【文章內容簡介】 小值最大化。 因此，在給定分集好處的情況下，可以通過增加格狀圖狀態(tài)的方法來提高編碼增益，但同時狀態(tài)數(shù)的增加必然會導致編解碼復雜度的提高。由此可見，這種編碼方法的缺點是，譯碼復雜度將隨著傳輸速率的增加而呈指數(shù)增加。 空時分組編碼 為降低譯碼復雜度， Alamouti 提出了一種使用兩副發(fā)送天線的傳輸方法。這種方法的譯碼復雜度要比空時網(wǎng)格編碼簡單得多。隨后， Tarokh 在正交設計理論的基礎上，把 Alamouti 方案推廣到多于兩個天線的系統(tǒng)中，提出了正交空時分組編碼。 空時分組 編 碼運用正交設計獲得兩個優(yōu)點： (1)在全分集時提供了最大的發(fā)送速率，而沒有損失傳送帶寬 (2)應用列之間的正交性，接收端可以利用簡單的線性處理進行最大似然算法解碼。 正是由于其相對簡單的譯碼算法和較好的性能， WCDMA 采用了空時分組編碼技術?？諘r發(fā)射分集 (STTD)技術即為基于發(fā)射分 集的空時分組編碼 。 安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 13 MIMO 系統(tǒng)容量 MIMO 系統(tǒng)模型 假定一個點對點 MIMO 系統(tǒng)有 nT個發(fā)射天線、 nR個接收天線。集中于用離散時間描述的復基帶線性系統(tǒng)模型。系統(tǒng)框圖如圖 31所示。用 nT 1 列矩陣χ表示每個符號周期內的發(fā)射信號，其中第 i個元素χ i表示第 i根天線發(fā)射的信號。 x1 r1 x2 r2 xnT rnR 圖 22 MIMO 系統(tǒng)框圖 對于高斯信道，按照信息論，發(fā)射信號的最佳分布也是高 斯分布。因此，χ元素是零均值獨立同分布的高斯變量。發(fā)射信號的協(xié)方差矩陣為 ? ?Hxx xxER ? (2— 1) 式中， ??E 代表均值； AH表示矩陣 A的厄米特（ hermitian）轉置矩陣，即 A的復共軛轉置矩陣。不管發(fā)射天線 nT為多少，總的發(fā)射功率限制為 P，可表示為 P=tr(Rrx) (22) 式中， tr(A)代表矩陣 A的跡，可以通過對 A 的對角元素求和 得到。如信道在發(fā)射端未知，則假定從各天線發(fā)射的信號都有相等的功率 P/nT。發(fā)射信號的協(xié)方差矩陣為 TT InnPRxx? (23) 式中， InT 是 nT nT 的單位矩陣。由于發(fā)射信號的帶寬足夠窄，因此可認為它的頻率響應是平坦的。換句話說，假定信道是無記憶的。 用 nR nT的復矩陣 H 描述信道。 Hij表示矩陣 H 的第 ij個元素 ，代表從第 j 根發(fā) 空時譯碼器 空時編碼器 安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 14 射天線到第 i 根接收天線之間的信道衰落系數(shù)。為了規(guī)范，假定 nR根接收天線中的每一根天線的接收功率等于總的發(fā) 射功率。這種假定，實際忽略了信號傳播過程中的信號衰減和放大，包括陰影、天線增益等。于是了有確定系數(shù)的信道矩陣 H 的元素的規(guī)范限定，如下式所示： nRinh Tnj ijT ,2,1,21 ????? （ 24） 當信道矩陣元素為隨機變量時 ，規(guī)范就是對上述表達式取期望值。 假定已知接收端信道矩陣，但發(fā)射端不確定。那么可以通過在接收端發(fā)射測試序列來估計信道矩陣。再通過可靠的反饋信道將估計的信道狀態(tài)信息（ CSI） 發(fā)送到發(fā)射端。 信道矩陣 H 的元素可能是確定的，也可能是隨機的。我們重點對與無線通信相 關的示例進行分析，包括信道矩陣的瑞利（ Ray leigh） 分布和賴斯（ Rician） 分布。在多數(shù)情況下，假定它是瑞利分布，因為對于非視距 (NLOS)無線傳播來說，它最具有代表性。 可以用 nR 1 的列矩陣描述接收端的噪聲，表示為 n。它的元素是統(tǒng)計獨立的復零均值高斯變量，它具有獨立的、方差相等的實部和虛部。接收噪聲的協(xié)方差矩陣為 ? ?HnnERnn ? (2— 5) 如果 n的元素之間沒有相關性，則接收噪聲的協(xié)方差矩陣為 nRIRnn 2?? （ 2— 6） nR個接收分支中每一個都有相同的噪聲功率 2? 。 接收端基于最大似然準則，在 nR 根接收天線上進行聯(lián)合操作。用 nR 1 的列矩陣描述接收信號，表示為 r，其中每個復元素代表一根接收天線。 Pr 表示每根 接收天線輸出端的平均功率。每根接收天線處的平均信噪比（ SNR） 定義為 2?? rP? （ 2— 7） 假定每根天 線的總接收功率都等于總發(fā)射功率，則 SNR 等于總的發(fā)射功率和每根接收天線的噪聲功率的比值，而且它獨立于 nT，可寫為 安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 15 2?? P? （ 2— 8） 使用線性模型，可將接收矢量表示為 r=Hx＋ n （ 2— 9） 接收信號的協(xié)方差矩陣定義為 E{rrH},利用式（ 29），則可以得出 Rrr=HRxxHH (2— 10) 而總接收信號功率可表示為 tr(Rrr)。 MIMO 系統(tǒng)容量推導 系統(tǒng)容量定義為在保證誤碼率任意小的條件下的最大發(fā)射速率。首先，假設信道矩陣在發(fā)射端為未知，在接收端為已知。 由奇異值分解（ SVD） 理論，任何一個 nR nT矩陣 H 可以寫成 H=UDVH （ 2— 11） 式中， D 是 nR nT非負對角矩陣； U 和 V 分別是 nR nR 和 nT nT 的酉矩陣。則有UUH=InR和 VVH=InT，其中 InR和 InT分別是 nR nR和 nT nT單位陣。 D 的對角元素是矩陣 HHH的特征值的非負平方根。 HHH的特征值（ 用λ表示 ）定義為 HHHy=λ y, y≠ 0 （ 2— 12） 式中， y 是與 λ 相對應的 nR 1 維矢量，稱為特征矢量。 特征值的非負平方根也稱為 H 的奇異值，而且 U 的列矢量是 HHH的特征矢量，V的列矢量 是 HHH 的 特征矢量。把式（ 211）代入式（ 29），可以得到接收矢量 r r=UDVHx＋ n （ 2— 13） 引入下列變換： r180。=UHr x180。=VHx (2— 14) n180。=UHn 安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 16 U 和 V 是可逆的。顯然，式（ 214）中定義的矩陣 r、 x 和 n 與相應矩陣的乘積僅有一個縮放比例的效果。矢量 n180。是一個零均值高斯隨機變量，其實部和虛部獨立同分布。這樣，前面討論的信道與下式所描述的信道是等價的。 r180。=Dx180。＋ n (2— 15) 矩 陣 HHH 的非 零特征值的數(shù)量等于矩陣 H 的秩，用 r 表示。對 nR nT 矩陣 H,秩的最大值為 m=min(nR,nT)，也就是說，至多有 m 個奇異值是非零的。用 i? 表示 H的奇異值。將 i? 代入式（ 215）， 得到接收信號元素為 ? ?rinxr iiii ,2,1 ??????? ? ? ?Rii nrrinr ,2,1 ??????? (2— 16) 式（ 216）顯示， 接收元素 )n,2,r1,r(i R?????ir 并不依賴于發(fā)射信號，即信道增益是零。另一方面，接收元素 ),2,1(i rri ??? 僅僅取決 于發(fā) 射元素 Xi’。因此，可以認為，通過式 （ 215）得到的等效 MIMO 信道是由 r 個去耦平行子信道組成的。為每個子信道分配的矩陣 H 的奇異值，相當于信道幅度增益。因此，信道功率增益等于 矩陣 HHH的特征值 。例如，如果 nTnR，由于 H 的秩不可能比 nR高，那么式（ 216）顯示了在等效的 MIMO 信道中，最多有 nR個非零增益子信道，如圖 23所示。 安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 17 X1 1? r1 X2 2? r2 XnR nR? rnR XnR+1 0 XnT 0 圖 23 nTnR時的等效 MIMO 信道框圖 另一方面，如果 nRnT，在等效的 MIMO 信道中，最多有 nT個非零增益子信道，如圖 24 所示。特征值譜是對 MIMO 信道的一種描述方式，適用于對最佳發(fā)射路徑進行估計。 安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 18 X1 1? r1 X2 2? r2 XnT nT? rnT O rnT+1 O rnR 圖 24 nRnT時的等效 MIMO 信道框圖 由式（ 214），可以導出信號 r180。、 x180。和 n180。的協(xié)方差矩陣和它們的跡 Rr180。r180。=UHRrrU Rx180。x180。=VHRxxV （ 217） Rn180。n180。=UHRnnU tr(Rr180。r180。)=tr(Rrr) tr(Rx180。x180。)=tr(Rxx) (2— 18) tr(Rn180。n180。)=tr(Rnn) 以上關系顯示， r39。、 x39。和 n39。的協(xié)方差矩陣有相等的對角元素和，從而有相 等的功率；而安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 19 對于原始信號和 r、 x 和 n,它們是各不相等的。 考慮到式（ 216）所描述的等價 MIMO 信道模型中，子信道是去耦的，因此其容量可以直接相加。假設在等效 MIMO 信道中，每根天線的發(fā)射功 率為 P/nT，運用香農(nóng)公式，可以估算出總的信道容量（用 C 表示）為 ?? ?????? ?? ri riWC 1 22 P1lo g ? （ 2— 19） 式中， W 是每個子信道的帶寬 ； Pri是在第 i 個子信道中接收的信號功率，由下式給出： Tiri nPP ?? （ 2— 20） 式中， i? 是信道矩 陣 H 的奇異值。因此信道容量可以寫成 2 2lo g 1r iil TPCW n???????????? ?? ???????? ?? ri T in PW 1 22 1lo g ?? （ 2— 21） 下面說明信道容量是如何與信道矩陣 H 相關的。假定 m=min（ nR， nT） ,式（ 212）定義了特征值 特征矢量的關系，可重新寫為 ? ? 0?? yQIm? y≠ 0 （ 2— 22） 式中， Q 是威沙特（ Wishart） 矩陣，定義為 ???? HHHHQHH TRTR nn nn ?? （ 2— 23） 即當且僅當 QIm?? 是奇異矩陣時，λ是 Q 的一個特征值。因此 QIm?? 的行列式必定為零，即 ? ? 0det ??QIm? （ 2— 24） 通過查找式（ 224）的根，即可計算出信道矩陣的奇異值λ。 式（ 224）左邊的特征多項式 P（λ）為 安徽理工大學電子信息工程專業(yè)畢業(yè)設計 20 ? ? ? ?QIp m ?? ?? det （ 2— 25） 其冪次為 m，因為在 ? ?QIm ??det 的拉普拉斯最小項乘積式中， ? ?QIm?? 的每一行對應λ的一次乘積項。由于復系數(shù) m 次多項式剛好有 m 個零點，因此特征多項式可以寫成 ? ? ? ??? ?? mi iP 1 ??? （ 2— 26） 式中， i? 是特征多項式 P（λ）的根，等于信道矩陣的奇異值。式（ 224）可以寫作 ? ? 0????mli i?? （ 2— 27） 進而令式（ 224）和式（ 227）的左邊相等 ? ?