【文章內(nèi)容簡介】 題， ADAMS/Solver提供多種功能成熟的求解器，可以對所建模型進行運動 學、靜力學、動力學分析。 ADAMS軟件的多剛體動力學分析步驟如下 [18]： （ 1） 自由度的計算 機械系統(tǒng)的自由度表示機械系統(tǒng)中各構(gòu)件相對于地面機架所具有的獨立運動數(shù)量。機械系統(tǒng)的自由度與構(gòu)成機械的構(gòu)件數(shù)量、運動副的類型和數(shù)量、原動機的類型和數(shù)量、以及其他約束條件有關(guān)。例如 :一個在 3維空間自由浮動的剛體有 6個自由度 :一個圓柱副約束了兩個移動和兩個轉(zhuǎn)動，共提供了 4個約束條件。 機械系統(tǒng)的自由度 DOF和原動機的數(shù)量與機械系統(tǒng)的運動特性有著密切的關(guān)系，在ADAMS軟件中，機構(gòu)的自由度決定了該機構(gòu)的分析類型：運動學 分析或動力學分析。 當 DOF＝ 0時，對機構(gòu)進行運動學分析，即僅考慮系統(tǒng)的運動規(guī)律，而不考慮產(chǎn)生運動的外力。在運動學分析中，當某些構(gòu)件的運動狀態(tài)確定后，其余構(gòu)件的位移、速度和加速度隨時間變化的規(guī)律，不是根據(jù)牛頓定律來確定的，而是完全由機構(gòu)內(nèi)構(gòu)件間的約束關(guān)系來確定，是通過位移的非線性代數(shù)方程與速度、加速度的線性代數(shù)方程迭代運算解出。 當 DOF0時，對機構(gòu)進行動力學分析，即分析其運動是由于保守力和非保守力的作用而引起的，并要求構(gòu)件運動不僅滿足約束要求，而且要滿足給定的運動規(guī)律。它又包括靜力學分析、準靜力學分 析和瞬態(tài)動力學分析。動力學的運動方程就是機構(gòu)中運動的拉格朗日乘子微分方程和約束方程組成的方程組。 當 DOF0時，屬于超靜定問題， ADAMS無法解決。 （ 2） 廣義坐標的選擇 動力學方程的求解速度很大程度上取決于廣義坐標的選擇。研究剛體在慣 性空間中的一般運動時，可以用它的連體基的圓點 (一般與質(zhì)心重合 )確定位置，用連體基相對慣性基的方向余弦矩陣確定方位。為了解析地描述方位，必須規(guī)定一組轉(zhuǎn)動廣義坐標表示方向余弦矩陣。第一種方法是用方向余弦矩陣本身的元素作為轉(zhuǎn)動廣義坐標，但是變量太多，同時還要附加六個約束方程；第二種方法是用歐拉角或卡爾登角作為轉(zhuǎn)動坐標，它的算法規(guī)范，確定是在逆問題中存在奇點，在奇點位置福建豎直計算容易出現(xiàn)困難；第三種方法是用歐拉參數(shù)作為轉(zhuǎn)動廣義坐標，它的變量不太多，由方向余弦計算歐拉角時不存在奇點。 ADAMS軟件用剛體 i 的質(zhì)心笛卡 爾 坐 標 和 反 映 剛 體 方 位 的 歐 拉 角 作 為 廣 義 坐 標 ， 即 ： ? ? Tii zyxq ?? ,, ?? ， 12, TT T Tnq q q q??? ?????。 由于采用了不獨立的廣義坐標，系統(tǒng)動力學雖然是最大數(shù)量，但是卻是高度稀疏耦合的微分代數(shù)方程，適用于稀疏矩陣的方法高效求解。 （ 3） 動力學 方程的建立 ADAMS 程序采用拉格朗日乘子法建立系統(tǒng)運動方程： TT TTqqd T T Qdx q q ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? () 完整約束方程 ? ?,0qt? ? 非完整約束方程 ? ?, , 0q q t? ? 其中： T—— 系統(tǒng)動能； q —— 系統(tǒng)廣義坐標列陣； Q —— 廣義力列陣； ? —— 對應(yīng)于完整約束的拉氏 乘子列陣； ? —— 對應(yīng)于非完整約束的拉氏乘子列陣。 （ 4） 動力學 方程的求解 把 ()式寫成更一般的形式 : ? ?, , , , 0F q u u t? ? ? ?,0G u q u q? ? ? ? ?1 ,0j qt? ? ?? () 其中： q —— 廣義坐標列陣； q， u —— 廣義速度列陣； ?—— 約束反力及作用力列陣； F —— 系統(tǒng)動力學微分方程及用戶定義的微分方程 (如用于控制的微分方程、非完整約束方程 )； ? —— 描述約束的代數(shù)方程列陣。 如定義系統(tǒng)的狀態(tài)矢量 , TT T Ty q u ???? ??,式 ()可寫成單一矩陣方程： ? ?, , 0g y y t ? () 在進行動力學分析時， ADAMS采用兩種算法 : a) 提供三種功能強大的變階、變步長積分求解程序 :GSTIFF積分器、 DSTIFF積分器和 BDF積分器來求解稀疏禍合的非線性微分代數(shù)方程，這種方法適用于模擬剛性系統(tǒng) (特征值變化范圍大的系統(tǒng) )。 b) 提供 ABAM積分求解程序，采用坐標分離算法來求解獨立坐標的微分方程，這種方法適于模擬特征值經(jīng)歷突變的系統(tǒng)或高頻系統(tǒng)。 下面介紹微分一代數(shù)方程的求解 算法 : 用 GEAR預估一校正算法可以有效地求解式 ()所示的微分－代數(shù)方程。首先，根據(jù)當前時刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量值，用泰勒級數(shù)預估下一時刻系統(tǒng)的狀態(tài)矢量值 : 2 21 212!nnnn yyy y h htt? ??? ? ? ? … () 其中，時間步長 h=tn+1+tn。 這種預估算法得到新時刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量值通常不準確，式 ()右邊的項不等于零，可以由Geark+1階積分求解程序 (或其他向后差分積分程序 )老校正。如果預估算法得到的新時刻的系統(tǒng)狀態(tài)矢量值滿足 ()，則可以不必進行校正。 1 0 1 11kn n i n iiy h y y??? ? ? ??? ? ? ? () 其中： 1ny? —— ??yt 在 1ntt?? 時的系數(shù)值； 0, i??—— Gear積分程序的系數(shù)值。 改寫式 ()得： 1 1 1101kn n i n iiy y yh ??? ? ? ??? ????????? () 整理式 ()在 1ntt?? 展開 ,得： ? ?1 1 1 1 1, , , , 0n n n n nF q u u t?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1101,0 kn n n n n n i n iiG u q u q u q qh ??? ? ? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ??? ?????? ? () ? ?11,0nnqt???? ADAMS使用修正得 NewtonRaphson程序求解上面得非線性方程，其迭代校正公式為： 0j j j jF F FF q uqu ??? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 0j j jGGG q uqu??? ? ? ? ? () 0jjqq??? ? ? ?? 其中， j表示第 j次迭代。 1j j jq q q?? ? ? ， 1j j ju u u?? ? ? ， 1j j j? ? ??? ? ? () 由式 ()知： 01jjuuh???? ? ? ????? () 由式 ()知： 01G Iqh???? ???? ??， G Iu? ?? () 將式 ()和式 ()代入式 ()，得： 0011000TjjF F Fq u h u qqFI I u Ghq??????? ??? ? ? ? ?????? ??? ? ? ???????? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????????????? () 式 ()左邊得系數(shù)矩陣稱系統(tǒng)的雅可比矩陣，其中： Fq?? — — 系統(tǒng)剛度矩陣； Fu?? —— 系統(tǒng)阻尼矩陣； Fu?? —— 系統(tǒng)質(zhì)量矩陣； 通過分解系統(tǒng)雅可比矩陣 (為了提高計算效率， ADAMS采用符號方法分解矩陣 )求解jq? ， ju? ， j?? ，計算出 1jq? , 1ju? , 1j?? , 1jq? ， 1ju? ， 1j?? ，重復上述迭代校正步驟，直到滿足收斂條件，最后是積分誤差控制步驟。如果預估值與校正值的差值小于規(guī)定的積分誤差限，接受該解，進行下一時刻的求解。否則拒絕該解，并減少積分步長，重新進行預估一校正過程。 總之，微分一代數(shù)方程的求解算法是重復預估、校正、進行誤差控制的過程，直到求 解時間達到規(guī)定的模擬時間。 （ 5） 初始條件分析 在進行動力學、靜力學分析之前， ADAMS自動進行初始條件分析，以便在初始系統(tǒng)模型中各物體的坐標與各種運動學約束之間達成協(xié)調(diào)，這樣可以保證系統(tǒng)滿足所有約束條件。初始條件分析通過求解相應(yīng)的位置、速度、加速度的目標函數(shù)的最小值得到。 對初始條件位置分析，定義相應(yīng)的位置目標函數(shù) 0L ? ? 2 0001112 nmi i i j jijL W q q ???? ? ? ??? （ ） 其中： n—— 系統(tǒng) 總的廣義坐標數(shù)； m—— 系統(tǒng)約束方程數(shù)； j? ， 0j? —— 分別是約束方程及對應(yīng)的拉式乘子； iW—— 對應(yīng) 0iq 的加權(quán)系數(shù)。如果用戶指定的 0iq 是準確坐標值， iW 取大值；如果用戶指定的 0iq 是近似坐標值， iW 取小值；如果是程序指定的 0iq 坐標值，則 iW 取零值。 0L 取最小值，則由 0 0iLq? ?? ， 00 0jL?? ?? 得： ? ? 00100m ji i i jj ijW q q q????? ? ? ????????? i=1,2,3,?? ,n。 j=1,2,3,?? ,m () 對應(yīng)函數(shù)形式： 0( , ) 0i k lfq? ? , ( ) 0jkgq? k=1,2,3,?? ,n。i=1,2,3,?? ,m () 其中 Newton Raphson? 迭代公式為： ? ?? ?20 00,1 1 110,10n n m mjjiji i p i j p pkpk j jk i ij in lpj k pk k pW W q qqq q qqqq? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ???????? ? ? ????? ? ? ????? ? ???? ? ? ???? ???? ???????? ? ? ?? () 其中 , , 1 ,k p k p k pq q q?? ? ?； 0 , , 1 ,l p l p l p? ? ??? ? ?，下標 p 表示第 p 次迭代。 對初始速度分析，定義相應(yīng)的速度目標函數(shù) 1L ? ? 2101112 nm ji i i jij dL W q q dt??? ?? ? ???′ ＇ () 其中： 1L —— 用戶設(shè)定的準確的或近似的初始速度值或程序設(shè)定的缺省速度值； iW′ —— 對應(yīng) 0iq 的加權(quán)系數(shù)； 1 0nj j jkk kd qd t q t?? ?? ??? ? ????—— 速度約束方程； j?＇ —— 對應(yīng)速度約束方程的拉氏乘子。 1L 取最小值時，則由 1 0iLq? ?? ， 1 0jL?? ?? ＇ 得： ? ?1 011100mji i jjiinjjkkjkL W q qqqL qqt????? ????? ? ? ? ?? ????????? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ??????′ ＇＇ i=1,2,? ,n。j=1,2,? ,m () 寫成矩陣形式為： 0110mjk kkkj kjnjjk kW Wqqqtq??????????? ??? ? ? ? ??? ? ? ???????? ?????? ????????′ ′＇ k=1,2,? ,n。l=1,2,? ,m () 上式是關(guān)于 kq ， j?＇ 得線性方程，系數(shù)矩陣只與位置有關(guān)，且非零項已經(jīng)分解 (見式 (),因此，可以直接求解 kq ， j?＇ 。 （ 6） 對初 始加速度、初始拉氏乘子的分析，可直接由系統(tǒng)動力學方程和系統(tǒng)約束方程的兩階導數(shù)確定 將矩陣形式的系統(tǒng)動力學方程寫成分量形式 : ? ?? ? ? ?? ?11221, , 0nmjik k k j i k kkj injji j k ki im q q Q q q tqd q h q q tdt q??????? ??? ??? ? ? ???? ? ? ????