【文章內(nèi)容簡介】 解：有意義，要求解得則定義域為⒊在半徑為的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)．解：AROhEBC設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得則上底＝故⒋求．解：＝⒌求．解：⒍求．解：⒎求．解：⒏求．解：⒐求．解：⒑設(shè)函數(shù)討論的連續(xù)性。解：分別對分段點處討論連續(xù)性（1）所以，即在處不連續(xù)（2）所以即在處連續(xù)由（1）（2）得在除點外均連續(xù)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)2答案：第3章導(dǎo)數(shù)與微分（一）單項選擇題⒈設(shè)且極限存在，則（C）．⒉設(shè)在可導(dǎo)，則（D）．.⒊設(shè)，則（A）．.⒋設(shè)，則（D）．.⒌下列結(jié)論中正確的是（C）．，則在點可導(dǎo)．，則在點可導(dǎo)．，則在點有極限．，則在點連續(xù)．（二）填空題⒈設(shè)函數(shù)，則　　0．⒉設(shè)，則。⒊曲線在處的切線斜率是。⒋曲線在處的切線方程是。⒌設(shè)，則⒍設(shè)，則。（三）計算題⒈求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：⑴解:⑵解：⑶解：⑷解：⑸解：⑹解：⑺解：⑻解：⒉求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：⑴解：⑵解：⑶解：⑷解：⑸解：⑹解：⑺解：⑻解：⑼解：⒊在下列方程中，是由方程確定的函數(shù)，求：⑴解：⑵解：⑶解：⑷解：⑸解：⑹解：⑺解：⑻解：⒋求下列函數(shù)的微分：（注：）⑴解：⑵解：⑶解：⑹解：⒌求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：⑴解：⑵解：⑶解：⑷解：（四）證明題設(shè)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證是偶函數(shù)．證：因為f(x)是奇函數(shù)所以兩邊導(dǎo)數(shù)得：所以是偶函數(shù)。高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)3答案：第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）單項選擇題⒈若函數(shù)滿足條件（D），則存在，使得．，在內(nèi)可導(dǎo)⒉函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（D）．.⒊函數(shù)在區(qū)間內(nèi)滿足（A）．⒋函數(shù)滿足的點，一定是的（C）．⒌設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，若滿足（C），則在取到極小值．.⒍設(shè)在內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則在此區(qū)間內(nèi)是（A）．（二）填空題⒈設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時，當(dāng)時，則是的極小值點．⒉若函數(shù)在點可導(dǎo)，且是的極值點，則0．⒊函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間是．⒋函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是⒌若函數(shù)在內(nèi)恒有，則在上的最大值是．⒍函數(shù)的拐點是（三）計算題⒈求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．解：令X(1,5)+0—0+y上升極大值32下降極小值0上升列表：極大值：極小值：⒉求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值．解：令：，列表：（0,1）（1,3）+0—上升極大值2下降，使其到點的距離最短．解：，d為p到A點的距離，則：。，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積，問底半徑與高各為多少時表面積最??？解：設(shè)園柱體半徑為R，高為h，則體積答：當(dāng)時表面積最大。，怎樣做法用料最??？解：設(shè)底長為x，高為h。則：側(cè)面積為：令答：當(dāng)?shù)走B長為5米。（四）證明題⒈當(dāng)時，證明不等式．證：在區(qū)間其中，于是由上式可得⒉當(dāng)時，證明不等式．證：高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)4答案：第5章不定積分第6章定積分及其應(yīng)用（一）單項選擇題⒈若的一個原函數(shù)是，則（D）．.⒉下列等式成立的是（D）．A.⒊若，則（B）．.⒋（B）．.⒌若，則（B）．.⒍下列無窮限積分收斂的是（D）．.（二）填空題⒈函數(shù)的不定積分是。⒉若函數(shù)與是同一函數(shù)的原函數(shù)，則與之間有關(guān)系式。⒊。⒋。⒌若，則。⒍3⒎若無窮積分收斂，則。（三）計算題⒈⒉⒊⒋⒌⒍⒎⒏（四）證明題⒈證明：若在上可積并為奇函數(shù)，則．證:證畢⒉證明：若在上可積并為偶函數(shù)，則．證：第三篇：高等數(shù)學(xué)B形成性考核答案高等數(shù)學(xué)（B）（1）作業(yè)1 初等數(shù)學(xué)知識一、名詞解釋：鄰域——設(shè) 是兩個實數(shù)，且，滿足不等式 的實數(shù) 的全體，稱為點 的 鄰域。絕對值——數(shù)軸上表示數(shù) 的點到原點之間的距離稱為數(shù) 的絕對值。記為。區(qū)間——數(shù)軸上的一段實數(shù)。分為開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間、無窮區(qū)間。數(shù)軸——規(guī)定了原點、正方向和長度單位的直線。實數(shù)——有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。二、填空題1．絕對值的性質(zhì)有、、。2．開區(qū)間的表示有、。3．閉區(qū)間的表示有、。4．無窮大的記號為。5． 表示全體實數(shù)，或記為。6． 表示小于 的實數(shù)，或記為。7． 表示大于 的實數(shù)，或記為。8．去心鄰域是指 的全體。 9．滿足不等式 的數(shù) 用區(qū)間可表示為。三、回答題1．答：（1）發(fā)展符號意識，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)的運算到抽象符號運算的轉(zhuǎn)變。（2）培養(yǎng)嚴(yán)密的思維能力，實現(xiàn)從具體描述到嚴(yán)格證明的轉(zhuǎn)變。（3）培養(yǎng)抽象思維能力，實現(xiàn)從具體數(shù)學(xué)到概念化數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。（4）樹立發(fā)展變化意識，實現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。2．答：包括整數(shù)與分?jǐn)?shù)。3．答：不對，可能有無理數(shù)。4．答：等價于。5．答：。四、計算題1．解：。2．解：。3．解： 為方程的解。函 數(shù)（P3）一、名詞解釋函數(shù)——設(shè)x與y是兩個變量，若當(dāng)x在可以取值的范圍D內(nèi)任意取一個數(shù)值時，變量y通過某一法則 f,總有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。其中D叫做函數(shù)的定義域，f稱為對應(yīng)法則，集合G={y|y=f(x),x }叫做函數(shù)的值域。奇函數(shù)——若函數(shù) 的定義域關(guān)于原點對稱，若對于任意的，恒有 為奇函數(shù)。偶函數(shù)——若函數(shù) 的定義域關(guān)于原點對稱，若對于任意的，恒有，則稱函數(shù) 為偶函數(shù)。定義域——自變量的取值范圍，記作。值域——所有函數(shù)值組成的集合，記作G={y|y=f(x),x }。初等數(shù)學(xué)——包括幾何與代數(shù)，基本上是常量的數(shù)學(xué)。三角函數(shù)：稱 為三角函數(shù)。指數(shù)函數(shù)——稱函數(shù) 為指數(shù)函數(shù)。復(fù)合函數(shù)——設(shè) 若 的值域包含在 的定義域中，則 通過 構(gòu)成 的函數(shù)，記作，稱其為復(fù)合函數(shù)，稱為中間變量。對數(shù)函數(shù)——稱函數(shù) 為對數(shù)函數(shù)。反函數(shù)——若函數(shù) 的值域為，若，都有一個確定的且滿足 的 值與之對應(yīng)。則由此得到一個定義在 上的以 為自變量、為因變量的新函數(shù)，稱它為 的反函數(shù)，記作。冪函數(shù)——稱函數(shù)（為實數(shù)）為冪函數(shù)。常函數(shù)——稱函數(shù) 為常函數(shù)。常量——在某一變化過程中，始終保持不變的量。變量——在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量。二、填空題1．函數(shù)概念最早是由萊布尼茲引進(jìn)的。有了函數(shù)概念，人們就可以從數(shù)量上描述運動。2．在歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是狄里克雷，并給出了一個不能畫出圖形的函數(shù)。這就是著名的狄里克雷函數(shù)，其表達(dá)式是。3．函數(shù)的三種表示法：解析法、圖像法、列表法。4．函數(shù)表達(dá)了因變量與自變量之間的一種對應(yīng)規(guī)則。5．單值函數(shù)是當(dāng)自變量在定義域中取定了一數(shù)值時，與之對應(yīng)的函數(shù)值是唯一的函數(shù)。6．奇函數(shù)的圖像特點是關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像特點是關(guān)于y軸對稱。7．單調(diào)函數(shù)的圖像特點是總是上升或總是下降。8．反函數(shù)的圖像特點是關(guān)于直線y=x對稱。三、回答題1．答：設(shè)函數(shù) 在集合 上有定義，如果存在一個正數(shù)，對所有的，恒有，則稱函數(shù) 為有界函數(shù)。2．答：（1）當(dāng)一個函數(shù) 在區(qū)間 有界時，正數(shù) 的取法不是唯一的。（2）有界性是依賴于區(qū)間的。3．答：，則稱函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)增加。否則，稱為單調(diào)減少。4．答：若函數(shù) 在區(qū)間 單調(diào)，其值域是，則函數(shù) 存在反函數(shù) 其定義域是，值域是。四、作圖題（1）解：是拋物線。（2）解：是立方拋物線。（3）解：是正弦曲線。（4）解：是余弦曲線。（5）解：是正切曲線。（6）解：是半拋物線。（7）解：是自然對數(shù)函數(shù)。（8）解：是指數(shù)函數(shù)(a1)。（9）解：是對數(shù)函數(shù)(a1)。（10）解：是對數(shù)函數(shù)（a1)。第（1）題圖 第（2）題圖 第（3）題圖第（4）題圖 第（5）題圖 第（6）題圖第（7）題圖 第（8）題圖 第（9）題圖第（10）題圖 第（11）題圖 第（12）題圖五、計算題（1）解：。（2）解：設(shè)長為，寬為，則，面積。（3）解：，所以定義域為。（4）解：。（5）解：由 解得，交換 和，得到 的反函數(shù)，由，故定義域為。（6）解：復(fù)合函數(shù)為六、討論題答：（1）復(fù)合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運算；（2）并不是任何兩個函數(shù)都能構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)；（3）復(fù)合函數(shù)可以是由多個（大于兩個）函數(shù)復(fù)合而成；（4）中，后者的值域正好是前者的定義域；（5）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的各簡單函數(shù)，除了最后一個外，都是基本初等函數(shù)。極 限（P9）一、名詞解釋極 限——一個數(shù)列或函數(shù)其變化趨勢的終極狀態(tài)。無窮小量——極限為零的變量或者常數(shù)0。連 續(xù)——設(shè)函數(shù) 在 及其一個鄰域內(nèi)有定義，且等式 成立，則稱函數(shù) 在 連續(xù)。數(shù)列極限——對數(shù)列 來說，若 時，則稱數(shù)列 的極限為 記作。函數(shù)極限——設(shè)函數(shù) 在 的附近有定義，當(dāng) 時，則稱函數(shù) 在 時的極限為A，記作無窮大量——若，則稱 為該極限過程下的無窮大量。二、填空題1．從極限產(chǎn)生的歷史背景來看，極限概念產(chǎn)生于解決微積分的基本問題：求面積，體積，弧長，瞬時速度以及曲線在一點的切線問題。2．極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)。3．在中國古代，極限概念已經(jīng)產(chǎn)生，我國春秋戰(zhàn)國時期的《莊子天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，就是極限的樸素思想。4．公元3世紀(jì)，中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就用圓內(nèi)接正多邊形周長去逼近圓周長這一極限思想來近似地計算圓周率 的。5．極限概念產(chǎn)生于求面積求切線兩個實際問題。三、回答題1．簡述連續(xù)性概念。答：設(shè)函數(shù) 在 及其一個鄰域內(nèi)有定義，且等式 成立，則稱函數(shù) 在 連續(xù)。在（a,b）內(nèi)連續(xù)是指函數(shù) 在（a,b）內(nèi)的每個點處均連續(xù)。2．間斷點分成幾類？ 答：3．什么是單側(cè)連續(xù)？答：設(shè)函數(shù) 在 及其右鄰域內(nèi)有定義，且等式 成立，則稱函數(shù) 在 右連續(xù)。同理可定義左連續(xù)。4．什么是連續(xù)函數(shù)？ 4．什么是連續(xù)函數(shù)？答：若函數(shù) 在（a,b）內(nèi)的每個點處均連續(xù)，且在左端點處右連續(xù)，右端點處左連續(xù)，則稱函數(shù) 在[a,b]上連續(xù)。5．簡述復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理。答：設(shè)函數(shù) 在點 處連續(xù)，函數(shù) 在點 處連續(xù)，而，并設(shè) 在點 的某一鄰域內(nèi)有定義，則復(fù)合函數(shù) 在點 處連續(xù)。四、論述題極限思想的辯證意義是什么？答：極限概念描述的是變量在某一變化過程中的終極狀態(tài)，是一個無限逼近的過程，是一個客觀上存在但又永遠(yuǎn)達(dá)不到的數(shù)。在解決實際問題時，“無限”的過程標(biāo)志著可以得到精確的答案，他是為解決實際問題的需要而產(chǎn)生的，反過來又成為解決實際問題的有力工具。五、計算題（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：六、討論 解：，函數(shù)在x=0處極限不存在。高等數(shù)學(xué)（B）（1）作業(yè)2 導(dǎo) 數(shù)一、名詞解釋導(dǎo)數(shù)——設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，若 存在，則稱此極限值為函數(shù) 在 點處的導(dǎo)數(shù)值。記為，等。平均變化率——稱 為平均變化率。瞬時變化率——稱 為瞬時變化率。導(dǎo)函數(shù)——對于區(qū)間（a,b）內(nèi)的每一點x都有導(dǎo)數(shù)值，這樣由這些導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的函數(shù)稱為 的導(dǎo)函數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)——二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)。駐點——使得 的點。極值——設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，且在 的鄰域內(nèi) 恒成立，則稱 為極大值點，稱 為極大值。同理可定義極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。二、填空題1． 導(dǎo)數(shù)的物理意義是瞬時速度。2． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在一點處切線的些率。3． 導(dǎo)數(shù)的第三種解釋是變化率。4． 導(dǎo)數(shù)是一種特殊的極限，因而它遵循極限運算的法則。5． 可導(dǎo)的函數(shù)是連續(xù)的，但是連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)。三、回答題1． 什么是費馬定理？答：設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域 內(nèi)有定義，并且在 處可導(dǎo)，如果對任意的，有（或），那么。2． 什么是羅爾定理？答：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，并且滿足，那么至少存在一點，使得。3． 什么是拉格朗日定理？它的輔助函數(shù)是怎樣構(gòu)成的? 答：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，那么至少存在一點，使得。輔助函數(shù)為：。4． 函數(shù)的性質(zhì)有哪些？答：函數(shù)的性質(zhì)有：有界性，奇偶性，周期性，單調(diào)性。5． 導(dǎo)數(shù)的絕對值大小告訴我們什么？它反映在函數(shù)曲線上情況又怎樣？答：導(dǎo)數(shù)絕對值大小反映曲線的陡峭程度，導(dǎo)數(shù)的絕對值越大，則曲線越陡峭，否則，曲線越平緩。6． 什么是極大值（或極小值）? 答：設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，且在 的鄰域內(nèi) 恒成立，則稱 為極大值點，稱 為極大值。設(shè)函數(shù) 在 及其鄰域內(nèi)有定義，且在 的鄰域內(nèi) 恒成立，則稱 為極小值點，稱 為極小值。7． 請舉例說明費馬定理只給出了極值的必要條件而不是充分條件。答：例如：直線y=c(c為常數(shù))，在任意一點都滿足費馬定理的條件，且導(dǎo)數(shù)值都是0，但是在任意一點處都不是極值點。8． 最大值與極大值是一回事嗎？答：不是一回事。連續(xù)函數(shù)在某個閉區(qū)間上可能有多個極大值和極小值，但是最大值和最小值卻各有一個。9． 求最大值或最小值通常要經(jīng)過哪幾個步驟？答：（1）找出駐點和那些連續(xù)但不可導(dǎo)的點來，并計算出這些點的函數(shù)值；（2）計算出比區(qū)間端點處的函數(shù)值；（3）將以上個函數(shù)值進(jìn)行比較，可得到最大值與最小值。（4）如果是應(yīng)用問題，則需先分析題意，設(shè)變量，列出函數(shù)關(guān)系，在求出唯一駐點，它就是答案。四、計算題 1． 解：2． 解：。3．