【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ， 2，?， M1 y＝ 0， 1， 2，?， N1 ()變換核可分離的離散圖像變換表示為： ???????????????????????????????1,2,1,01,2,1,0),(),(),(),(1,2,1,01,2,1,0),(),(),(),(102110102110NyMxvyhvuTuxhyxfNvMuvygyxfyxgvuTNvMuNyMx???? () 如此，二維離散變換就可以用兩次一維變換實(shí)現(xiàn)。 離散沃爾什變換 由于傅立葉變換的變換核由正弦 余弦函數(shù)組成，運(yùn)算速度受影響 。要找另一種正交變換，要運(yùn)算簡(jiǎn)單且變換核矩陣產(chǎn)生方便。 Walsh Transform矩陣簡(jiǎn)單，只有 1和－ 1，矩陣容易產(chǎn)生，有快速算法。 一維離散沃爾什變換 假如 N=2n ， 則離散 f(x) （ x=0,1, 2,…,N 1） 的沃爾什變換 ??? ??????? 10 )(110 )()1)((1)( Nx ubb inni xixfNuW u=0， 1， 2， … ， N1 () ??? ??????? 10 )()( 110)1)((1)( Nu ubxb inni iuWNxf x=0， 1， 2， … ， N1 () 二維離散沃爾什變換 ?? ????? 1010 ),(),(),( NyMX vyuxgyxfvuW () （ u=0,1,2…,M 1 v=0,1,2…,N 1） ?? ????? 1010 ),(),(),( NvMu vyuxhvuWyxf () （ x=0,1,2? ,M1 y=0,1,2? ,N1） 這里假定了 M=2m ， N＝ 2n 寶雞文理學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 15 從上式可知，反正變換核具有可分離性，即 ),(),(),(),(),(),( 2121 vyhuxhvyguxgvyuxhvyuxg ??? )]()([)]()([ 111111 )1(1)1(1vbxbubxb jnni jimmi i NM ???????? ????? () 所以，二維離散沃爾什變換可由兩次變換來實(shí)現(xiàn)。 灰度變換 灰度變換可使圖像動(dòng)態(tài) 范圍增大，對(duì)比度得到擴(kuò)展，使圖像清晰、特征明顯，是圖像增強(qiáng)的重要手段之一。它主要利用點(diǎn)運(yùn)算來修正像素灰度，由輸入像素點(diǎn)的灰度值確定相應(yīng)輸出點(diǎn)的灰度值，是一種基于圖像變換的操作?；叶茸儞Q不改變圖像內(nèi)的空間關(guān)系，除了灰度級(jí)的改變是根據(jù)某種特定的灰度變換函數(shù)進(jìn)行之外，可以看作是“從像素到像素”的復(fù)制操作。基于點(diǎn)運(yùn)算的灰度變換可表示為： )],([),( yxfTyxg ? () 其中 T被稱為灰度變換函數(shù)，它描述了輸入灰度值和輸出灰度值之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。一旦灰度變換函數(shù)確定，該灰度變換就被完全確定下來。 灰度變換包含的方法很多，如逆反處理、閾值變換、灰度拉伸、灰度切分、灰度級(jí)修正、動(dòng)態(tài)范圍調(diào)整等。雖然它們對(duì)圖像的處理效果不同，但處理過程中都運(yùn)用了點(diǎn)運(yùn)算，通常可分為線性變換、分段線性變換、非線性變換。 線性變換 假定原圖像 f(x,y)的灰度范圍為 [a,b]，變換后的圖像 g(x,y)的灰度范圍線性的擴(kuò)展至 [c,d]， 如 圖 3 .11所示。則對(duì)于圖像中的任一點(diǎn)的灰度值 P(x,y)，變換后為g(x,y)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示 [1]。 cayxfyxg ab cd ???? ?? ]),([),( () 若圖像中大部分像素的灰度級(jí)分布在區(qū)間 [a,b]內(nèi)， max f為原圖的最大灰度級(jí)，只有很小一部分的灰度級(jí)超過了此區(qū)間，則為了改善增強(qiáng)效果，可以令 寶雞文理學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 16 ??????????????? ??fyxfbdbyxfacayxfayxfocyxg ab cdm a x),(,),(]),([),(),( () 在曝光不足或過度的情況下，圖像的灰度可能會(huì)局限在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，這時(shí)得到的圖像可能是一 個(gè)模糊不清、似乎沒有灰度層次的圖像。采用線性變換對(duì)圖像中每一個(gè)像素灰度作線性拉伸，將有效改善圖像視覺效果。 分段線性變換 為了突出圖像中感興趣的目標(biāo)或灰度區(qū)間，相對(duì)抑制不感興趣的灰度區(qū)間，可采用分段線性變換，它將圖像灰度區(qū)間分成兩段乃至多段分別作線性變換。進(jìn)行變換時(shí)，把 0255整個(gè)灰度值區(qū)間分為若干線段，每一個(gè)直線段都對(duì)應(yīng)一個(gè)局部的線性變換關(guān)系。如圖 ，為二段線性變換， (a)為高值區(qū)拉伸， (b)為低值區(qū)拉伸。 圖 二段線性變換 非線性變換 非線性變換就是利用非線 性變換函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行灰度變換，主要有指數(shù)變換、對(duì)數(shù)變換等。 指數(shù)變換，是指輸出圖像的像素點(diǎn)的灰度值與對(duì)應(yīng)的輸入圖像的像素灰度值之間滿足指數(shù)關(guān)系，其一般公式為 ： y)f(x,),( byxg ? () 其中 b為底數(shù)。為了增加變換的動(dòng)態(tài)范圍，在上述一般公式中可以加入一些寶雞文理學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 17 調(diào)制參數(shù)，以改變變換曲線的初始位置和曲線的變化速率。這時(shí)的變換公式為： 1),( ]),([ ?? ?? ayxfcbyxg () 式 中 a， b， c都是可以選擇的參數(shù)，當(dāng) f(x,y)=a時(shí)， g(x,y)=0，此時(shí)指數(shù)曲線交于 X軸，由此可見參數(shù) a決定了指數(shù)變換曲線的初始位置參數(shù) c決定了變換曲線的陡度，即決定曲線的變化速率。指數(shù)變換用于擴(kuò)展高灰度區(qū)，一般適于過亮的圖像。 對(duì)數(shù)變換，是指輸出圖像的像素點(diǎn)的灰度值與對(duì)應(yīng)的輸入圖像的像素灰度值之間為對(duì)數(shù)關(guān)系，其一般公式為： )],(lg[),( yxfyxg ? () 其中 lg 表示以 10為底，也可以選用 自然對(duì)數(shù) ln 。為了增加變換的動(dòng)態(tài)范圍，在上述一般公式中可以加入一些調(diào)制參數(shù)，這時(shí)的變換公式為： cb yxfayxg ln ]1),(ln [),( ? ??? () 式中 a， b， c都是可以選擇的參數(shù)，式中 f(x,y)+1是為了避免對(duì) 0求對(duì)數(shù)，確保 0]1),(ln[ ??yxf 。當(dāng) f(x,y)=0時(shí)， 0]1),(ln[ ??yxf ，則 y=a，則 a為 Y軸上的截距，確定了變換曲線的初始位置的變換關(guān)系， b、 c兩個(gè)參數(shù)確定 變換曲線的變化速率。對(duì)數(shù)變換用于擴(kuò)展低灰度區(qū)，一般適用于過暗的圖像。 直方圖變換 直方圖修正基礎(chǔ) 圖像的灰度直方圖是反映一幅圖像的灰度級(jí)與出現(xiàn)這種灰度級(jí)的概率之間的關(guān)系的圖形。 灰度級(jí)為 [0,L1]范圍的數(shù)字圖像的直方圖是離散函數(shù) h( kr )= kn ，這里 kr 是第k級(jí)灰度， kn 是圖像中灰度級(jí)為 kr 的像素個(gè)數(shù)。通常以圖像中像素?cái)?shù)目的總和 n去除他的每一個(gè)值，以得到歸一化的直方圖，公示如下： nnrP kk /)( ? k=0,1,2,…,L 1 () 寶雞文理學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 18 且 ??? ?11 1)(LK krP 因此 )(krP 給出了灰度級(jí)為 kr 發(fā)生的概率估計(jì)值。歸納起來，直方圖主要有一下幾點(diǎn)性質(zhì)： （ 1） 直方圖中不包含位置信息。直方圖只是反應(yīng)了圖像灰度分布的特性，和灰度所在的 位置沒有關(guān)系，不同的圖像可能具有相近或者完全相同的直方圖分布。 （ 2） 直方圖反應(yīng)了圖像的整體灰度。直方圖反應(yīng)了圖像的整體灰度分布情況，對(duì)于暗色圖像，直方圖的組成集中在灰度級(jí)低（暗）的一側(cè)，相反，明亮圖像的直方圖則傾向于灰度級(jí)高的一側(cè)。直觀上講，可以得出這樣的結(jié)論，若一幅圖像其像素占有全部可能的灰度級(jí)并且分布均勻，這樣的圖像有高對(duì)比度和多變的灰度色調(diào)。 （ 3）直方圖的可疊加性。一幅圖像的直方圖等于它各個(gè)部分直方圖的和。 （ 4）直方圖具有統(tǒng)計(jì)特性。從直方圖的定義可知，連續(xù)圖像的直方圖是一位連續(xù)函數(shù)，它具有統(tǒng)計(jì)特 征，例如矩、絕對(duì)矩、中心矩、絕對(duì)中心矩、熵。 （ 5）直方圖的動(dòng)態(tài)范圍。直方圖的動(dòng)態(tài)范圍是由計(jì)算機(jī)圖像處理系統(tǒng)的模數(shù)轉(zhuǎn)換器的灰度級(jí)決定。 由于圖像的視覺效果不好或者特殊需要，常常要對(duì)圖像的灰度進(jìn)行修正，以達(dá)到理想的效果，即對(duì)原始圖像的直方圖進(jìn)行轉(zhuǎn)換（修正）： 一幅給定的圖像的灰度級(jí)分布在 0≤r≤1范圍內(nèi)。可以對(duì) [0,1]區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè) r進(jìn)行如下的變換： s=T(r) () 變換函數(shù) T應(yīng)滿足以下條件： 0≤ r≤ 1區(qū)間內(nèi)， )(rT 單值單調(diào)增加； 0≤ r≤ 1，有 0≤ )(rT ≤ 1。 這里的第一個(gè)條件保證了圖像的灰度級(jí)從白到黑的次序不變。第二個(gè)條件則保證了映射變換后的像素灰度值在允許的范圍內(nèi)。滿足這兩個(gè)條件，就保證了轉(zhuǎn)換函數(shù)的可逆。 寶雞文理學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 19 直方圖均衡化 直方圖均衡化方法是圖像增強(qiáng)中最常用、最重要的方法之一。直方圖均衡化是把原圖像的直方圖通過灰度變換函數(shù)修正為灰度均勻分布的直方圖，然后按均衡直方圖修正原圖像。它以概率論為基礎(chǔ)，運(yùn)用灰度點(diǎn)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)，從而達(dá)到增強(qiáng)的目的。它 的變換函數(shù)取決于圖像灰度直方圖的累積分布函數(shù)。概括的說，就是把一已知灰度概率分布的圖像，經(jīng)過一種變換，使之演變成一幅具有均勻概率分布的新圖像。有些圖像在低值灰度區(qū)間上頻率較大，使得圖像中較暗區(qū)域中的細(xì)節(jié)看不清楚。這時(shí)可以將圖像的灰度范圍分開，并且讓灰度頻率較小的灰度級(jí)變大。當(dāng)圖像的直方圖為一均勻分布時(shí)，圖像的信息熵最大，此時(shí)圖像包含的信息量最大，圖像看起來就顯得清晰。 直方圖均衡化變換函數(shù)如圖 ，設(shè) r， s分別表示原圖像和增強(qiáng)后圖像的灰度。為了簡(jiǎn)單，假定所有像素的灰度已被歸一化。當(dāng) r=s=0時(shí)，表示黑色；當(dāng) r=s=1時(shí)，表示白色；當(dāng) r， s在 [0,1]之間時(shí)，表示像素灰度在黑白之間變化。灰度變換函數(shù)為： s=T(r)。 圖 直方圖均衡化變換函數(shù) 實(shí)際上，由于直方圖是近似的概率密度函數(shù)，用離散灰度級(jí)作變換時(shí)很少能夠得到完全平坦的結(jié)果，而且，變換后往往會(huì)出現(xiàn)灰度級(jí)減少的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象被稱為“簡(jiǎn)并”現(xiàn)象。這是像素灰度有限的必然結(jié)果。由于上述原因，數(shù)字圖像的直方圖均衡 只能是近似的。直方圖均衡化處理可大大改善圖像灰度的動(dòng)態(tài)范圍。減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象通?？刹捎脙煞N方法：一種簡(jiǎn)單的方法是增加像素的比特?cái)?shù)。 比如，通常用 8比特來代表一個(gè)像素，而現(xiàn)在用 12比特來表示一個(gè)像素，這寶雞文理學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 20 樣就可以減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象發(fā)生的機(jī)會(huì)，從而減少灰度層次的損失。另外，采用灰度間隔放大理論的直方圖修正方法也可以減少簡(jiǎn)并現(xiàn)象。這種灰度間隔放大可以按照眼睛的對(duì)比度靈敏特性和成像系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)范圍進(jìn)行放大。一般實(shí)現(xiàn)方法采用如下幾步： （ 1）統(tǒng)計(jì)原始圖像的直方圖； （ 2）根據(jù)給定的成像系統(tǒng)的最大動(dòng)態(tài)范圍和原始圖像的灰度級(jí)來確定處理 后的灰度級(jí)間隔； （ 3）根據(jù)求得的步長(zhǎng)來求變換后的新灰度； （ 4）用處理后的新灰度代替處理前的灰度。 直方圖規(guī)定化 直方圖均衡化是以累計(jì)分布函數(shù)變換法為基礎(chǔ)的直方圖修正技術(shù)，使得變換后的灰度概率密度函數(shù)是均勻分布的，因此，它不能控制變換后的直方圖而交互性差。這樣，在很多特殊的情況下，需要變換后圖像的直方圖具有某種特定的曲線，例如對(duì)數(shù)和指數(shù)等，直方圖規(guī)定化可以解決這一問題。 直方圖規(guī)定化方法如下：假設(shè) )(krP 是原始圖像分布的概率密度函數(shù)， )(zpz是希望得到的圖像的概率密度函數(shù)。 先對(duì)原始圖像進(jìn)行直方圖均衡化處理，即： ??? r r dvvprTs 0 )()( () 假定已經(jīng)得到了所希望的圖像，并且它的概率密度函數(shù)是 )(zpz 。對(duì)該圖像也做均衡化處理，即： ??? z z dvvpzGu 0 )()( () 由于對(duì)于這兩幅圖像，同樣作了均衡化處理，所以他們具有同樣的均勻密度。其中（ ）的逆 過程為 )(1 UGz ?? ，則如果用從原始圖像中得到的均勻灰度級(jí) S來代替逆過程中的 u，其結(jié)果灰度級(jí)將是所要求的概率密度函數(shù) )(zpz 的灰度級(jí)： )()( 11 sGuGz ?? ?? () 根據(jù)以上思路，可以總結(jié)出直方圖規(guī)定化增強(qiáng)處理的步驟如下： 寶雞文理學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 21 （ 1） 將原始圖像進(jìn)行均衡化處理； （ 2） 規(guī)定希望的灰度概率密度函數(shù)，用 （ ） 式計(jì)算它的累計(jì)分布函數(shù)G(z)； （ 3）將逆變換函數(shù) )(1 sGz ?? 用到步