【文章內(nèi)容簡介】 nk)],l,k+1,2? ,p (58) 則式 ()可寫成如下簡化形式： 1。,2,1,0)( 00 ?????? ppl pl pklkR ?? ? （ 59） 上式是線性預測中另一個重要結(jié)果成為標準方程式。在信號的自相關(guān)函數(shù)R(kl)已知的情況下，解此方程，即可求得線性預測系數(shù) apl，這里 l=1,2? ,p.這組預測系數(shù)是最佳的，因為它們能夠使預測誤差的均方值最小。 為了求出最小均方誤差值，將式 (53)寫成下面的形式 : ))]()()(([1 lnxnxneEpl pl ??? ?? ?? (510) 將正交方程式 (56)代入上式，得到最小值 )]()([ nxneE?? 再將式 (52) 代入上式，得到 1)],()([(00m in ??? ?? ppl pl nxlnxE ??? 利用式 (58)上式可表示成 1,0),(00m in ???? ?? ppl pl klkR ??? 將標準方程式 (59)和計算最小均方誤差的上式合并，最后得到 ??? ? ????? pk klkRpl pl ,2,1,00,)( m in0 ??? (511) 式中仍有 .10 ?p? 式 (511)是著名的 YuleWalker方程。它是由 p+1個線性方程夠成的方程組，其中包含 p+1 個未知（ p 個預測系數(shù)和一個最小均方誤差值 min? ） ,已知數(shù)據(jù)是信號的自相關(guān)函數(shù) R(kl)。顯然，為解出所有的 p+1 個未知數(shù)，需要知道 p+1個自相關(guān)函數(shù)值。 線性預測和信號模型之間的關(guān)系 線性預測和隨機信號模型之間有著很密切的關(guān)系。透徹理解這種關(guān)系，有助于加深對線性預測原理及其在語音信號處理中的應用價值的認識。 任何平穩(wěn)隨機過程可以看成是由一個白噪聲激勵一個線性移不變系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸 入， H（ z）是線性不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)。 H(z)=??????? plllqlllzazbzAzB00)()( (512) 實際中遇到的大多數(shù)隨機過程都可以用有理傳輸函數(shù)模型來表示或逼近。這時， H(z)是 z 的有理函數(shù)。 w(n) x(n) 圖 平穩(wěn)隨機過程的信號模型 相應的差分方程為 x(n)=? ?? ? ???qlpl ll lnxlnwb0 1 )()( ? (513) 信號的功率譜為 2212)( )()()( ???????? ? zA zBzHzHS xx ?? (514) 式中 σ 2是模型激勵源 (白噪聲 )的方差。由于 H(z)的增益可以合并到 σ 2中加以考慮，所以，不失一般性可以假定 a0=b0=1。a1,b1 和 σ 2 統(tǒng)稱為模型參數(shù)。 假設已知某個平穩(wěn)隨機過程的一個取樣序列是 x(n)，如何為該過程建立一個信號模型呢？如果已指定選用式 (512)所表示的有理函數(shù)模型，那么下一步便是 H(z) 需要具體求出模型參數(shù)。為此，必須建立模型參數(shù)與信號 x(n)之間的關(guān)系。顯然，式 （ 513）就是這中關(guān)系式。為了使之變成實用的形式，用 x(nk)乘該式子左右兩端，然后取期望值，得到 )()()(01 lkRblkRkR xwql lxxpl lxx ????? ?? ?? ? (515) 式中 )]()([)()]()()([)()]()([)(lknwnxElkRknxlnxnxElkRknxnxEkRxxxxxx?????????? (516) 表示相關(guān)函數(shù)。 設 h(z)是因果系統(tǒng)，且其沖激響應用 h(n)表示，則有 ? ?????? ????nl l lnwlhlwlnhnx 0 )()()()()( (517) 這意味著， x(n)只與 w(n),w(n1), ,? 有關(guān)，而與 w(n+l) 無關(guān) (l0)。因此由式（ 516）看出 0)( ??lkRxw , k10 或 lk (518) 將式（ 518）代入式（ 517），得到 ????????????????????????? ??? ?plxxlplqkllxxlkxxqklkRklhblkRR112)(`1),(),()(??? (519) 這就是模型參數(shù)和信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。 在 b0=1 而 bl+0(l0)的情況下， H(z)只有極點，即 1,1)(1)(001??? ?????pl lzzAzH (520) 相應的差分方程為 )()1()(1 nwnxnxpl l ???? ?? ? (521) 信號的功率譜為 20)(????????????????plllxxzzS?? (522) 這種形式的信號模型稱為全極點 模型或自回歸模型（簡稱為 AR模型）。 P階自回歸模型一般表示為 AR（ p）。這是一種最重要，應用最廣的模型。對于 AR(p)模型，式 ()中的 bl應代之以單位取樣序列 )(l? ，于是得到 ????????????????????plxxlplxxlxxqklkRkhlkRkR1121),(),()()(??? (523) 考慮到 h(k)的因果性，即當 k0 時有 h(k)=0；同時根據(jù)初值定理 [1]知道 )(,1)(lim)0( ???? zzHh (524) 所以，式 ()可簡 : ??????????????????plxxlplxxlxxklkRlkRkR1121),(,)()(??? (525) 式中 a0=1。這就是 AR(p)模型的模型參數(shù)與信號自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式。將其與線性預測的 YuleWalker 方程式 (511)對照可以看出，如果線性預測和信號模型是對同一信號而言的，即兩個方程組中的已知數(shù)相同 Rzz(kl)=R(kl),那么兩組方程的解應當相同（可以證明，只要 R（ kl） 或 Rzz(kl)是正定的，則 兩組方程有唯一解），即 m in2,2,1,??????? plpll ? (526) 這意味著，解最佳線性預測問題等效于解信號模型問題。具體地說，信號 x(n)的線性系數(shù)和它的 AR(p)模型參數(shù) al 相同，而預測誤差功率與模型的極力源的功率相同。 一個平穩(wěn)隨機過程，如果它是 p 階自回歸過程，那么用一個 AR（ p） 模型就能精確地描述它。在第二章曾經(jīng)討論過，語音信號可以看成是一個線性時變系統(tǒng)在準周期脈沖序列（相應于濁音）或隨機噪聲（相應與清音）激勵下所產(chǎn) 生的輸出，參看圖 。在語音信號的這個數(shù)字模型中，時變線性系統(tǒng)綜合反映了輻射、聲門脈沖以及聲道的總的影響，并且對于除鼻音和摩擦音以外的大多數(shù)語音來說，都可以用一個全極點系統(tǒng)來表示。這個全極點時變線性系統(tǒng)的參數(shù)隨著時間的變化是非常緩慢的，因而可以近似地認為，在一 語音時間內(nèi)它是非時變的。這樣一來，圖 所表示的語音信號模型，正是一個平穩(wěn)隨機過程的自回歸模型（在短時間內(nèi)可以近似的認為語音信號是平穩(wěn)的）。根據(jù)本節(jié)前面的討論，很容易理解，線性預測是描述語音信號的一種很精確的方法。 對語音信號進行線性預測分析， 其合理性和精確性可以從另一個角度來加以解釋。線性預測系數(shù)（等效于語音信號的模型參數(shù)）是根據(jù)最小均方誤差準則來決定的，而最小均方誤差恰等于信號模型的激勵源的方差；另一方面，語音信號模型的激勵源只能是準周期沖激序列或隨機白噪聲序列激勵，而這兩種序列的均方值都是最小的。由此可見，對語音信號進行線性預測分析是合理的。反過來說，如果用某個準周期沖激序列或隨機白噪聲序列激勵一個全極點系統(tǒng)，產(chǎn)生出某個信號，然后根據(jù)該信號 p個取樣值對信號的當前值進行預測，而且在均方誤差最小的意義上這種預測是最佳的，那么預測系數(shù)必將等于全極 點系統(tǒng)的參數(shù)。 最后需要指出，對語音信號 x(n) 進行線性預測，實際上意味著建立一個由白噪聲源激勵一個全極點系統(tǒng)的自回歸模型，使得該模型產(chǎn)生的信號在 z(n)的自相關(guān)函數(shù)與語音信號 x(n)的自相關(guān)函數(shù)相匹配，或者說使得 z(n)和 x(n)的譜包絡相匹配。 LevinsonDurbin 算法 通過以上討論可以看到：求取信號的模型參數(shù)可以通過線性預測來完成，而線性預測系數(shù)以及預測誤差功率可以有式（ ）所表示的 YuleWalker 方程解出。本節(jié)討論由已知的自相關(guān)函數(shù)，通過解式 ()以求取線 性預測系數(shù)及預測誤差功率的方法。 將式 ()寫成矩陣形式，并注意到平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)的對稱性質(zhì)，可以得到下面的結(jié)果： ?????????????????????????????????????????????????????0001)0()2()1()()2()0()1()2()1()1()0()1()()2()1()0( m i n2??????????? ????pppplRpRpRpRpRRRRpRRRRpRRRR （ 527） 值得注意的是，上列方程組的系數(shù)矩陣中，沿任何一條對角線上的元素都相同，這樣的矩陣稱為 Toeplitz 矩陣，同時系數(shù)矩陣還是一個對稱矩陣。利用系數(shù)矩陣的對稱 Toeplitz 性質(zhì)，提出了一種高效算法來求解該方程組，這就是著名的 LevinsonDurbin 算法，簡稱為 Levinson 算法，該算法的運算數(shù)量級為O(p2)，而線性方程組的一般解法的運算量數(shù)量級為 O(p3)，后者比前者要大的多。 Levinson 算法是一個迭代計算過程。它從最低預測器開始，由低階到高階，逐階進行遞推計算。即是說，總是由前一階段預測器求出了所要求的 p階預測器的系數(shù)，而且得到了所有低階預測器的系數(shù)。在圖 52 中，最上面表示了過去 p個取樣值預測當前值 Xn；下面依次畫出了 1階、 2 階、 3階、?、 p階預測器的預測系數(shù)；旁邊寫出了個階預測誤差。預測系數(shù)有兩個下標，第一個下標表示階數(shù)，第二個下標表示該階預測器系數(shù)的序數(shù)。 pnX? pnX? pnX? pnX? pnX? 11? 1 22? 21? 1 33? 32? 31? 1 ┇ pp? 3p? 2p? 1p? 1 圖 52Levinson 算法遞推示意圖 為了說明 Levinson 算法的迭代計算過程，現(xiàn)在討論在已知第 p 階預測器系數(shù)后如何求出第 p+1 階預測器系數(shù)的問題。圖 表示了第 p階預測器和第 p+1階預測器，其中第 p階預測器假定是已知的?，F(xiàn)在的問題是，如何 根據(jù)第 p 階預測器系數(shù)計算出第 p+1 階預測器的系數(shù)，說者說，如何找出二者的迭代計算關(guān)系式。 Levinson 算