【文章內(nèi)容簡介】 聚焦效應(yīng)？ 因為光線傳播速度 v(r)=c/n(r)(c為光速 )，入射角大的光線經(jīng)歷的路程較長，但大部分路程遠離中心軸線， n(r)較小， 傳播速度較快，補償了較長的路程。入射角小的光線情況正相反，其路程較短，但速度較慢。所以這些光線的時間延遲近似相等。 光纖的導光原理－幾何光線理論 —射線方程的解（自聚焦效應(yīng)） 第 54 頁 X 通過對階躍和梯度光纖的光線軌跡的分析 ，得出結(jié)論： *凡是入射角在孔徑角之內(nèi)的入射光線均可在芯區(qū)中作為導模傳輸 。 *芯區(qū)中各種導模光線 與軸的夾角可以是連續(xù)變化的 。 此結(jié)論錯誤 光纖的導光原理－ 幾何光線理論 — 光線模式的分立性 第 55 頁 X 光纖的導光原理－ 幾何光線理論 — 光線模式的分立性 原因：光線模式是分立性 光是有一定波長的 ， 將光線分解為沿軸向和徑向的兩個分量 ， 傳輸光波長 λ 也被分為 λ Z和λ r。 沿徑向傳輸?shù)墓獠ǚ至渴窃谙鄬Φ男?/包層界面間 （ 有限空間 ） 往返傳輸 ， 根據(jù)波形可以穩(wěn)定存在的條件 ——空間長度等于半波長的整數(shù)倍 ，而空間長度已由光纖結(jié)構(gòu)所確定 ， 所以徑向波長分量 λ r不能隨意了 ， 從而導致它們夾角不能隨意也即不能連續(xù)變化 ， 即 。 光纖的導光原理 － 幾何光線理論 — 光線模式的分立性 n2 n1 λ r λ z 傳輸光的分解圖 第 57 頁 X 光纖的導光原理 － 波動理論 １ ） 推導突變型光纖的精確解及方程 ２ ） 解釋一些重要的物理概念 第 58 頁 X 分析思路： 麥克斯韋方程 （波動理論的基礎(chǔ)） 波動方程 求此方程通解 特解 （電磁波在波導（光纖是圓柱形介質(zhì)波導）中的傳播規(guī)律，波動方程中出現(xiàn)的變量是電場強度 E 或 H 。） （波導的具體邊界條件確定“特解”，是電場或磁場在波導中的某種穩(wěn)定存在形式） 光纖的導光原理 － 波動理論 光纖的導光原理 － 波動理論－ 麥克斯韋方程組 由電磁場理論 ， 適用于任何各向同性 （ 導體和媒質(zhì)是理想的 ） 且無源的介質(zhì)的麥克斯韋方程組為： （ rot 旋度 div散度 grad梯度 ） tEHro t??????tHEr o t??????? ( 1 )HBED????????00??Bd i vDd i v??用 μ 除麥克斯韋方程組第二式的兩邊，并取 rot，得 0)1( ???? tHr o tEr o tr o t???………………..(2) 取麥克斯韋方程組第一式對時間的微商，并將（ 2）代入得 0)1( 22???? tEEr o tr o t????………………..(3) 利用恒等式 Ag r a dAr o tAr o t ??? ??? ??? )(2??? g r a d d ivr o tr o t則（ 3）變成 0)ln(222 ???????? Ed i vg raEro tg ra dtEE ???? ???? ...(4) 光纖的導光原理－ 波動理論－ 波動方程 此外，對麥克斯韋方程組第五式應(yīng)用恒等式 則可得到 ………………..(5) 因式（ 4）最后可寫成 ...(7) ??? g r a dAAd ivAd iv ??? ??? )(0?? ?? g r a dEEd iv ??0)ln()ln(222 ????????? ???? g ra dEg ra dEro tg ra dtEE ????...(6) 的波動方程得到利用同樣的處理方法可 H?0)ln()ln(222 ????????? ???? g ra dHg ra dHro tg ra dtHH ????光纖的導光原理－ 波動理論－ 波動方程 （ 6）（ 7）式是適用于各向同性、非均勻且無源介質(zhì)中的波動方程式，它們是分析漸變光纖的基本方程。對于均勻介質(zhì)又為： ………………..(8) （ 8）、（ 9）適用于各向同性、均勻且無源介質(zhì)中的波動方程式，它們是分析突變（階躍）光纖的基礎(chǔ)。 0222 ?????tEE ?? ??0222 ?????tHH ?? ??………………..(9) 光纖的導光原理－ 波動理論－ 波動方程 假定突變型光纖纖芯半徑為 a，其折射率為 n1，包層的折射率為 n2，并且認為包層無限伸展，進一步假定所有場量對時間和 Z軸方向以及方位角的依賴關(guān)系為 : )](e x p [ ??? lzti ??光纖的導光原理－ 波動理論－ 突變型光纖的 波動方程精確解及特征方程 一 ． 光纖中導波的簡諧振動方程和 Bessel方程 式 （ 8） 、 （ 9） 又稱為矢量的亥姆霍茲 （ Helmholtz） 方程 0)()( 2202 ??? HEnkHE ???? ………………..(10) 光纖的導光原理－ 波動理論－ 突變型光纖的 波動方程精確解及特征方程 式中 ??20 ?k 為真空中的波數(shù)，ε 0為真空中的介電常數(shù) ， ε r 為相對介電常數(shù) 式 （ 8） 、 （ 9） 也可以寫成下式： 即 02??? ??rn0)()()( 22 ??? HEiwHE ??????0)()( 22 ??? HEwHE ??????………………..(10`) 注：式（ 8）、（ 9），式（ 10），式（ 10‘ ）描述的是同一方程組 當選用圓柱系坐標系時，可得場的縱向分量 EZ和 HZ的標量亥姆霍茲方程 ………………..(11) 將其展開后可得 ……..(12) 利用分離變量法令 Ez Hz的解為 0))(()( 2222 ????zzozztHEnkHE ?0))(()(1)(1)( 22222222???????????zzozzzzzzHEnkHErrHErHEr ??? ? ? ?rRBAHEzz ??)()( ?………………..(13) 將其代入式（ 12）中，兩邊同乘以因子 r2/AR（ r） ψ (θ ) ，經(jīng)整理后得： ………………..(15) 為了使上式恒等，令其等于常數(shù) m2，于是式（ 14）變?yōu)楣饫w中導波的簡諧振動方程和 Bessel方程 ...(14) 2222202222 )()(1)()()()()( ? ????? ddnkrdr rdRrR rdr rRdrR r ????????0)()( 222?? ??? ?? mdd0)(])[()()( 222220222?????? rRmrnkdr rdRrdr rRdr ?...(16) 二 、 導波簡諧振動方程的解 式 （ 15） 形式同簡諧振動方程 是一樣的 ， 因此它們解的形式為 ……………… .（ 17） 場分量 Ez 或 Hz沿光纖圓周方向的分布為一駐波 ， m是該駐波的波節(jié)或波腹的個數(shù) ， m取不同的值 ， 可得不同的場型分布或模式 （ 后面的分析還可知 m是 Bessel函數(shù)的階數(shù) ） 。 ? ?? ?????????mmsi nc o s)(02022?? xwdt xd三 、 導波 Bessel方程的解 式 （ 16） 反映場分量 Ez 或 Hz 沿著光纖徑向 （ r方向 ） 的分布規(guī)律 。 解的形式應(yīng)根據(jù)物理概念進行取舍 。 在芯部 n=n1， 場為駐波分布 ， 解應(yīng)取振蕩型： 其中 Jm（ r） 和 Ym(r)分別為 m階的第一類和第二類的 Bessel函數(shù) ， 它們的相應(yīng)曲線如下圖所示 。由圖知 ， r=0時 Ym (0)= ∞ ， 這與實際情況不符 ， 應(yīng)舍去這個解 。 )()()( 2120221202 rnkYrnkJrR mm ?????? ??...(18) Jm（ r） Ym（ r） J0 J1 J2 r Y0 Y1 Y2 r (a) (b) 圖 310 (a)第一類 Bessel函數(shù) (b)第二類 Bessel函數(shù) 在包層中， n=n2 場為衰減型分布，解的形式應(yīng)為變質(zhì)的 Bessel 函數(shù)的形式： )()()( 2202222022 rnkKrnkIrR mm ?????? ??...(19) 其中 Im(r)、 Km(r)分別為第一類、第二類變質(zhì)的Bessel 函數(shù)，它們的相應(yīng)曲線如圖所示。 km（ r） Im（ r） r r 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 (a) (b) (a)第一類變質(zhì)的 Bessel函數(shù) (b)第二類變質(zhì)的 Bessel函數(shù) 由圖可看出 ， 當 r≈ 5時 ， Im(r)=∞ ， 故這一解也應(yīng)該舍棄 。 因此 ， 式 （ 16） 解的最后形式便為： ????????????arrnkKarrnkJrRmm)()()(2202221202??...(20) 令 )(),( 22022222210222 nkaWnkaU ???? ?? 則上式可簡寫為：??????????arraWKarraUJrRmm)()()(………………..(21) 四 、 導波 Ez 、 Hz分量的解 將已得到的導波簡諧振動方程的解 （ 17）與導波 Bessel方程的解 （ 21） 代入導波場 Ez 、Hz的表達式 （ 13） 中 ， 則可得到導波場 Ez分量的解的形式為： ????????????armraWKAEarmraU