高二數(shù)學(xué)三角變換與解三角形(編輯修改稿)
2025-12-18 17:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，即 A ＝ B ＝3π8時(shí)， c o s( A － B ) ＝ 1 ， S 取到最大值1 ＋ 22R2. 探究提高 正弦定理、余弦定理都體現(xiàn)了三角形的邊角關(guān)系，解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用，有時(shí)還需要交替使用．本例中將三角形面積 S 表示為 c o s( A － B )的形式，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解是關(guān)鍵． 變式訓(xùn)練 2 ( 2 0 1 0 遼寧 ) 在 △ A BC 中， a ， b ， c 分別 為內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊，且 2 a si n A ＝ (2 b ＋ c ) si n B ＋ (2 c ＋ b ) s i n C . ( 1 ) 求 A 的大?。? ( 2 ) 求 si n B ＋ s i n C 的最大值． 解 ( 1 ) 由已知，根據(jù)正弦定理得 2 a2＝ (2 b ＋ c ) b ＋ (2 c ＋ b ) c ，即 a2＝ b2＋ c2＋ bc . 由余弦定理得 a2＝ b2＋ c2－ 2 bc co s A ， 所以 co s A ＝－12， 又 0 176。 A 1 8 0 176。 ， 故 A ＝ 1 2 0 176。 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 si n B ＋ si n C ＝ s i n B ＋ s i n ( 6 0 176。 － B ) ＝32co s B ＋12si n B ＝ si n ( 6 0 176。 ＋ B ) ． 故當(dāng) B ＝ 3 0 176。 時(shí)， s i n B ＋ s i n C 取得最大值 1. 題型三 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用 例 3 ( 2 0 0 9 福建 ) 如圖，某市擬在長(zhǎng)為 8 k m 的道路 OP 的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng) 賽道，賽道的前一部分為曲線段 O S M ， 該曲線段為函數(shù) y ＝ A si n ωx ( A 0 ， ω 0 ) ， x ∈ [ 0 , 4 ] 的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為 S ( 3 , 2 3 ) ；賽道的后一部分為折線段 MN P ，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定 ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 . ( 1 ) 求 A ， ω 的值和 M ， P 兩點(diǎn)間的距離； ( 2 ) 應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道 M N P 最長(zhǎng)？ 思維啟迪 （ 1 ）結(jié)合圖形， 聯(lián)想 y = A s i n ω x 的性質(zhì)→ 求 A 、 ω 的值 → 確定 M 、 P 的坐標(biāo) → 求兩點(diǎn)間的距離． ( 2 ) 可考慮以 ∠ P MN ＝ θ 的大小為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，即確定 θ為何值時(shí)，折線段賽道 M N P 最長(zhǎng)．或考慮 MN 與 NP的關(guān)系為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)． 解 方法一 ( 1 ) 依題意，有 A ＝ 2 3 ，T4＝ 3 ， 又 T ＝2πω， ∴ ω ＝π6. ∴ y ＝ 2 3 si nπ6x . 當(dāng) x ＝ 4 時(shí)， y ＝ 2 3 si n2π3＝ 3 ， ∴ M ( 4 , 3 ) ，又 P ( 8 , 0 ) ， ∴ MP ＝ 42＋ 32＝ 5. ( 2 ) 在 △ M N P 中， ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 ， MP ＝ 5. 設(shè) ∠ PM N ＝ θ ，則 0 176。 θ 6 0 176。 . 由正弦定理得MPsi n 1 2 0 176。＝NPsi n θ＝MNsi n ( 60176。 － θ )， ∴ NP ＝10 33si n θ ， MN ＝10 33si n ( 6 0 176。 － θ ) ， ∴ NP ＋ MN ＝10 33si n θ ＋10 33si n ( 6 0 176。 － θ ) ＝10 33????????12si n θ ＋32c o s θ ＝10 33si n ( θ ＋ 6 0 176。 ) ． ∵ 0 176。 θ 6 0 176。 ， ∴ 當(dāng) θ ＝ 30176。 時(shí)，折線段賽道 M N P 最長(zhǎng)． 即將 ∠ P M N 設(shè)計(jì)為 3 0 176。 時(shí)，折線段賽道 M N P 最長(zhǎng)． 方法二 ( 1 ) 同方法一． ( 2 ) 在 △ M N P 中， ∠ M N P ＝ 1 2 0 176。 ， MP ＝ 5 ， 由余弦定理得 MN2＋ NP2－ 2 MN NP c o s ∠ M N P ＝ MP2. 即 MN2＋ NP2＋ MN NP ＝ 2 5 . 故 ( MN ＋ NP )2－ 25 ＝ MN NP ≤????????MN ＋ NP22， 從而34( MN ＋ NP )2≤ 25 ，即 MN ＋ NP ≤10 33. 當(dāng)且僅當(dāng) MN ＝ NP 時(shí)等號(hào)成立． 即設(shè)計(jì)為 MN ＝ NP 時(shí)，折線段賽道 M N P 最長(zhǎng)． 探究提高 應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題需要下列四步： ( 1 ) 分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等； ( 2 ) 根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出； ( 3 ) 將所求問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解． ( 4 ) 檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案． 變式訓(xùn)練 3 在海岸 A 處，發(fā)現(xiàn)北偏東 45176。 方向，距離 A ( 3 － 1 ) n m i l e 的 B 處有一艘走私船，在 A 處北偏 西 7 5 176。 的方向，距離 A 2 n m i l e 的 C 處的緝私船奉命 以 10 3 n m i l e /h 的速度追截走私船．此時(shí)，走私 船正以 1 0 n m i l e / h 的速度從 B 處向北偏東 3 0 176。 方向逃 竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ 解 如圖所示，注意到最快追上走私 船且兩船所用時(shí)間相等，若在 D 處相 遇，則可先在 △ AB C 中求出 BC ，再在
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