v跳過程引論(金融隨機分析-南京理工大學,陳萍)(已修改)
2025-01-10 09:58 本頁面
【正文】 V 跳過程引論 教師 : 陳 萍 1 Poission過程 2 計數(shù)過程 定義 稱一個隨機過程 是一個 計數(shù) 過程(point process),若 N(t) 滿足 : { ( ) , 0 }N t t ?1) N(t)取非負整數(shù)值； 4）若 st,則 N(t)N(s)等于區(qū)間 (s,t] 中“事件”發(fā)生的次數(shù) . 3 Poission過程的定義 背景 :考慮在時間間隔 (0,t]中某保險公司收到的某類保險的理賠次數(shù) N(t),它是一個計數(shù)過程 .此類過程有如下特點 : (1)零初值性 ： N（ 0） =0； (4)獨立增量性 ：在不同的時間區(qū)段內(nèi)的理賠次數(shù)彼此獨立； (3)平穩(wěn)增量性 :在同樣長的時間區(qū)段內(nèi)理賠次數(shù)的概率規(guī)律是一樣的 。 (4)普通性 :在非常短的時間區(qū)段 Δ t內(nèi)的理賠次數(shù)幾乎不可能超過 1次 ,且發(fā)生 1次理賠的概率近似與 Δt成正比 . 4 定義 數(shù)過程 {N(t),t?0}稱為具有參數(shù) (或強度 ) 的 Poission過程 (或 Poission 流 )，如果 1） N(0)=0 。 2）具有獨立增量性 。 3）滿足增量平穩(wěn)性 。 4）對于任意 t0和充分小的 ，有 其中 為 的高階無窮小。 λ又稱 為 Poission過程的強度系數(shù) )0( ???0??t??? ?????? ???????? )(]2)()([ ),(]1)()([ totNttNP tottNttNP ?)(to?t?易見 ， Poission過程是一個 Levy過程。 5 定理 若 {N(t),t?0}為 Poission過程 ， 則 st??? ?? ? ? ?( ( ) ( ) ) ,!ktstsP N t N s k e k Nk?? ???? ? ? ? ?? ?? ?( ) ( ) ~N t N s P t s???利用 定理 ,可得到 Poission過程的等價定義 :即 定義 計數(shù)過程 {N(t),t?0}稱為具有參數(shù) (或強度 ) λ 的 Poission過程，如果 1） N(0)=0 ， 4）具有獨立增量性， 3） ? ?? ?, ( ) ( ) ~s t N t N s P t s?? ? ? ?此即 到達時間間隔與到達時刻的分布 1? ? ?010inf : , ( ) , 1kk t t N t k k??? ??? ? ? ?6 設(shè) {N(t),t?0}為泊松過程 ， N(t)表示在 [0,t]內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù) ， 令 ， 表示第 k個事件發(fā)生的時刻 。 表示第 k1個事件與第 k個事件發(fā)生的時間間隔 ， 即 k?0 0? ? 1k k kT ?? ???先討論到達時間間隔 的 Tk分布 . 2? 3?4?1T2T3T7 定理 到達時間間隔序列 相互獨立同分布，且服從參數(shù)為 λ的指數(shù)分布 . 1 , 1 , 2 ,k k kTk?? ?? ? ?定理 Poisson過程的參數(shù)估計 ,假設(shè)檢驗及軌道模擬方法 . 定理 若計數(shù)過程 {N(t),t?0}的到達時間間隔序列 是相互獨立同參數(shù)為 λ的指數(shù)分布 ， 則 {N(t),t?0}是參數(shù)為 λ的泊松過程 . Poission過程的又一等價定義 { , 1}nTn ??要檢驗 {N(t),t?0}是否為 Poisson過程 ,可轉(zhuǎn)化為檢驗相鄰兩次跳躍間隔時間 {Tn= tn –tn1, n?1}是否為指數(shù)分布總體的 樣本 . 8 ?參數(shù) λ的 極大似然估計 : 一般地 , 若從 0時刻開始 , 觀察到 Poisson過程 {N(t),t?0}的一段樣本軌道 :τ1,…, τn的取值 : t1t2,…,t n , 由于 , τ1 , τ2 τ1,…, τ n τn1獨立同指數(shù)分布 , 于是似然函數(shù)為 ? ?? ?nniii tnttnn eettL???? ?????? ??01,. ..1令 ln00dL d Lordd????得 λ的極大似然估計為 : nnt? ?9 定理 的概率密度函數(shù)為 1( 0 )()( ) .( 1 ) !nntttf t en???? ?? ??? ?n? ? ??,n????證明 ?定理 Poisson過程的 參數(shù) λ的區(qū)間估計法 : 根據(jù)定理 , 的概率密度函數(shù)為 2 n??備查 ： 1） 的特征函數(shù)為 ( ) (1 ) nit t?? ???? ?,n ??分布函數(shù)為： ? ?? ?100( ) 1!knxxkxF x ek? ? ??????????????10 取置信度為
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