【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (Ray Tracing)的算法。頭相關(guān)函數(shù)用人頭錄音方式記錄了不同方向聲源在人耳處的沖擊響應(yīng)，將聲音和頭相關(guān)函數(shù)卷積，就可以得到來自該方向的聲音?；诠饩€追蹤算法的虛擬聽覺采用光線追蹤來模擬聲音的傳播，通過計(jì)算可以得到聲音從聲源 經(jīng)過場(chǎng)景的反射、衍射、折射 到聽者的房間 BRIR 響應(yīng)。 由于聲場(chǎng)的波長(zhǎng)比場(chǎng)景中障礙物的尺寸大，所以使用這樣的方法計(jì)算散射是合適的 [2]。 上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 6 圖 11 HRTF 數(shù)據(jù)以及計(jì)算出的 BRIR 頭部跟蹤 頭部跟蹤系統(tǒng)的應(yīng)用十分廣泛，它可以用來捕捉人頭部的運(yùn)動(dòng)，近年來在游戲、虛擬現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的角色。其實(shí)現(xiàn)主要有基于光學(xué)和基于捷聯(lián)慣導(dǎo)算法兩種方式。基于光學(xué)的方式比起捷聯(lián)慣導(dǎo)方式的優(yōu)勢(shì)在于可以檢測(cè)到頭部的 平動(dòng)，而捷聯(lián)慣導(dǎo)方式只可以檢測(cè)到頭部轉(zhuǎn)動(dòng)。不過光學(xué)方式需要高速 紅外攝像頭，實(shí)現(xiàn)成本很大，同時(shí)實(shí)時(shí)性并不好。鑒于本系統(tǒng)用于虛擬聽覺，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)要求高，平動(dòng)部分可以使用鍵盤控制，所以我們將使用捷聯(lián)慣導(dǎo)算法來實(shí)現(xiàn)頭部跟蹤系統(tǒng)。 為了對(duì)傳感器數(shù)據(jù)濾波，本系統(tǒng)中使用的是 DCM 互補(bǔ)濾波 [3]方法 ，雖然 Kalman 濾波 [20]方法可能會(huì)有更好的效果，不過考慮到在單片機(jī)中計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度，而且兩者實(shí)際效果差距相似，所以我們使用互補(bǔ)濾波方法。 圖 12 頭部跟蹤系統(tǒng) 上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 7 人類聽覺在水平面上可以對(duì)聲源做非常準(zhǔn)確的定位，因?yàn)樗矫嫔喜粏螁问且揽繂味鷣泶_定位置，而是依靠雙耳的時(shí)間差 ITD、強(qiáng)度差 ILD 來定位。而確定仰角時(shí)只能依靠單耳信息，也就是人頭部、身體、外耳廓對(duì)聲音頻譜的濾波作用，所以是不準(zhǔn)確的 [1]。由于人類對(duì)水平方位感知更明顯，在頭部跟蹤系統(tǒng)中我們著重考慮水平方向的精度。在水平面上，人類對(duì)聲音角度 感知的最小值是 1176。左右，少于 1176。的角度變換人類無法察覺。本系統(tǒng)的精度在水平方向是 12176。，所以是符合虛擬聲音對(duì)頭部跟蹤的要求的。 上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 8 第二章 頭部跟蹤系統(tǒng)設(shè)計(jì) 頭部跟蹤作用與原理 在虛擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中，如果可以知道用戶頭部的轉(zhuǎn)動(dòng)姿態(tài)，根據(jù)這些信息調(diào)整虛擬現(xiàn)實(shí)中場(chǎng)景聲音的生產(chǎn)，使用戶的獲得更真實(shí)的感受。 圖 21 頭部跟蹤在虛擬聽覺中的作用 如果沒有頭部跟蹤，用戶頭部旋轉(zhuǎn)了 90 度，虛擬聲源的位置也會(huì)隨之旋轉(zhuǎn) 90 度；而如果加上頭部跟蹤系統(tǒng)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可以將聲源位置反向旋轉(zhuǎn)同樣角度，這樣，聲音對(duì)于用戶依然保持 在同一位置。 圖 22 頭部的轉(zhuǎn)動(dòng) 頭部跟蹤系統(tǒng)的本質(zhì)是通過傳感器來檢查頭部在 X, Y, Z 三軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)角 Roll ，Pitch , Yaw。使用加速度傳感器可以檢測(cè)到重力的方向，有了重力的方向，我們就可以用之計(jì)算出 Roll 和 Pitch 信息；使用地磁傳感器可以檢測(cè)出地磁場(chǎng)的方向，使用地磁信息，我們可以計(jì)算出 Yaw 方向的數(shù)值。不過由于無論是重力計(jì)還是地磁計(jì)，它的響應(yīng)速度都是較慢的，為了糾正他們的數(shù)據(jù)，還需要使用陀螺儀來檢測(cè)角速度。使用角速度信息來加快姿態(tài)調(diào)整。傳感器數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，如何更好地融合加速度計(jì)、地磁計(jì)和陀螺儀的數(shù)據(jù)計(jì)算上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 9 出準(zhǔn)確的姿態(tài)是亟待解決的問題，這就需要 DCM 互補(bǔ)濾波器。 DCM 互補(bǔ)濾波器設(shè)計(jì) 傳感器輸入數(shù)據(jù)不穩(wěn)定，為了得到穩(wěn)定的結(jié)果，需要融合不同的傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。 DCM 矩陣 首先，我們需要定義 2 個(gè)坐標(biāo)系： 地理坐標(biāo)系：真實(shí)世界所在的坐標(biāo)系。重力向量為（ 0,0,1g），地磁向量是（ 0,1,x）兩個(gè)三維向量 ,對(duì)于地磁我們不關(guān)心其垂直分量。 頭部坐標(biāo)系：上面有加計(jì)、陀螺、電子羅盤傳感器，三個(gè)三維向量。 圖 23 兩個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換 方向余弦矩陣 (Direction Cosine Matrix)是表示從坐標(biāo)系 OXYZ到坐標(biāo)系 Oxyz 變換的矩陣，使用它，我們可以實(shí)現(xiàn)地理坐標(biāo)系與頭部坐標(biāo)系這兩個(gè)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換。 如上圖所示，這是一個(gè) 3 維空間中的坐標(biāo)系變化。在我們的系統(tǒng)中， OXYZ 是世界坐標(biāo)系， Oxyz 是頭部跟蹤系統(tǒng)所在的局部坐標(biāo)系。使用 DCM 的目的也就是將坐標(biāo)從世界坐標(biāo)系變換到頭部坐標(biāo)系，以便進(jìn)行姿態(tài)計(jì)算。 設(shè) X, Y, Z 為世界坐標(biāo)系中的 3 個(gè)單位向量： ⑴ 上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 10 設(shè) x, y, z 是局部坐標(biāo)系中的 3 個(gè)單位向量： ⑵ 在全局坐標(biāo)中： ⑶ 則： ⑷ 其中 是 X 和 的夾角。 所以有： ⑸ ??????????321321321c o sc o sc o sc o sc o sc o sc o sc o sc o s????????? 即為 DCM 矩陣，表示從世界坐標(biāo)系到頭部局部坐標(biāo)系的變換。 且有。 互補(bǔ)濾波器設(shè)計(jì) 圖 24 互補(bǔ)濾波示意圖 為了準(zhǔn)確融合加速度、地磁、角速度三個(gè)傳感器的結(jié)果，我們需要使用互補(bǔ)濾波器。這樣做有 2 個(gè)好處： 高通濾波器可以抑制陀螺儀低頻漂移 低通濾波器可以很好的抑制加速度計(jì)的噪聲 也就是說，加計(jì)和地磁傳感器在長(zhǎng)久來看是很準(zhǔn)確的，而陀螺儀在短時(shí)間內(nèi)是很準(zhǔn)確???????????????????????????????zyxzyx321321321coscoscoscoscoscoscoscoscos39。39。39。?????????上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 11 的，結(jié)合二者數(shù)據(jù)，可以得到較優(yōu)的結(jié)果。 偽代碼： angle = (K)*(angle + gyro * dt) + (1K)*(x_acc)。 上述偽代碼即為互補(bǔ)濾波器融合加計(jì)和陀螺儀數(shù)值的簡(jiǎn)單例子。 IMU 計(jì)算方程 IMU(Inertial measurement unit, 慣性測(cè)量單元 )是用于姿態(tài)解算的單元。姿態(tài)解算運(yùn)算中需要用到大量的旋轉(zhuǎn)操作，所以選擇合適的旋轉(zhuǎn)方式對(duì)系統(tǒng)的計(jì)算十分重要。 旋轉(zhuǎn)的表示方式 常用的選擇表示方法有：旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角、四元數(shù)。旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角、四元數(shù)主要用于 :向量的旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換、方位的平滑插值計(jì)算。 表 21 各旋轉(zhuǎn)表示方法比較 任務(wù) /性質(zhì) 旋轉(zhuǎn)矩陣 歐拉角 四元數(shù) 在坐標(biāo)系間 (物體和慣性 )旋轉(zhuǎn)點(diǎn) 能 不能 (必須轉(zhuǎn)換到矩陣 ) 不能 (必須轉(zhuǎn)換到矩陣 ) 連接或增量旋轉(zhuǎn) 能 ,但經(jīng)常比四元數(shù)慢 ,小心矩陣蠕變的情況 不能 能 ,比矩陣快 插值 基本上不能 能 ,但可能遭遇萬向鎖或其他問題 Slerp 提供了平滑插值 易用程度 難 易 難 在內(nèi)存或文件中存儲(chǔ) 9 個(gè)數(shù) 3 個(gè)數(shù) 4 個(gè)數(shù) 對(duì)給定方位的表達(dá)方式是否唯一 是 不是 ,對(duì)同一方位有無數(shù)多種方法 不是 ,有兩種方法 ,它們互相為共軛 可能導(dǎo)致非法 矩陣蠕變 任意三個(gè)數(shù)都能構(gòu)成合法的歐拉角 可能會(huì)出現(xiàn)誤差積累 ,從而產(chǎn)生非法的四元數(shù) 上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 12 歐拉角顯然是最直接的方式，與人類對(duì)旋轉(zhuǎn)的感知最為接近，但是歐拉角會(huì)出現(xiàn)萬向鎖這樣的問題，即三軸系統(tǒng)中由于其中一軸旋轉(zhuǎn) 90 度導(dǎo)致?lián)p失一軸的自由度，三軸系統(tǒng)的自由度退化為 2 軸。也就是說： 當(dāng)任意一軸旋轉(zhuǎn) 90176。的時(shí)候會(huì)導(dǎo)致該軸同其他軸重合，此時(shí)旋轉(zhuǎn)被重合的軸 無法產(chǎn)生 任何效果，這就是 萬向鎖 (Gimbal Lock)。 圖 25 萬向鎖 作為旋轉(zhuǎn)變換，矩陣是必要的，可以把四元數(shù)或歐拉角作為主數(shù)據(jù)，同時(shí)維護(hù)一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣，當(dāng)四元數(shù)或歐拉角變化時(shí)更新矩陣。歐拉角雖然占用更少的內(nèi)存 (比四元數(shù)少 1/4)，但是轉(zhuǎn)換到矩陣的時(shí)間要比四元數(shù)更慢一些。 平滑的插值只能用四元數(shù)完成。直接用歐拉角插值會(huì)產(chǎn)生奇怪的轉(zhuǎn)動(dòng)。 綜上考慮，我們選擇四元數(shù)作為旋轉(zhuǎn)的表示方式，因?yàn)樗脑獢?shù)插值方便、沒有萬向鎖問題、運(yùn)算速度較快。 四元數(shù) 四元數(shù)是由哈密頓在 1843 年愛爾蘭發(fā)現(xiàn)的。當(dāng)時(shí)他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次（復(fù)數(shù)可視為平面上的點(diǎn)）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數(shù)。根據(jù)哈密頓記述，他于 10 月 16 日跟他的妻子在都柏林的皇家運(yùn)河（ Royal Canal）上散步時(shí)突然想到的方程 解。之后哈密頓立刻將此方程刻在附近布魯穆橋（ Brougham Bridge，現(xiàn)稱為金雀花橋 Broom Bridge）。這條方程放棄了交換律，是當(dāng)時(shí)一個(gè)極端的想法（那時(shí)還未發(fā)展出向量和矩陣） [4]。 四元數(shù) 常見于控制論、信號(hào)處理、姿態(tài)控制， 用來表示旋轉(zhuǎn)和方位。這是由于四元數(shù)轉(zhuǎn)換組合比很多矩陣轉(zhuǎn)換組合在數(shù)字上更穩(wěn)定。 四元數(shù)一般定義如下： 上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 13 ⑹ 其中 w,x,y,z 是實(shí)數(shù)。同時(shí)，有 : 四元數(shù)也可以表示為： 其中 v=(x,y,z)是矢量， w 是標(biāo)量，雖然 v 是矢量。 當(dāng)用一個(gè)四元數(shù)乘以一個(gè)向量時(shí)，實(shí)際上就是讓該向量圍繞著這個(gè)四元數(shù)所描述的旋轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四元數(shù)所描述的角度而得到的向量。 四元數(shù)加法： ⑺ 四元數(shù)取模： ⑻ 四元數(shù)乘法： ⑼ 四元數(shù)共軛： ⑽ 四元數(shù)倒數(shù)： ⑾ 對(duì)于四元數(shù)，我們最重要的是用是用它來旋轉(zhuǎn)一個(gè)向量，假設(shè)有一個(gè)用四元數(shù)表示的旋轉(zhuǎn)為： ，有一個(gè)向量 ，則經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果 為： ⑿ 其中 q*為四元數(shù) q 的共軛四元數(shù)， 是轉(zhuǎn)動(dòng)角度。 有了四元數(shù)，如果應(yīng)用于變換，我們還需要將四元數(shù)轉(zhuǎn)化成相對(duì)應(yīng)的矩陣。把上述的上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 14 表示為 ，則有 ⒀ 上式在其次坐標(biāo)下可以簡(jiǎn)化為： ⒁ 當(dāng) N(q)=1 時(shí)，上式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： ⒂ 由傳感器數(shù)值與四元數(shù) 我們可以獲取到地磁、加速度計(jì)和陀螺儀的數(shù)值，根據(jù)這些數(shù)值我們可以實(shí)時(shí)更新四元數(shù)方程，使四元數(shù)表示的方位與頭部所在的姿態(tài)保持一致。 首先，我們需要根據(jù)之前計(jì)算出的四元數(shù)來反算出前一時(shí)刻頭部所在的姿態(tài)的重力方向，然后，計(jì)算此時(shí)傳感器得到的重力信息和前一時(shí)刻的差，更新四元數(shù)。 ⒃ 上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 15 上述公式即為由前一狀態(tài)四元數(shù)計(jì)算出重 力參考方向。 Vx, Vy, Vz 分別為重力在三軸的分量。這個(gè)公式來自從 中的： ⒄ 重力向量就是 Q 的第三行。 與重力一樣，我們也需要計(jì)算地磁場(chǎng)的參考方向，并且依據(jù)地磁的方向來更新 Yaw 方向的四元數(shù)。地磁參考方向計(jì)算如下： ⒅ mx,my,mz 是地磁傳感器得到的數(shù)值的歸一化表示， hx,hy,hz 是計(jì)算出來的地磁參考方向。由于我們并不關(guān)心地磁垂直方向的量，所以把地磁的 y 軸和 x 軸做了融合，得到新的參考方向 bx,bz。 之后是由上一時(shí)刻四元數(shù)表示的方向計(jì)算地磁的方向： ⒆ 上公式依舊來源于 中的 有了重力和地磁的參考方向，我們可以計(jì)算出傳感器得到的方向與場(chǎng)的方向間的差值，上 海 大 學(xué) 畢 業(yè) 論 文 （設(shè) 計(jì)） 16 這種求差值本質(zhì)上是進(jìn)行了一次向量叉乘運(yùn)算： ⒇ 其中， 是傳感器和場(chǎng)方向的差， 是加速度計(jì)數(shù)值， 是重力場(chǎng)參考方向， 是地磁計(jì)數(shù)值， 是地磁場(chǎng)參考方向。將向量展開成分量，則有： 最后，我們需要把陀螺儀的數(shù)值融合到誤差 E 中，對(duì) E 做一些 PID 控制，使結(jié)果更加平滑準(zhǔn)確。 gx = gx + IMU_Kp*ex + exInt。 gy = gy + IMU_Kp*ey + eyInt。 gz = gz + IMU_Kp*ez + ezInt。 上述偽代碼中的 gx,gy,gz 即是陀螺儀的三軸的數(shù)值，與上面的 E 相融合以后，就可以使用在四元數(shù)微分方程里來更新四元數(shù)了。 四元數(shù)微分方程 數(shù)值分析中，龍格－庫(kù)塔法（ RungeKutta）是用于模擬常微分方程的解的重要的一類隱式或顯式迭代法。這些技術(shù)由數(shù)學(xué)家卡爾 龍格和馬丁 威爾海姆 庫(kù)塔于 1900 年左右發(fā)明 [5]。 下面舉一個(gè)具體例子來說明龍格庫(kù)塔方法。 令初值問題表述如： 則