【文章內(nèi)容簡介】 ＝ y0 y1 y2 … yn 則 [x]原 ?[y]原 ＝ x0⊕ y0 ?( x1 x2 … xn)?( y1 y2 … yn) 記： x*＝ x1 x2 … xn ， y*＝ y1 y2 … yn 原碼一位乘法運(yùn)算規(guī)則： (1)乘積的符號由兩原碼符號的異或運(yùn)算結(jié)果決定； (2)乘積的數(shù)值部分由兩數(shù)絕對值相乘，其通式為： x*?y*＝ 21(y1x*+21(y2x*+21(y3x*+21(…+2 1(yn1x*+21(yn+0))…))) 令 zi表示第 i次部分積，則上式可表示成遞推公式： z0＝ 0 z1＝ 21(ynx*＋ z0) z2＝ 21(yn1x*＋ z1) …… zi＝ 21(yni+1x*＋ zi1) …… zn＝ 21(y1x*＋ zn1) 計算機(jī)組成原理 37 定點(diǎn)原碼乘法運(yùn)算部件 在計算機(jī)內(nèi)實(shí)現(xiàn)原碼乘法的邏輯框圖如圖 32所示。其中三個寄存器 A， B， C分別存放部分積、被乘數(shù)和乘數(shù)，ALU主要完成加法運(yùn)算，移位寄存器對求和結(jié)果移位，生成新的部分積，計數(shù)器記錄移位次數(shù)。運(yùn)算方法描述如下： ⑴在機(jī)器內(nèi)多個數(shù)據(jù)一般不能同時相加，一次加法操作只能求出兩數(shù)之和，因此每求得一個相加數(shù)，就與上次部分積相加。 A→ALU,B→ALU信號控制 A、 B兩個寄存器的數(shù)送運(yùn)算器 ALU進(jìn)行相加。 ⑵人工計算時，相加數(shù)逐次向左偏移一位，由于最后的乘積位數(shù)是乘數(shù)（或被乘數(shù)）的兩倍，如按此法在機(jī)器中運(yùn)算，加法器也需增到兩倍。觀察計算過程很容易發(fā)現(xiàn)，在求本次部分積時，前一次部分積的最低位，不再參與運(yùn)算，因此可將前一次部分積的最低位右移一位，移入寄存器 C中，相加數(shù)可直送而不必偏移，于是用 N位加法器就可實(shí)現(xiàn)兩個N數(shù)相乘。 計算機(jī)組成原理 38 ⑶ 部分積右移時，乘數(shù)寄存器 C同時右移一位（由 C/2→C信號實(shí)現(xiàn)），這樣可以用乘數(shù)寄存器的最低位來控制相加數(shù)（取被乘數(shù)或零），同時乘數(shù)寄存器的最高位可接收部分積右移出來的一位，因此，完成乘法運(yùn)算后， A寄存器中保存乘積的高位部分，乘數(shù)寄存器中保存乘積的低位部分。 圖 32 計算機(jī)組成原理 39 定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算 設(shè)被乘數(shù) [x]補(bǔ) ＝ x0 .x1 x2 … xn ，乘數(shù) [y]補(bǔ) ＝ y0 .y1 y2 … yn 1．當(dāng)乘數(shù) y為正數(shù)時 [x]補(bǔ)＝ x0 .x1 x2 … xn ＝ 2 + x = 2n+1 + x（ mod 2） [y]補(bǔ)＝ y2 … yn ＝ y 則 [x]補(bǔ) ?[y]補(bǔ)＝ [x]補(bǔ) ?y＝ (2n+1+x)y＝ 2n+1y + xy 由于 y＝ y2 … yn ，則，且是一個大于或等于 1的正整數(shù)，根據(jù)模運(yùn)算的性質(zhì)， 2n+1y=2（ mod 2），故： [x]補(bǔ) ?[y]補(bǔ)＝ 2n+1y+xy＝ 2+xy＝ [xy]補(bǔ) 即 [xy]補(bǔ)＝ [x]補(bǔ) ?[y]補(bǔ)＝ [x]補(bǔ) ?y 計算機(jī)組成原理 40 當(dāng)乘數(shù) y為正數(shù)時，可按原碼的規(guī)則運(yùn)算。運(yùn)用遞推公式： [z0]補(bǔ)＝ 0 [z1]補(bǔ)＝ 21(yn[x]補(bǔ)＋ [z0]補(bǔ) ) [z2]補(bǔ)＝ 21(yn1[x]補(bǔ)＋ [z1]補(bǔ) ) …… [zi]補(bǔ)＝ 21(yni+1[x]補(bǔ)＋ [zi1]補(bǔ) ) …… [zn]補(bǔ)＝ 21(y1[x]補(bǔ)＋ [zn1]補(bǔ) ) [xy]補(bǔ)＝ [zn]補(bǔ) 計算機(jī)組成原理 41 2．當(dāng)乘數(shù) y為負(fù)數(shù)時 [x]補(bǔ)＝ x0 .x1 x2 … xn [y]補(bǔ)＝ y2 … yn ＝ 2＋ y（ mod 2） 則 y＝ [y]補(bǔ)－ 2＝ y2 … yn － 2＝ y2 … yn － 1 xy＝ x( y2 … yn － 1) ＝ x( y2 … yn) － x 故 [xy]補(bǔ)＝ [x( y2 … yn) － x]補(bǔ)＋ [x]補(bǔ) 由此可得，當(dāng)乘數(shù) y為負(fù)數(shù)時，把乘數(shù)的補(bǔ)碼 [y]補(bǔ)去掉符號位，當(dāng)成一個正數(shù)與 [x]補(bǔ)相乘，然后再加上一個 [x]補(bǔ)進(jìn)行校正，運(yùn)用遞推公式表示時： [z0]補(bǔ)＝ 0 [z1]補(bǔ)＝ 21(yn[x]補(bǔ)＋ [z0]補(bǔ) ) [z2]補(bǔ)＝ 21(yn1[x]補(bǔ)＋ [z1]補(bǔ) ) …… [zi]補(bǔ)＝ 21(yni+1[x]補(bǔ)＋ [zi1]補(bǔ) ) …… [zn]補(bǔ)＝ 21(y1[x]補(bǔ)＋ [zn1]補(bǔ) ) [xy]補(bǔ)＝ [zn]補(bǔ)＋ [x]補(bǔ) 比較上述兩組遞推式子，乘數(shù)為負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼乘法與乘數(shù)為正數(shù)時完全類似，只需最后加上一項校正項 [x]補(bǔ)即可。 計算機(jī)組成原理 42 思考 ：結(jié)合定點(diǎn)原碼一位乘法運(yùn)算的邏輯電路圖，請設(shè)計出定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法運(yùn)算的邏輯電路圖。 計算機(jī)組成原理 43 定點(diǎn)原碼一位除法運(yùn)算 通過分析，可以得出筆算除法的特點(diǎn)： (1)每次上商 0或 1靠心算； (2)每做一次減法，余數(shù)不動，低位補(bǔ) 0，再減去右移后的除數(shù)； (3)商的符號單獨(dú)處理。 如果讓計算機(jī)按筆算除法運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)乘法運(yùn)算就會凸現(xiàn)以下主要缺點(diǎn)： (1)機(jī)器不能“心算”上商，必須靠比較（做減法判斷符號位）； (2)用左移余數(shù)代替右移除數(shù)后，得到的余數(shù)不是真正的余數(shù)； (3)上商的寫入順序問題，應(yīng)寫入寄存器的最低位，然后左移； 計算機(jī)組成原理 44 以小數(shù)為例： 設(shè) [x]原 ＝ x0 .x1 x2 … xn [y]原 ＝ y0 .y1 y2 … yn [x/y]原 ＝ (x0⊕ y0)( x2 … xn/ y2 … yn) 記 x*＝ x2 … xn y*＝ y2 … yn 小數(shù)點(diǎn)定點(diǎn)除法對被除數(shù)和除數(shù)有一定的約束： 0＜ |被除數(shù) |≤|除數(shù) | 同時應(yīng)避免除數(shù)或被除數(shù)為 0。 下面對恢復(fù)余數(shù)法和加減交替法作簡單介紹。 計算機(jī)組成原理 45 1．恢復(fù)余數(shù)法 特點(diǎn)：當(dāng)余數(shù)為負(fù)時，需加上除數(shù)，恢復(fù)成原余數(shù)。 2．加減交替法 恢復(fù)余數(shù)法有一個明顯的缺點(diǎn)，當(dāng)某一次 Y的查值為負(fù)是，要多一次＋ Y恢復(fù)余數(shù)的操作，降低了執(zhí)行速度，又使控制線路變得復(fù)雜，因此計算機(jī)中普遍采用加減交替法來實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算。加減交替法實(shí)現(xiàn)原理如下： 當(dāng)余數(shù) Ri0時，上商“ 1”，再對 Ri左移一位后減除數(shù)，即 2Riy*； 當(dāng)余數(shù) Ri0時，上商“ 0”，先做 Ri+y*（恢復(fù)余數(shù)），再做 2(Ri+y*)y*,即 2Ri+y*，即可用 2Ri177。 y*實(shí)現(xiàn)。 計算機(jī)組成原理 46 1．商值的確定 比較被除數(shù)（余數(shù)）和除數(shù)的大小，然后確定商值。 （ 1）比較被除數(shù)（余數(shù)）和除數(shù)的大小方法 當(dāng)被乘數(shù)與除數(shù)同號時，作減法；若得到的余數(shù)與除數(shù)同號，則表示“夠減”，否則表示“不夠減”； 當(dāng)被乘數(shù)與除數(shù)異號時，作加法；若得到的余數(shù)與除數(shù)異號，則表示“夠減”，否則表示“不夠減”； （ 2）商值確定 當(dāng) [x]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)同號，商為正，“夠減”時上商“ 1”，“不夠減”時上商“ 0”（按原碼規(guī)則）； 當(dāng) [x]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)異號，商為負(fù)，“夠減”時上商“ 0”，“不夠減”時上商“ 1”（按反碼規(guī)則）； 計算機(jī)組成原理 47 [x]補(bǔ)與 [y]補(bǔ) 商 [R]補(bǔ)與 [y]補(bǔ) 商值 同號 正 同號，表示“夠減” 1 異號，表示“不夠減” 0 異號 負(fù) 異號，表示“夠減” 0 同號，表示“不夠減” 1 表 32 商的確定 表 33 簡化的商值確定 [R]補(bǔ)與 [y]補(bǔ) 商值 同號 1 異號 0 計算機(jī)組成原理 48 2．商符的形成 （ 1） 商符在求商過程中自動形成。 在小數(shù)定點(diǎn)除法中，被除數(shù)的絕對值應(yīng)小于除數(shù)的絕對值，以避免商大于 1，因此： 當(dāng) [x]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)同號時， [x]補(bǔ)－ [y]補(bǔ)得到的余數(shù) [R0]補(bǔ)必與 [y]補(bǔ)異號，商上“ 0”，恰好與商的符號（正）一致； 當(dāng) [x]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)異號時， [x]補(bǔ)＋ [y]補(bǔ)得到的余數(shù) [R0]補(bǔ)必與 [y]補(bǔ)同號，商上“ 1”，也與商的符號（負(fù)）一致； （ 2） 商的符號可用于判斷商是否溢出。例如： 當(dāng) [x]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)同號時，若 [R0]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)同號，上商“ 1”，即溢出； 當(dāng) [x]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)異號時，若 [R0]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)異號，上商“ 0”，即溢出； 計算機(jī)組成原理 49 3．新余數(shù) [Ri+1]補(bǔ)的獲得 法則： ? 當(dāng) [R0]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)同號時，上商“ 1”，新余數(shù)： [Ri+1]補(bǔ)＝ 2[Ri]補(bǔ)－ [y]補(bǔ)＝ 2[Ri]補(bǔ)＋ [y]補(bǔ) ? 當(dāng) [R0]補(bǔ)與 [y]補(bǔ)異號時，上商“ 0”，新余數(shù)： [Ri+1]補(bǔ)＝ 2[Ri]補(bǔ)＋ [y]補(bǔ) 如果對商的精度沒有特殊要求，一般可采用“末位恒置 1”法。 計算機(jī)組成原理 50 定點(diǎn)運(yùn)算部件 定點(diǎn)運(yùn)算部件由算術(shù)邏輯運(yùn)算部件 ALU、若干個寄存器、移位電路、計數(shù)器、門電路等組成。 ALU部件主要完成加減法算術(shù)運(yùn)算及邏輯運(yùn)算，其中還應(yīng)包含有快速進(jìn)位電路。 圖 33為定點(diǎn)運(yùn)算部件的框圖，考慮到最簡單的情況，圖中僅有三個寄存器 (A， B， C)，而目前一般的運(yùn)算部件都設(shè)置有數(shù)量較多的寄存器，可任意放置操作數(shù)和運(yùn)算結(jié)果等，稱之為通用寄存器。圖 33中的三個寄存器都被指定為專用的寄存器， A寄存器在運(yùn)算前放置操作數(shù)，運(yùn)算后放置運(yùn)算結(jié)果。當(dāng)執(zhí)行加減運(yùn)算和邏輯運(yùn)算時，只用到 A， B兩個寄存器，當(dāng)執(zhí)行乘除法時，用到三個寄存器。各寄存器作用見表 34所示。 計算機(jī)組成原理 51 圖 33 定點(diǎn)運(yùn)算部件框圖 表 34 A， B， C寄存器的作用 運(yùn)算 A B C 加法 被加數(shù) 運(yùn)算結(jié)果 加數(shù) 無用 減法 被減數(shù) 運(yùn)算結(jié)果 減數(shù) 無用 乘法 部分積乘積高位 被乘數(shù) 乘數(shù)，乘積低位 除法 被除數(shù) 余數(shù) 除數(shù) 商 計算機(jī)組成原理 52 圖 33中的數(shù)據(jù)傳送門僅畫出了一位，實(shí)際上應(yīng)該有 n位 (設(shè) n為字長 )。 S為移位電路，一般由門電路組成，乘法運(yùn)算時向右移一位 (ALU／ 2→S)，除法運(yùn)算時向左移一位(2ALU→S)，加減法及邏輯運(yùn)算時不移位 (ALU→S)。 C為移位寄存器，乘法運(yùn)算時左移一位，乘數(shù)左移一位后，其空出來的高位接受 ALU最低位，到乘法結(jié)束時， C寄存器內(nèi)保存了乘積的低 n位。當(dāng)進(jìn)行除法運(yùn)算時，上商到 C的最低位，并左移一位，當(dāng)運(yùn)算結(jié)束時， C內(nèi)為 n位商。計數(shù)器是用來控制乘／除法運(yùn)算是否結(jié)束，在運(yùn)算開始時，置 n值，每進(jìn)行一次加／減和移位操作后計數(shù)器一 1，當(dāng)減到 0時，表示乘/除法運(yùn)算結(jié)束。 圖 33中的控制信號，諸如 A→ALU， ALU→S等，是由控制部件送來的。例如，當(dāng)執(zhí)行加法運(yùn)算時，應(yīng)送來A→ALU、 B→ALU、 ALU→S、 S→A信號 (高電位 )，另外還應(yīng)向 ALU發(fā)出加法運(yùn)算命令 (圖中未畫出 ) 計算機(jī)組成原理 53 浮點(diǎn)數(shù)描述 浮點(diǎn)數(shù)的表示形式（以 2為底） N＝ M2E 其中， M為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，一般為絕對值小于 1的規(guī)格化二進(jìn)制小數(shù)，用原碼或補(bǔ)碼形式表示； E為浮點(diǎn)數(shù)的階碼。 用浮點(diǎn)數(shù)表示一個數(shù)值數(shù)據(jù)時，實(shí)際上是用兩個定點(diǎn)數(shù)來表示的。一個定點(diǎn)小數(shù)用來表示浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，一個定點(diǎn)整數(shù)用來表示浮點(diǎn)數(shù)的階碼。一般浮點(diǎn)數(shù)的階碼都是用一種稱之為“移碼”的編碼方式表示的。為什么要用移碼表示階呢？因為階 E可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，當(dāng)進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算時，必須先“對階”（即：比較兩數(shù)之階碼并使之相等）。為簡化比較操作，使操作過程不涉及階的符號，我們可以對每個階都加上一個正的常數(shù)（稱為偏置常數(shù)），使所有階都轉(zhuǎn)化為正整數(shù)，這就是階碼的移碼表示。 計算機(jī)組成原理 54 移碼的定義如下： 設(shè) E為階碼，所取移碼位數(shù)為 n，則： [E]移 =2n1+E (2n1為偏置常數(shù) ) 移碼特征如下： （ 1）假定： 2n1≤E≤2n11, 則 0≤[E]移 ≤2n1，即：移碼表示總是大于 0。因而可將移碼看成無符號數(shù)。 （ 2）移碼“ 0”的真值為 2n1。即： [2n1]移 =00…0 （ 3）零的移碼表示是唯一的。即： [+0]移 =[0]移 =2n1=10…0(n 1個 0) （ 4）若將移碼第一位看成是符號位，則移碼和補(bǔ)碼僅符號位不同。 計算機(jī)組成原理 55 2. 浮點(diǎn)數(shù)的“規(guī)格化” 浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)的位數(shù)表示數(shù)的有效數(shù)位，有效數(shù)位越多，數(shù)據(jù)的精度越高。為了在浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算過程中，盡可能多地保留有效數(shù)字的位數(shù)，使有效數(shù)字盡量占滿尾數(shù)數(shù)位，必須在運(yùn)算過程中經(jīng)常對浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行“規(guī)格化”操作。 從理論上來講，規(guī)格化數(shù)的標(biāo)志是真值的尾數(shù)部分中最高位具有非零數(shù)字。即若基為 2，則規(guī)格化數(shù)的形式應(yīng)為： 177。 …b 2E（這里 b是 0或 1）。也就是說，若基為 R，則規(guī)格化數(shù)的標(biāo)志是尾數(shù)部分真值的絕對值大于等于 1/R。即：尾數(shù) M≤1/R 或 M1