【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 問(wèn)題．教學(xué)目標(biāo)、余弦定理的推證方法，并掌握兩個(gè)定理． 、余弦定理解斜三角形．，結(jié)合解三角形的知識(shí)，解決生產(chǎn)、生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情景，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上（如圖431），問(wèn)：飛機(jī)離兩探照燈的距離分別是多少？，自動(dòng)卸貨汽車的車廂采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)計(jì)算油泵頂桿BC的長(zhǎng)度．已知車廂的最大仰角為60176。，AB與水平的夾角為6176。20′，計(jì)算BC的長(zhǎng)．（）問(wèn)題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型在問(wèn)題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝176。，∠B＝176。，AB＝2558m．求AC，BC的長(zhǎng)．組織學(xué)生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長(zhǎng)度．（讓學(xué)生思考，允許有不同的解法）結(jié)論：如圖403，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝ACsinC，AD＝ABsinB．由此可得ACsinC＝ABsinB．又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長(zhǎng)度，同理可求BC的長(zhǎng)度．教師明晰：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，由正弦函數(shù)的定義，得（2）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，結(jié)論是否仍然成立？引導(dǎo)學(xué)生自己推出．（詳細(xì)給出解答過(guò)程）事實(shí)上，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180176。－A）．根據(jù)誘導(dǎo)公式，知sin（180176。－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA， 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問(wèn)題？ （2）這一實(shí)際問(wèn)題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝，AC＝，夾角為6176。20′，求BC的長(zhǎng)． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個(gè)三角形為確定的三角形，那么怎樣去計(jì)算它的第三邊呢？由于涉及邊長(zhǎng)及夾角的問(wèn)題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點(diǎn)間的距離公式）如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．∵｜c(diǎn)｜2＝cc＝（a－b）（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問(wèn)題？ 勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關(guān)系，那么這兩個(gè)定理之間存在怎樣的關(guān)系？如何利用余弦定理來(lái)判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝176。，B＝176。，ａ＝，解三角形．（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40176。，解三角形．（角精確到1176。，邊長(zhǎng)精確到1cm）分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問(wèn)題，可由三角形內(nèi)角和定理先求出第三個(gè)角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，于是可用正弦定理求出b邊的對(duì)角B的正弦，sinB≈，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個(gè)值（如圖438），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學(xué)生在解題時(shí)容易丟掉一組解，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖形上尋找漏掉的解．2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41176。，解三角形．（角精確到1176。，邊長(zhǎng)精確到1cm）（2）已知：在△ABC中，ａ＝，ｂ＝，ｃ＝，解三角形．（角精確到1′）．分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時(shí)既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長(zhǎng)，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．，A為建筑物的最高點(diǎn)．設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高．由解直角三角形的知識(shí)，只要能知道一點(diǎn)C到建筑物頂部A的距離CA，并能測(cè)出由點(diǎn)C觀察A的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高．為了求出CA的長(zhǎng)，可選擇一條水平基線HG（如圖439），使H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上．在G，H兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別為α，β，設(shè)CD＝ａ，測(cè)角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習(xí)］△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1176。，邊長(zhǎng)精確到1cm）（1）A＝45176。，C＝30176。，ｃ＝10cm．（2）A＝60176。，B＝45176。，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30176。．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115176。．△ABC中，已知下列條件，解三角形．（176。，）（1）ａ＝，ｂ＝，C＝176。．（2）ｂ＝，ｃ＝，A＝176。．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．四、拓展延伸△ABC中，有正弦定理＋h．，sin（α這涉及比值的連等式．請(qǐng)?zhí)剿鞑⒀芯渴且粋€(gè)什么樣的量，并加以證明．△ABC中，已知三邊的長(zhǎng)為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ ：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38176。，求B．（精確到1176。）分析：.∵0176。＜B＜180176。，∴B≈31176?；駼≈149176。，但當(dāng)B≈149176。時(shí)，A＋B＝187176。，這與A，B為三角形內(nèi)角矛盾，故B角只能取31176。． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會(huì)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形呢？（1）當(dāng)A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無(wú)解），并且由sinB＝計(jì)算B時(shí)，只能取銳角，因此，只有一解，如圖4310．（2）當(dāng)A為銳角時(shí)，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖4011．計(jì)算B時(shí)，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無(wú)解．如圖4312．③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖4313．④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角的值，如圖4314．思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來(lái)解三角形時(shí)，它們的解會(huì)是怎樣的？第三篇：第二部分高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例第二部分 高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例正弦函數(shù)的性質(zhì)教材分析這篇案例的內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、歸納和總結(jié)，得出正弦函數(shù)的五個(gè)重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學(xué)重點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖像特征及五個(gè)重要性質(zhì)，難點(diǎn)是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應(yīng)注意通過(guò)具體實(shí)例讓學(xué)生充分體會(huì)這種“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)新概念的形成過(guò)程．教學(xué)目標(biāo)，分析y＝sinx的圖像，進(jìn)而歸納、總結(jié)出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結(jié)合的能力．，能夠解決與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡(jiǎn)單問(wèn)題．、從一般到特殊的思維方法，體會(huì)分析、探索、化歸、類比的科學(xué)研究方法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用．，進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言把圖像特征進(jìn)一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個(gè)性質(zhì)．一般來(lái)說(shuō)，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號(hào)、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對(duì)于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學(xué)生可能會(huì)有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學(xué)生充分觀察圖像，必要時(shí)可把物理中的彈簧振動(dòng)的實(shí)驗(yàn)再做一做，讓學(xué)生體會(huì)“周而復(fù)始”的現(xiàn)象，體會(huì)概念的形成過(guò)程．此外，對(duì)于周期函數(shù)，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)： “定義域內(nèi)的每一個(gè)值”．，在它所有的周期中，不一定存在一個(gè)最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒(méi)有最小正周期． （x），如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)我們學(xué)習(xí)過(guò)正弦函數(shù)圖像的畫(huà)法，并通過(guò)觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？用投影膠片展示正弦曲線，引導(dǎo)學(xué)生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：注：由此學(xué)生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域?yàn)镽．（2）值域?yàn)椋郏?，1］，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ＋當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ－（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時(shí)，正弦函數(shù)取得最小值－1．注：在此處，教師應(yīng)提醒學(xué)生注意前面的“2kπ”，使學(xué)生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復(fù)始”性．從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時(shí)的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？（設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生從物理中彈簧的振動(dòng)，即小球在平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，體會(huì)事物的“周期性”變化）（2）數(shù)學(xué)中的這種周期性變化能否用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)體現(xiàn)？二、建立模型 通過(guò)學(xué)生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f（x177。T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個(gè)函數(shù)的周期．說(shuō)明：若學(xué)生歸納和總結(jié)出周期函數(shù)的如下定義，也應(yīng)給以充分的肯定．如果某函數(shù)對(duì)于自變量的一切值每增加或減少一個(gè)定值，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)就叫作周期函數(shù)．給出最小正周期的概念：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書(shū)中今后涉及的周期，如果不加特殊說(shuō)明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說(shuō)是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒(méi)有最小正周期？ 通過(guò)觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出以下兩條性質(zhì)：奇偶性：由誘導(dǎo)公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當(dāng)x由－由－1增大到1；當(dāng)x由增大到增大到時(shí)，曲線逐漸上升，sinx的值時(shí)，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［小到－1．三、解釋?xiě)?yīng)用 ＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說(shuō)出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．（2）y＝sinx＋2．（3）y＝asinx＋b．（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．解：（1）當(dāng)2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x取得最（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當(dāng)2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)（k∈Z）｝，最小值是－1．（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時(shí)取得最大值和最小值．因此，當(dāng)x＝2kπ＋（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當(dāng)x＝2kπ－（k∈Z）時(shí)，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)（k∈Z）｝，最小值為1．（3）當(dāng)a＞0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ－（k∈Z）｝，ymax（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當(dāng)a＜0時(shí)，使函數(shù)取得最大值時(shí)的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時(shí)的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋（k∈Z）｝，ymax＝－（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝設(shè)t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題了．，且t∈［－1，1］，于是問(wèn)題就變成求閉區(qū)間上當(dāng)t＝1，即sinx＝1時(shí)，ymax＝1，取最大值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ＋（k∈Z）｝；當(dāng)t＝－1，即sinx＝－1時(shí)，ymin＝－9，取最小值時(shí)x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習(xí)］求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時(shí)的自變量ｘ的集合．（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．sinx＋．（1）y＝sin2x．（2）y＝．解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當(dāng)2T＝2π時(shí)，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 ，誘導(dǎo)學(xué)生自主反思（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關(guān)）（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使