3-廣義函數(shù)(編輯修改稿)
2025-09-01 18:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 連續(xù)函數(shù)組成的線性空間 }，則函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)不屬于 L,即 L不是完備的函數(shù)空間。 ( ) | |f x x?我們的目標(biāo)： 尋求一個(gè)完備的函數(shù)空間，使得對(duì)函數(shù)運(yùn)算封閉，便于我們的處理 back 最終結(jié)論： 我們找到了一個(gè)完備的函數(shù)空間，使得微分、求極限、內(nèi)積三種運(yùn)算的次序可以任意交換，這樣使得我們?cè)趯?shí)際的應(yīng)用中自由度很大而不用考慮交換次序的條件： 若 L為廣義緩增函數(shù)空間，則 L是完備的 定理：若 {fm(x)}是 L類中的廣義函數(shù)序列，則其弱極限也是 L類的廣義函數(shù)。 該證明復(fù)雜且長(zhǎng)，需要很多分析技巧，略去；但該定理是取得上述結(jié)果的核心定理。 在教材和上一部分的討論中，只通過了對(duì)常義函數(shù)的極限的方法來研究了 δ 函數(shù)；下面需要研究 L空間中另一類廣義函數(shù) 第二類間斷點(diǎn)（代數(shù)奇點(diǎn)）產(chǎn)生的廣義函數(shù)，這部分函數(shù)在實(shí)際計(jì)算中起到很重要的作用。 問題引入：求 與檢驗(yàn)函數(shù)的內(nèi)積 注意中間一項(xiàng)不收斂，因此無法處理內(nèi)積 1()fxx?1, ( )1 1 1( ) ( ) ( )f x dxxx dx x dx x dxx x x??????? ? ?????? ? ???? ? ? ????? ? ?偽函數(shù) 利用函數(shù)的哈達(dá)瑪有限部分來構(gòu)造具有代數(shù)奇點(diǎn)的偽函數(shù) 定義：設(shè) f(x)是一個(gè)有 m階代數(shù)奇點(diǎn) x=0的常義函數(shù)。取一常數(shù) ρ〉 0，則下述泛函所決定的廣義函數(shù)，成為 f(x)的偽函數(shù)。 2 ( 1 ) 1d e f39。39。( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( 0 ) 39。( 0 ) ...2 ! ( 1 ) !||( 1 ) p f . ( ) , ( )[]}{mmxxf x x xmxd x f x x
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