【文章內容簡介】 g(x) +1knxx= Q(x)+ ()1nRxx? （ 3） 即 kx g(x) ? R（ x） ，且因 kx g(x)也是 n 階冪，故 Q(x)=，故 kx g(x)按模（ nx +1)運算后的“余式”也是循環(huán)碼的一個碼字，它必能被 g(x)整除，即： ()()RxGx =F(x) （ 4） 由以上兩式可以得到： kx g(x)= Q(x)（ nx +1） +R(x) =（ nx +1） +f(x)g(x) （ 5） 和 nx +1=[ kx +f(x)]g(x)=h(x)g(x) （ 6） 從上式中可以看出，生成 多項式 g(x)應該是 nx +1 的一個因式，即循環(huán)碼多項式應該是 nx +1 的一個 nk 次因式。 循環(huán)碼的生成矩陣和一致校驗矩陣 對所有的 i=0,1,2,?? k1，用生成多項式 g(x)除 nkix?? ，有： nkix?? = ia (x)g(x)+ ib (x) （ 7） 式中 ib （ x）是余式，表示為： ib （ x） = ,1inkb?? 1nkx?? +?? + ,1ib x + ,0ib （ 8） 因此， nkix?? + ib （ x）是 g(x)的倍式，即 nkix?? + ib （ x）是碼多項式，由此得到系統(tǒng)形式的生成矩陣為： 8 ????????????????1101000011010000110100001101????????????101110001011100010111G=1 , 1 1 ,1 1 , 02 , 1 2 ,1 2 , 00 , 1 0 ,1 0 , 01 0 00 1 00 0 0k n k k kk n k k knkb b bb b bb b b? ? ? ? ?? ? ? ? ????????? （ 9） 它是一個 k?n 階的矩陣。 同樣，由 G? TH =0 可以得到系統(tǒng)形式的一致校驗矩陣為： H=1 , 1 2 , 1 0 , 11 , 1 2 , 1 0 , 11 , 0 2 , 0 0 , 01 0 00 1 00 0 1k n k k n k n kkkkkb b bb b bb b b? ? ? ? ? ? ? ??????????? （ 10） 如已知（ 7， 4）循環(huán)碼的生成多項式和校驗多項式分別為： g(x) = x3 + x +1，h(x) = x4 + x2 + x +1。寫得其生成矩陣和校驗矩陣分別為： G= （ 11） H= （ 12） 循環(huán)碼 編譯碼 原理 循環(huán)碼編碼原理 （ 1） 有信息碼構成信息多項式 m(x)= 1km? 1kx? +?? + 0m 其中高冪次為k1。 9 （ 2） 用 nkx? 乘以信息多項式 m(x)，得到的 nkx? m(x)最高冪次為 n1,該過程相當于把信息嗎（1km?，2km?， ?? ，1m，0m） 移位到了碼字德前 k個信息位，其后是 r 個全為零的監(jiān)督位 。 （ 3） 用 g(x)除 nkx? m(x)得到余式 r(x),其次數必小于 g(x)的次數，即小于（ nk） ,將此 r(x)加于信息位后做監(jiān)督位，即將 r(x)于 nkx? m(x)相加，得到的多項式必為一碼多 項式。 根據上面的討論，可得到在（ 7， 4）循環(huán)碼編碼的程序框圖如圖 1 所 下圖示： 圖 2 編碼程序框圖 循環(huán)碼的譯碼原理 糾錯碼的譯碼是該編碼能否得到實際應用的關鍵所在。譯碼器往往比編碼較難實現，對于糾錯能力強的糾錯碼更復雜。根據不同的糾錯或檢錯目的，循環(huán)碼譯碼器可分為用于糾錯目的和用于檢錯目的的循環(huán)碼譯碼器。 通常，將接收到的循環(huán)碼組進行除法運算，如果除盡，則說明正確傳輸；如果未除盡，則在寄存器中的內容就是錯誤圖樣，根據錯誤圖樣可以確定一種邏 輯，來確定差錯的位置，從而達到糾錯的目的。用于糾錯目的的循環(huán)碼的譯碼算法比較復雜，感興趣的話可以參考一些參考書。而用于檢錯目的循環(huán)碼，一般使用 ARQ 通信方式。檢測過程也是將接受到的碼組儲存 c(x) 初始化 確定余式 r(x): 確定 c(x): 10 進行除法運算，如果除盡，則說明傳輸無誤；如果未除盡，則表明傳輸出現差錯，要求發(fā)送端重發(fā)。用于這種目的的循環(huán)碼經常被成為循環(huán)冗余校驗碼，即 CRC 校驗碼。 CRC 校驗碼由于編碼電路、檢錯電路簡單且易于實現，因此得到廣泛的應用。在通過 MODEM 傳輸文件的協(xié)議如 ZMODEM、 XMODEM 協(xié)議中均用到了 CRC 校驗技術。在磁盤、光盤介質存儲 技術中也使用該方法。 在 SystemView 中沒有提供專用的 CRC 循環(huán)冗余校驗碼編碼器，讀者可根據有關參考書設計一個相應的仿真電路。如果不想親自動手設計，可以在 CDMA 庫（ IS95）中找到一個現成的專用的 CRC 編碼器和譯碼器。該圖符（ FrameQ）是的接入信道的數據幀品質指示編碼器，其中使用了多種不同比特率的數據模型，通過 CRC 校驗來判斷接入信道的質量好壞。其中規(guī)定每一幀的長度為 20ms 的數據。一個典型 IS95A 標準規(guī)定的 9600 信道的CRC 測試碼的長度為 192 比特，其中信息位 172 位、校驗位 12 比特、尾部全零 8 比特。感興趣的讀者可以加入一個速率為 860bps（ 192bit/＝860）的 PN 數據，然后觀察經過 CRC 編碼后的波形。并可用對應的譯碼器譯碼觀察輸出波形是否與輸入的 PN 碼一致。 當碼字 c 通過噪聲信道傳送時，會受到干擾而產生錯誤。如果信道產生的錯誤圖樣是 e，譯碼器收到的 n 重接受矢量是 y,則表示為： y=c+e （ 13） 上式也可以寫成多項式形式： y(x)=c(x)+e(x) （ 14） 譯碼器的任務就是從 y(x)中得到 ()ex? ，然后求的估值碼字 ()cx? = y(x)+ ()ex? （ 15） 并從中得到信息組 ()mx? 。 循環(huán)碼譯碼可按以下三個步驟進行： （ 1）有接收到的 y(x)計算伴隨式 s(x)。 （ 2） 根據伴隨式 s(x)找出對應的估值錯誤圖樣 ()ex? ； （ 3） 計算 ()cx? = y(x)+ ()ex? ，得到估計碼字 ()cx? 。若 ()cx? =c(x),則譯碼正確，否則，若 ()cx? ? c(x)，則譯碼錯誤。 由于 g(x) 的次數為 n k 次， g(x) 除 E(x) 后得余式（即伴隨式）的最高次 數為 nk1 次，故 S(x) 共有 2nk 個可能的表達式，每一個表達式對應一個 11 錯誤格式。可以知道 (7,4） 循環(huán)碼的 S(x) 共有 2(74) = 8 個可能的表達式，可根據錯誤圖樣表來糾正 (7,4） 循環(huán)碼中的一位錯誤，其伴隨式如表 1 所 示。 BCH（ 7， 4）循環(huán)碼錯誤圖樣表 ： 錯誤圖樣 錯誤圖樣碼字 伴隨式 S(x) 伴隨式 E6(x)=x6 1000000 x2 100 E5(x)=x5 0100000 x2+x 110 E4(x)=x4 0010000 x2+x+1 111 E3(x)=x3 0001000 x+1 011 E2(x)=x2 0000100 x2+1 101 E1(x)=x1 0000010 x 010 E0(x)=x0 0000001 1 001 E(x)=0 0000000 0 000 表 1 BCH（ 7， 4）循環(huán)碼錯誤圖樣表 上式指出了系統(tǒng)循環(huán)碼的譯碼方法：將收到的碼字 R(x) 用 g(x) 去除，如果除盡則無錯；否則有錯。如果有錯，可由余式 S(x) 一一找出對應圖樣，然后將錯誤圖樣 E(x) 與 R(x) 模 2 和，即為所求碼字 C(x) ，從而實現糾錯目的。 根據前面的討論， 可得（ 7， 4）循環(huán)碼譯碼的程序框圖如圖 2 所示