【正文】 ..... 6 矩陣的轉(zhuǎn)置 ..................................................................................................... 8 矩陣的逆 ......................................................................................................... 8 矩陣 的特征值 ............................................................................................... 10 第三章 用 C 語言實現(xiàn)矩陣運算 ................................................................................ 13 算法設(shè)計分析 ............................................................................................... 13 矩陣乘法 ............................................................................................. 13 矩陣的逆 ............................................................................................. 13 矩陣的三角分解 ................................................................................. 14 矩陣的特征值 ..................................................................................... 15 稀疏矩陣迭代法 ................................................................................. 16 本章小結(jié) ....................................................................................................... 17 結(jié)束語 ............................................................................................................................. 19 致 謝 ............................................................................................................................. 21 參考文獻(xiàn) ......................................................................................................................... 23 附 錄 ............................................................................................................................. 25 ii 目 錄 第一章 緒論 1 第一章 緒 論 矩陣?yán)碚摷仁菍W(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是一門最有實用價值的數(shù)學(xué)理論。它不僅是數(shù)學(xué)的一個重要的 分支，而且也已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強有力的工具。特別是計算機的廣泛應(yīng)用，為矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用開辟了廣闊的前景。 矩陣的產(chǎn)生 在解決眾多理論研究和工程應(yīng)用問題時，將其轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)的矩陣運算問題，通常是簡潔高效的。有許多實際問題和數(shù)學(xué)研究對象常?？梢杂靡粡垟?shù)表表示。因此，我們建立一個數(shù)學(xué)模型來統(tǒng)一深入的研究這種表格。 由 m n個數(shù) ija (i=1,2,… ,m。j=1,2,… ,n)排成一個 m行 n列的 矩陣數(shù)表： ??????????????mnmmnnaaaaaaaaa??????212222111211 稱為 m n矩陣，通常用大寫字母如 A， B，…或 A nm? ， B nm? ，…表示，有時也記作 A=? ?nmija ?或 ??ija ， 其中 ija (i=1,2,… ,m。j=1,2,… ,n)稱為矩陣的第 i 行第 j 列元或 (i,j)元。元都是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣：元都是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。當(dāng)m=n 時，稱它為 n 階方陣或 n 階矩陣。 幾種特殊的矩陣及其性質(zhì) 前面我們知道，由 m n 個數(shù) ija (i=1,2,… ,m。j=1,2,… ,n)排成一個 m行 n列的矩陣數(shù)表： ??????????????mnmmnnaaaaaaaaa??????212222111211 2 用 C 語言實現(xiàn)矩陣的運算 就是 m n 矩陣，元全為 0的矩陣稱為零矩陣，記為 0；只有一行的矩陣： A=? ?naaa ?21 稱為行矩陣，也稱為行向量；為了避免元間的混淆，行向量也記作： A=? ?naaa , 21 ? 只有一列的矩陣： B=??????????????nbbb?21 稱為列矩陣，也稱為列向量。 如果兩個 矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等，則稱它們?yōu)橥途仃嚒? 設(shè) A=? ?nmija ?與 B=? ?nmijb ?是同型矩陣且對應(yīng)元相等，則稱 A 與 B 相等，記作 A=B。即 A=B ijij ba ?? , i=1,2,… ,m。j=1,2,… ,n 如果 A 是 n 階 方陣，從左上角到右下角的對角線，稱為 A 的主對角線；從右上角到左下角的對角線，稱為 A 的次對角線。 稱主對角線以下的元全為零的方陣： A=??????????????nnnnaaaaaa???????000 22211211 為上三角形矩陣，稱主對角線以上的元全為零的方陣： B=??????????????nnnn bbbbbb???????21222111000 為下三角形矩陣。 如果方陣的主對角線以外的元全為零，即 第一章 緒論 3 A=??????????????nnaaa?2211 則稱 它為對角矩陣，記作 ? 或 ? ?nnaaadiag , 2211 ?。在對角矩陣 ? 中，未寫出的元表示零元。 主對角線上全為 1 的 n 階對角矩陣，即 ??????????????111? 稱為 n 階單位陣，記作 nE 或 IE, 。 矩陣的應(yīng)用 矩陣的應(yīng)用非常廣泛，可以說我們?nèi)粘Ｉa(chǎn)生活中都會應(yīng)用到矩陣。 在白酒工業(yè)，成品酒的勾兌這一工序尤為重要，勾兌的目的不僅要使成品酒達(dá)到規(guī)定的酒精度，更重要的是要使成品酒中影響酒體風(fēng)味的幾十種主要微量成分達(dá)到預(yù)先設(shè)計好的平衡比例和具體含量。因此，使用計算機配合相關(guān)勾兌軟件，就顯得非常重要。如基酒及調(diào)配液的配比計算模塊中，按目標(biāo)含量、實際含量、調(diào)配液密度、成品密度、調(diào)配比數(shù) N 類參 數(shù)，依照質(zhì)量守恒原理，建立起質(zhì)量平衡線性方程組；且編制有行列式計算模塊，可對任意階行列式進(jìn)行計算，從而改變了傳統(tǒng)的逐次迭代算法，可直接對線性方程組進(jìn)行解的存在性的判定和求解計算；小到針對單一的酒精度勾兌的配比計算，大到同時針對 30種目標(biāo)成分、 31種基酒及調(diào)配液的調(diào)配比進(jìn)行計算。 我國高速公路網(wǎng)絡(luò)中環(huán)形結(jié)構(gòu)日益增多，發(fā)展形成了復(fù)雜的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，如何實現(xiàn)準(zhǔn)確的收費清分就成為不得不解決的問題。由于高速公路投資費用極高 ,在實際路網(wǎng)中相鄰節(jié)點間有兩條或以上的路段直接相連的情況一般不會出現(xiàn)，故高速路網(wǎng)的結(jié)構(gòu)圖一 般都是簡單圖。因此，可以定義若干矩陣，實現(xiàn)對高速公路網(wǎng) (主線、 匝道、 交叉口等 ) 的參數(shù)化描述。如可通過連接矩陣、屬性矩陣和標(biāo)識站矩陣描述高速公路的物理結(jié)構(gòu)，通過規(guī)則矩陣描述收費清分規(guī)則。 4 用 C 語言實現(xiàn)矩陣的運算 第二章 矩陣的幾種運算 5 第二章 矩陣的幾種運算 矩陣的加法與數(shù)乘 設(shè)有兩個同型的 m n 矩陣 A=??ija ， B=??ijb ，矩陣 A 與 B 的和記作 A+B，規(guī)定為： A+B=???????????????????????mnmnmmmmnnnnbababababababababa??????221122222221211112121111 數(shù) k 與矩陣 A 的乘積，簡稱數(shù)乘，記作 kA 或 Ak，規(guī)定為： kA=Ak=??????????????mnmmnnkakakakakakakakaka??????212222111211 矩陣的加法與數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。 矩陣 A=??ija 的負(fù)矩陣，記為 A，定義為 A=(1)A=( ija? ) 矩陣 A 與 B 的減法， 記作 AB。定義為 AB=A+(B) 例 設(shè) A= ???????? ?? 312 021， B= ???????? ?213 102 求 2A3B。 解 2A3B=2 ???????? ?? 312 0213 ???????? ?213 102 = ???????? ?? 624 042+ ???????? ???? 639 3066 用 C 語言實現(xiàn)矩陣的運算 = ???????? ??? ?? 1215 344 矩陣的乘法 矩陣乘法是出于研究線性方程組以及線性變換的乘法的需要建立起來的。 設(shè)有兩個線性變換 ???????????232131322212122121111yayazyayazyayaz () ??? ????22212122121111 xbxby xbxby () 若要求出，由 1x ， 2x 到 1z ， 2z ， 3z 的線性變換，可將 ()代入 ()，得 ?????????????????222321231121321131322222122112122112122221212111211211111)()()()()()(xbabaxbabazxbabaxbabazxbabaxbabaz () 線性變換 ()稱為線性變化 ()與 ()的乘積。 現(xiàn)在，如果將 ()、 ()和 ()各式右端分別用矩陣表示為 A=?????????