v跳過程引論(金融隨機(jī)分析-南京理工大學(xué),陳萍)(編輯修改稿)
2025-01-20 09:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ? ? ? ? ? ? ? ?0X t X I t R t J t? ? ? ?跳過程 連續(xù)部分： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?000 ( 0)ttcX t X I t R t X s ds s dW s? ? ? ? ? ? ? ???J(t)適應(yīng)的右連續(xù)純跳過程 — 右連續(xù)且在接連兩次跳之間取常數(shù)值。如泊松過程或復(fù)合泊松過程。 18 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?X t X t X t J t J t? ? ? ? ? ? ?記 Φ關(guān)于 X的積分定義為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 0 00t t tsts dX s s s dW s s s dsJs??? ? ? ? ? ? ???? ? ??寫成微分形式為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ct dX tt dX s t dI t t dR t t dJ tt t dW t t R t dt t dJ t?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?() 19 例 設(shè) X(t)=M(t)=N(t)λt, 其中 N(t)是強(qiáng)度為 λ的泊松過程，設(shè) Ф(s)=ΔN(s), 則 ? ? ? ? ? ?000ttcs dX s s ds?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? 200()tsts dN s N s N t??? ? ? ???因此 ? ? ? ?0()ts dX s N t???注：與 Ito積分不同，此積分結(jié)果不是鞅！ 20 定理 假定 ()中的跳過程 X(t)是鞅，被積式 Ф(s)是左連續(xù)適應(yīng)過程，并且 ? ? ? ?2200tE s s ds t? ? ? ? ? ??則隨機(jī)積分 也是鞅。 ? ? ? ?0ts dX s??證明參見嚴(yán)加安 《 隨機(jī)分析選講 》 。 注：由于 X(t)的右連續(xù)性，由 ()可見， ? ? ? ?0ts dX s??關(guān)于積分上限 t也是右連續(xù)的。 21 例 設(shè) M(t)=N(t)λt, 其中 N(t)是強(qiáng)度為 λ的泊松過程，設(shè) Ф(s)=I [0,S1](s), 截至首次發(fā)生跳的時刻， Ф取值為 1，之后 Ф恒為 Ф是左連續(xù)的，我們有 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?111101,01tst t Ss dM sS t SI t t S????? ? ???? ????? ? ??可證，此積分結(jié)果是鞅。 二次變差 22 取 010 nt t t T? ? ? ? ?記 ? ? ? ?0 1 1, , , , m a xn j j jt t t t t?? ? ? ? ?定義 ? ? ? ? ? ?? ?1 210njjjQ X X t X t???????X的二次變差定義為： ? ? ? ? ? ?0, l imX X T Q X????兩個跳過程 X1與 X2的交互變差定義為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 2 1 2011 1 1 2 1 200, l im ,l imnj j j jjX X T C X XX t X t X t X t??????????? ? ?23 定理 設(shè) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 10X t X I t R t J t? ? ? ?其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 100,ttI t s dW s R t s ds? ? ? ???? ?1Jt是右連續(xù)純跳過程。則 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 10cX t X I t R t? ? ?并且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 1 1 1 1221100, , ,ccTsTX X T X X T J J Ts ds J s????????? ? ? ???進(jìn)一步， () 24 設(shè)另一跳過程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 20X t X I t R t J t? ? ? ?其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 200,ttI t s dW s R t s ds? ? ? ???? ?2Jt是右連續(xù)純跳過程。則 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 20cX t X I t R t? ? ?并且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 21 2 1 200, , ,ccTsTX X T X X T J J Ts s ds J s J s????????? ? ? ? ???() 25 利
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