【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ?323122211211aaaaaa ， B=???????? 2221 1211 bb bb C=????????????????223221312132113122222121212211212212211121121111babababababababababababa 容易得到 A， B， C 的元之間的關(guān)系：矩陣 C 的第 i 行第 j 列元等于 jiji baba 2211 ? (i=1,2,3； j=1,2) 即矩陣 C 的第 i 行第 j 列元為矩陣 A 的第 i 行元與矩陣 B 的第 j 列對(duì)應(yīng)元乘積的和。 由此，我們引入以下定義。 設(shè) A=??ija 是一個(gè) m s 矩陣， B=??ijb 是一個(gè) s n 矩陣，規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 第二章 矩陣的幾種運(yùn)算 7 的乘積是 m n 矩陣 C=??ijc ，記為 C=AB，其中 ??????? sk kjiksjisjijiij babababac 12211 ? (i=1,2,… ,m； j=1,2,… ,n) 由此可知，兩個(gè)矩陣的乘積也是一個(gè)矩陣，它的第 i 行第 j 列元等于左矩陣的第 i 行元與右矩陣的第 j 列 對(duì)應(yīng)元乘積之和。 必須注意，兩矩陣相乘的條件為左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)。 例 已知 A= ???????? ?402 113， B=??????????305132 求 AB 與 BA。 解 AB= ???????? ?402 113 ??????????305132 = ???????? ?????????? ???????????? 345032041022 3)1(51330)1(1123= ???????? 184 117 BA=??????????305132???????? ?402 113 =????????????????????????????????????????43)1(00310231045)1(10511253143)1(203122332 =??????????1206191310212 例 已知 A= ????????? ?11 11， B= ???????? ??11 11 求 AB 與 BA。 解 AB= ????????? ?11 11 ???????? ??11 11= ???????? 00 00 BA= ???????? ??11 11 ????????? ?11 11= ???????? ??22 22 由以上兩個(gè)例子可以看出，矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，即在一般情況下，8 用 C 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)矩陣的運(yùn)算 AB? BA。這是因?yàn)?，第一?AB 有意義， BA 不一定有意義；第二， AB 與 BA都有意義，但其結(jié) 果不一定有相同的行數(shù)與列數(shù)；第三，即使 AB 與 BA 有相同的行數(shù)與列數(shù)，但 AB 與 BA 也不一定相等。 矩陣的轉(zhuǎn)置 將矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列而得到的矩陣，稱(chēng)為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 AT或 A39。，即若 A=??????????????mnmmnnaaaaaaaaa??????212222111211 則 AT=??????????????mnnnmmaaaaaaaaa??????212221212111 顯然，若 A 是 m n 矩陣，則 AT是 n m矩陣，并且 A 的第 i 行第 j 列元等于 AT的第 j 行第 i 列元。如果 A 為 n 階方陣，且滿(mǎn)足 AT=A，則 稱(chēng) A 為對(duì)稱(chēng)矩陣。 矩陣的逆 設(shè) A 為 n 階方陣，若存在 n 階方陣 B，使得 AB=BA=E 則稱(chēng) A 為可逆矩陣或 A 是可逆的，并稱(chēng) B 為 A 的逆矩陣。 若 A 可逆，則 A 的逆矩陣是唯一的，事實(shí)上，設(shè) B， C 都是 A 的逆矩陣，由上述定義知 AB=BA=E， AC=CA=E 可得 B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 由于 A 的逆矩陣是唯一的，我們用 A1 表示 A 的逆矩陣，即 A1A=AA1=E 第二章 矩陣的幾種運(yùn)算 9 若 A 可逆，由 AA1=E，兩邊取行列式有， |A||A1|=1，從而可逆矩陣 A 的行列式 |A|? 0。反之，若 |A|? 0，能否判斷 A 可逆，而且若 A 可逆又如何求 A1的呢？為了解決這個(gè)問(wèn)題我們引入代數(shù)余子式和伴隨矩陣的概念。 在 n 階行列式 | ija |中，劃去元 ija 所在的第 i 行和第 j 列元后，余下的元按原來(lái)的次序構(gòu)成的 n1階行列式，稱(chēng)為元 ija 的余子式，記作 ijM 。稱(chēng) ijA =(1)i+j ijM 為元 ija 的代數(shù)余子式。 設(shè) A=? ?nmija ?， ijA 是 |A|中元的代數(shù)余子式，則稱(chēng)矩陣 ??????????????nn2n1nn22212n22111AAAAAAAAA?????? 為矩陣 A 的伴隨矩陣，記作 A*。則矩陣 A 的逆矩陣為 A1=|A|1A* 且 |A|? 0 例 下列矩陣 A， B， C 是否可逆？若可逆求其逆矩陣。 A=?????????? ?313012321 ， B=???????? 12 34 ， C= ??????????774753021 解 因 |A|=6? 0，故 A 可逆， |A|中各元的代數(shù)余子式分別為 11A =(1)1+13101=3 12A =(1)1+233 02=6 13A =(1)1+31312=1 21A =(1)2+1 31 32 ? =9 22A =(1)2+2 33 31 ? =12 23A =(1)2+3 13 21 =5 31A =(1)3+101 32 ?=3 32A =(1)3+2 02 31 ? =6 33A =(1)3+312 21=3 于是 ???????????????????3516126393611 *1 AAA |B|=2? 0，所以 B 可逆。 10 用 C 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)矩陣的運(yùn)算 ????????? ???? 42 31211B 因 |C|=0，故 C 不可逆。 矩陣的特征值 設(shè) A 是 n 階方陣，如果存在數(shù) ? 和 n 維列向量 x,使 Ax=? x () 成立，則稱(chēng)數(shù) ? 為方陣 A 的特征值，非零列向量 x 稱(chēng)為 A 的屬于 (對(duì)應(yīng)于 )特征值? 的特征向量。 例 設(shè) A=??????????123312321 ，因?yàn)???????????????????????????????1116111123312321 ，于是，數(shù) 6 為 A 的一個(gè)特征值， A 的屬于特征值 6 的特征向量為 ? ?T111 。 值得注意的是，特征向量一定是非零向量，即零向量不能作為特征向量。但特征值 ? 可以為 0。 將 ()變形為 0)( ?? xAE? () 則齊次線(xiàn)性方程組 ()有非零解的充要條件是 0??AE? 若記 nnnnnnaaaaaaaaaf??????????????????????212222111211|AE|)( 則稱(chēng) ???f 為方陣 A=??ija 的特征多項(xiàng)式。顯然 ???f 是關(guān)于 ? 的一元 n次多項(xiàng)式，故方程 ? ? 0??f 在復(fù)數(shù)域內(nèi)有 n個(gè)根 (重根按重?cái)?shù)計(jì)算 )，所以 n階方陣 A 有 n個(gè)復(fù)特征值。若 ? 是方陣 A 的一個(gè)特征值，齊次線(xiàn)性方程組 0)( ?? xAE? 必有非零解，此方程組的所有非零解都是 A 的對(duì)應(yīng)于特征值 ? 的全部特征向量。 第二章 矩陣的幾種運(yùn)算 11 有上述討論可得，方陣 A 的特征值和特征向量的求法： (1)計(jì)算 n階方陣 A 的特征多項(xiàng)式 AE?? ； (2)求方程 0??AE? 的所有根 1? ， 2? ，…， n? ，它們就是 A 的全部特征值； (3)對(duì)于每個(gè)特征值 i? ，求齊次線(xiàn)性方程組 ? ? 0?? xAEi? 的非零解，即得 A的屬于特征值 i? 的特征向量。 12 用 C 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)矩陣的運(yùn)算 第三章 用 C 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)矩陣運(yùn)算 13 第三章 用 C 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)矩陣運(yùn)算 在矩陣階數(shù)較低時(shí)，我們采用上述方法通過(guò)手算來(lái)求解矩陣運(yùn)算是可行的，但隨著矩陣階數(shù)的增加，矩陣中的數(shù)據(jù)也隨之增加，面對(duì)如此龐大的數(shù)據(jù)量，手算顯然已無(wú)法求解。因此，用計(jì)算機(jī)編程求解矩陣運(yùn)算已成為必然選擇。 算法設(shè)計(jì)分析 矩陣乘法 前面我們討論過(guò)矩陣乘法的一般算法，即第一個(gè)矩陣的每一行乘以第二個(gè)矩陣的每一列，并且第一個(gè)矩陣的列數(shù)要等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。它對(duì)于任何矩陣都是成立的。對(duì)于計(jì)算機(jī)求解有以下算法： step1 定義矩陣類(lèi) 型 int step2 定義三個(gè)矩陣 a,b,c step3 定義矩陣的行列大小 row_a,col_a。row_b,col_b。row_c,col_c step4 如果 col_a==row_b 則 row_a 值賦給 row_c， col_b 值賦給 col_c 否則 退出 step5 初始化矩陣 a,b step6 把矩陣 c 賦值為 0 矩陣 step7 循環(huán) i 從 0 到 row_c 并且 i 自加 循環(huán) j 從 0 到 col_c 并且 j 自加 循環(huán) k 從 0 到 col_a 并且 k 自加 c[i][j] += a[i][k]*b[k][j]。 step8 輸出矩陣元素 矩陣的逆 step1 定義矩陣類(lèi)型 int step2 定義矩陣 a,b 矩陣階數(shù) n 14 用 C 語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)矩陣的運(yùn)算 step3 初始化矩陣 a step4 計(jì)算 a 的行列式 如果等于 0 退出 如果不等于 0 繼續(xù) step5 計(jì)算矩陣 a 的代數(shù)余子式并賦給 b step6 計(jì)算矩陣 a 的逆矩陣 循環(huán) i 從 0 到 n 并且 i 自加 循環(huán) j 從 0 到 n 并且 j 自加 b[i][j]除以 a 的行列式并賦給 b[i][j] step7 輸出矩陣 b 矩陣的三角分解 在面對(duì)許多高階矩陣時(shí)，許多運(yùn)算也無(wú)法準(zhǔn)確求出所需數(shù)據(jù)，因此，需將矩陣轉(zhuǎn)化成其他形式來(lái)求解。當(dāng)矩陣的各階順序主子式 0?iD 時(shí)，有： )1(121)2(21)1(1)0( ??????? nn ALLLALLALAA ?? 容易求出 ??