容斥原理例題(編輯修改稿)
2024-09-01 05:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ？最少有多少人？分析：如下圖，數(shù)學(xué)、語文、英語得優(yōu)秀成績的的同學(xué)都包含在這個班中，設(shè)這個班有y人，、B、C分別表示數(shù)學(xué)、語文、英語得優(yōu)秀成績的的人，由已知有A∩C=8，A∩B=7，B∩C=9，A∩B∩C=X.解答：由容斥原理有Y=A+B+CA∩BA∩CB∩C+A∩B∩C+3即y=20+20+20789+x+3=39+x。以下我們考慮如何求y的最大值與最小值。由y=39+x可知，當(dāng)x取最大值時，y也取最大值；當(dāng)x取最小值時，y也取最小值。因為x是數(shù)學(xué)、語文、英語三科都得優(yōu)秀成績的人數(shù)，所以他們中的人數(shù)一定不超過兩科得優(yōu)秀成績的人數(shù)，即x=7，x=8且x=9，由此我們得到x=，也就是說也有這種可能：沒有三科都得優(yōu)秀成績的的同學(xué)，故x=0，故x =0或x=7。當(dāng)x取最大值7時，y有最大值39＋7=46，當(dāng)x取最小值0時，y有最小值39＋0=39。答：這個班最多有46人，最少有39人。例6 五年級2班有46名學(xué)生參加三項課外興趣活動，其中24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語文小組，又是三項活動都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組又參加語文小組相當(dāng)于三項活動都參加人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組的學(xué)生有10人。請問：參加文藝小組的學(xué)生有多少人？分析：這里涉及了三個對象：數(shù)學(xué)小組、語文小組、文藝小組，然而從題目的敘述來看，在容斥原理的等式中都涉及了一個關(guān)鍵的量，即三項活動都參加人數(shù)。因而必須先求出這個三項活動都參加人數(shù)。再利用參加文藝小組的人數(shù)與它的關(guān)系即可求解。解答：設(shè)三項活動都參加人數(shù)為x，根據(jù)題意得參加文藝小組的人數(shù)為7x，既參加數(shù)學(xué)小組又參加文藝小組的人數(shù)為7x247。=2x，既參加文藝小組又參加語文小組的人數(shù)為2x。根據(jù)容斥原理可以得到下面等式：24+20+7x（2x+2x+10）+x=464x=16x=3人所以：7x=21人。所以：參加文藝小組的學(xué)生有21人。說明：在很多問題中涉及一個基準(zhǔn)量，經(jīng)過分析找到這個基準(zhǔn)量后，問題便可以解決。閱讀材料“1名數(shù)學(xué)家=10個師”的由來第二次世界大戰(zhàn)中，美國曾經(jīng)宣稱：一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的作用超過10個師的兵力。你可知這句話的由來嗎？1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊，當(dāng)時，英美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦，一時間，德軍的潛艇戰(zhàn)搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國海軍將領(lǐng)專門去請教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件，按數(shù)學(xué)角度來看這一問題，它有一定的規(guī)律。一定數(shù)量的船（如100艘）編隊規(guī)模越小，編次就越多（如每次20艘，就要有5個編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。比如5位同學(xué)放學(xué)都回自己家里，老師要找一位同學(xué)的話，隨便去哪家都行，但若這5位同學(xué)都在其中某一家的話，老師要找?guī)准也拍苷业?，一次找到的可能性只?0%。美國海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令船隊在指定海域集合，再集體
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