2d)2＝ (2＋ d)(3＋ 3d) 解得 d＝－ 1 或 d＝ 2. 當(dāng) d＝－ 1 時(shí)， a3＝ 0，這與 a2， a3， a4＋ 1 成等比數(shù)列矛盾舍去 ． 所以 d＝ 2. ∴ an＝ a1＋ (n－ 1)d＝ 2n， 即數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式為 an＝ 2n， (n∈ N*)． (2)bn＝ 2n?an＋ 2?＝ 2n?2n＋ 2?＝ 1n?n＋ 1?＝ 1n－ 1n＋ 1. ∴ Sn＝ b1＋ b2＋ … ＋ bn＝ (1－ 12)＋ (12－ 13)＋ … ＋ (1n－ 1n＋ 1)＝ 1－ 1n＋ 1＝ nn＋ 1. 17． (本小題滿分 12分 )已知 {an}是一個(gè)公差大于 0 的等差數(shù)列 ， 且滿足 a3a5 ＝ 45， a2 ＋a6 ＝ 14. (1)求 {an}的通項(xiàng)公式 ； (2)若數(shù)列 {bn}滿足 ： b12＋ b222＋ … ＋ bn2n＝ an＋ 1(n∈ N*)， 求 {bn}的前 n項(xiàng)和 ． [解析 ] (1)設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，則依題設(shè)知 d0. 由 a2＋ a6＝ 14，可得 a4＝ 7. 由 a3a5＝ 45，得 (7－ d)(7＋ d)＝ 45，可得 d＝ 2. 所以 a1＝ 7－ 3d＝ 1. 可得 an＝ 2n－ 1. (2)設(shè) ＝ bn2n，則 c1＋ c2＋ … ＋ ＝ an＋ 1. 即 c1＋ c2＋ … ＋ ＝ 2n， 可得 c1＝ 2，且 c1＋ c2＋ … ＋ － 1＝ 2(n－ 1)． 所以 ＝ 2(n∈ N*)． 所以 bn＝ 2n＋ 1， 所以數(shù)列 {bn}是首項(xiàng)為 4，公比為 2 的等比數(shù)列， 所以前 n項(xiàng)和 Sn＝ 4?1－ 2
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