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正文內(nèi)容

20xx光纖導(dǎo)波原理c(編輯修改稿)

2024-09-01 19:04 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 聚焦效應(yīng)? 因?yàn)楣饩€傳播速度 v(r)=c/n(r)(c為光速 ),入射角大的光線經(jīng)歷的路程較長,但大部分路程遠(yuǎn)離中心軸線, n(r)較小, 傳播速度較快,補(bǔ)償了較長的路程。入射角小的光線情況正相反,其路程較短,但速度較慢。所以這些光線的時(shí)間延遲近似相等。 光纖的導(dǎo)光原理-幾何光線理論 —射線方程的解(自聚焦效應(yīng)) 第 54 頁 X 通過對(duì)階躍和梯度光纖的光線軌跡的分析 ,得出結(jié)論: *凡是入射角在孔徑角之內(nèi)的入射光線均可在芯區(qū)中作為導(dǎo)模傳輸 。 *芯區(qū)中各種導(dǎo)模光線 與軸的夾角可以是連續(xù)變化的 。 此結(jié)論錯(cuò)誤 光纖的導(dǎo)光原理- 幾何光線理論 — 光線模式的分立性 第 55 頁 X 光纖的導(dǎo)光原理- 幾何光線理論 — 光線模式的分立性 原因:光線模式是分立性 光是有一定波長的 , 將光線分解為沿軸向和徑向的兩個(gè)分量 , 傳輸光波長 λ 也被分為 λ Z和λ r。 沿徑向傳輸?shù)墓獠ǚ至渴窃谙鄬?duì)的芯 /包層界面間 ( 有限空間 ) 往返傳輸 , 根據(jù)波形可以穩(wěn)定存在的條件 ——空間長度等于半波長的整數(shù)倍 ,而空間長度已由光纖結(jié)構(gòu)所確定 , 所以徑向波長分量 λ r不能隨意了 , 從而導(dǎo)致它們夾角不能隨意也即不能連續(xù)變化 , 即 。 光纖的導(dǎo)光原理 - 幾何光線理論 — 光線模式的分立性 n2 n1 λ r λ z 傳輸光的分解圖 第 57 頁 X 光纖的導(dǎo)光原理 - 波動(dòng)理論 1 ) 推導(dǎo)突變型光纖的精確解及方程 2 ) 解釋一些重要的物理概念 第 58 頁 X 分析思路: 麥克斯韋方程 (波動(dòng)理論的基礎(chǔ)) 波動(dòng)方程 求此方程通解 特解 (電磁波在波導(dǎo)(光纖是圓柱形介質(zhì)波導(dǎo))中的傳播規(guī)律,波動(dòng)方程中出現(xiàn)的變量是電場強(qiáng)度 E 或 H 。) (波導(dǎo)的具體邊界條件確定“特解”,是電場或磁場在波導(dǎo)中的某種穩(wěn)定存在形式) 光纖的導(dǎo)光原理 - 波動(dòng)理論 光纖的導(dǎo)光原理 - 波動(dòng)理論- 麥克斯韋方程組 由電磁場理論 , 適用于任何各向同性 ( 導(dǎo)體和媒質(zhì)是理想的 ) 且無源的介質(zhì)的麥克斯韋方程組為: ( rot 旋度 div散度 grad梯度 ) tEHro t??????tHEr o t??????? ( 1 )HBED????????00??Bd i vDd i v??用 μ 除麥克斯韋方程組第二式的兩邊,并取 rot,得 0)1( ???? tHr o tEr o tr o t???………………..(2) 取麥克斯韋方程組第一式對(duì)時(shí)間的微商,并將( 2)代入得 0)1( 22???? tEEr o tr o t????………………..(3) 利用恒等式 Ag r a dAr o tAr o t ??? ??? ??? )(2??? g r a d d ivr o tr o t則( 3)變成 0)ln(222 ???????? Ed i vg raEro tg ra dtEE ???? ???? ...(4) 光纖的導(dǎo)光原理- 波動(dòng)理論- 波動(dòng)方程 此外,對(duì)麥克斯韋方程組第五式應(yīng)用恒等式 則可得到 ………………..(5) 因式( 4)最后可寫成 ...(7) ??? g r a dAAd ivAd iv ??? ??? )(0?? ?? g r a dEEd iv ??0)ln()ln(222 ????????? ???? g ra dEg ra dEro tg ra dtEE ????...(6) 的波動(dòng)方程得到利用同樣的處理方法可 H?0)ln()ln(222 ????????? ???? g ra dHg ra dHro tg ra dtHH ????光纖的導(dǎo)光原理- 波動(dòng)理論- 波動(dòng)方程 ( 6)( 7)式是適用于各向同性、非均勻且無源介質(zhì)中的波動(dòng)方程式,它們是分析漸變光纖的基本方程。對(duì)于均勻介質(zhì)又為: ………………..(8) ( 8)、( 9)適用于各向同性、均勻且無源介質(zhì)中的波動(dòng)方程式,它們是分析突變(階躍)光纖的基礎(chǔ)。 0222 ?????tEE ?? ??0222 ?????tHH ?? ??………………..(9) 光纖的導(dǎo)光原理- 波動(dòng)理論- 波動(dòng)方程 假定突變型光纖纖芯半徑為 a,其折射率為 n1,包層的折射率為 n2,并且認(rèn)為包層無限伸展,進(jìn)一步假定所有場量對(duì)時(shí)間和 Z軸方向以及方位角的依賴關(guān)系為 : )](e x p [ ??? lzti ??光纖的導(dǎo)光原理- 波動(dòng)理論- 突變型光纖的 波動(dòng)方程精確解及特征方程 一 . 光纖中導(dǎo)波的簡諧振動(dòng)方程和 Bessel方程 式 ( 8) 、 ( 9) 又稱為矢量的亥姆霍茲 ( Helmholtz) 方程 0)()( 2202 ??? HEnkHE ???? ………………..(10) 光纖的導(dǎo)光原理- 波動(dòng)理論- 突變型光纖的 波動(dòng)方程精確解及特征方程 式中 ??20 ?k 為真空中的波數(shù),ε 0為真空中的介電常數(shù) , ε r 為相對(duì)介電常數(shù) 式 ( 8) 、 ( 9) 也可以寫成下式: 即 02??? ??rn0)()()( 22 ??? HEiwHE ??????0)()( 22 ??? HEwHE ??????………………..(10`) 注:式( 8)、( 9),式( 10),式( 10‘ )描述的是同一方程組 當(dāng)選用圓柱系坐標(biāo)系時(shí),可得場的縱向分量 EZ和 HZ的標(biāo)量亥姆霍茲方程 ………………..(11) 將其展開后可得 ……..(12) 利用分離變量法令 Ez Hz的解為 0))(()( 2222 ????zzozztHEnkHE ?0))(()(1)(1)( 22222222???????????zzozzzzzzHEnkHErrHErHEr ??? ? ? ?rRBAHEzz ??)()( ?………………..(13) 將其代入式( 12)中,兩邊同乘以因子 r2/AR( r) ψ (θ ) ,經(jīng)整理后得: ………………..(15) 為了使上式恒等,令其等于常數(shù) m2,于是式( 14)變?yōu)楣饫w中導(dǎo)波的簡諧振動(dòng)方程和 Bessel方程 ...(14) 2222202222 )()(1)()()()()( ? ????? ddnkrdr rdRrR rdr rRdrR r ????????0)()( 222?? ??? ?? mdd0)(])[()()( 222220222?????? rRmrnkdr rdRrdr rRdr ?...(16) 二 、 導(dǎo)波簡諧振動(dòng)方程的解 式 ( 15) 形式同簡諧振動(dòng)方程 是一樣的 , 因此它們解的形式為 ……………… .( 17) 場分量 Ez 或 Hz沿光纖圓周方向的分布為一駐波 , m是該駐波的波節(jié)或波腹的個(gè)數(shù) , m取不同的值 , 可得不同的場型分布或模式 ( 后面的分析還可知 m是 Bessel函數(shù)的階數(shù) ) 。 ? ?? ?????????mmsi nc o s)(02022?? xwdt xd三 、 導(dǎo)波 Bessel方程的解 式 ( 16) 反映場分量 Ez 或 Hz 沿著光纖徑向 ( r方向 ) 的分布規(guī)律 。 解的形式應(yīng)根據(jù)物理概念進(jìn)行取舍 。 在芯部 n=n1, 場為駐波分布 , 解應(yīng)取振蕩型: 其中 Jm( r) 和 Ym(r)分別為 m階的第一類和第二類的 Bessel函數(shù) , 它們的相應(yīng)曲線如下圖所示 。由圖知 , r=0時(shí) Ym (0)= ∞ , 這與實(shí)際情況不符 , 應(yīng)舍去這個(gè)解 。 )()()( 2120221202 rnkYrnkJrR mm ?????? ??...(18) Jm( r) Ym( r) J0 J1 J2 r Y0 Y1 Y2 r (a) (b) 圖 310 (a)第一類 Bessel函數(shù) (b)第二類 Bessel函數(shù) 在包層中, n=n2 場為衰減型分布,解的形式應(yīng)為變質(zhì)的 Bessel 函數(shù)的形式: )()()( 2202222022 rnkKrnkIrR mm ?????? ??...(19) 其中 Im(r)、 Km(r)分別為第一類、第二類變質(zhì)的Bessel 函數(shù),它們的相應(yīng)曲線如圖所示。 km( r) Im( r) r r 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 (a) (b) (a)第一類變質(zhì)的 Bessel函數(shù) (b)第二類變質(zhì)的 Bessel函數(shù) 由圖可看出 , 當(dāng) r≈ 5時(shí) , Im(r)=∞ , 故這一解也應(yīng)該舍棄 。 因此 , 式 ( 16) 解的最后形式便為: ????????????arrnkKarrnkJrRmm)()()(2202221202??...(20) 令 )(),( 22022222210222 nkaWnkaU ???? ?? 則上式可簡寫為:??????????arraWKarraUJrRmm)()()(………………..(21) 四 、 導(dǎo)波 Ez 、 Hz分量的解 將已得到的導(dǎo)波簡諧振動(dòng)方程的解 ( 17)與導(dǎo)波 Bessel方程的解 ( 21) 代入導(dǎo)波場 Ez 、Hz的表達(dá)式 ( 13) 中 , 則可得到導(dǎo)波場 Ez分量的解的形式為: ????????????armraWKAEarmraU
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