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場論-標量場的梯度--矢量場的散度和旋度(編輯修改稿)

2024-09-01 04:34 本頁面
 

【文章內容簡介】 ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ???? ? ???梯度 (Gradient) 1. 是一個矢量 2. 標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律:其方向為標量場增加最快的方向,其幅度表示標量場的最大增加率 .任意方向的方向導數(shù)是梯度在這個方向的投影,梯度方向是等值面的法線方向。 ???lrlr ???? ??????? ??? )()(梯度 (Gradient)定理 積分結果與路徑無關。 通量與散度 , 散度 (高斯 )定理 Flux, divergence of a vector field, divergence theorem 矢量場的通量 (Flux of a vector field) 矢量場的通量 定義: 若 矢量場 A分布于空間中,在空間中存在任意曲面 S,則 為 矢量 A 沿 有向曲面 S 的 通量 。 若 S 為閉合曲面 物理意義: 表 示流入和流出 閉合面 S的矢量通量的代數(shù)和。 在 電場中,電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量; 在磁場中,磁感應強度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量。 ? ??? S d SA? ??? S SA d在直角坐標系中,通量可以寫成 dx dyAdz dxAdy dzAdSA zySxS????? ??ψ通過閉合面 S的通量的物理意義: a) 若 , 穿出閉合曲面的通量多于穿入的通量,閉合面內有產(chǎn)生矢量線的 正發(fā)射源 ; 例如,靜電場中的正電荷就是發(fā)出電力線 的發(fā)射源 ; 0ψ?b) 若 , 穿出閉合曲面的通量少于穿入的通量,閉合面內有吸收矢量線的 負吸收源 ; 靜電場中的負電荷就是接受電力線 的吸收源 ; 0ψ?c) 若 ,閉合面無源。 0ψ?散度 Divergence of a vector field 散度的物理意 義及特點: 1) 矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性 ; 表示矢量場在一點處的流入或流出的大小 2) 矢量場的散度是一個標量; 3) 矢量場的散度是空 間位置的 函數(shù); VSV Δd limd iv 0Δ? ???SAA定義: 當閉合面 S 向某點無限收縮時,矢量 A 通過該閉合面 S 的 通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場 A 在該 點的散度,以 div A 表示,即 發(fā)射源/吸收源的體密度 0div ?A 0div ?A 0div ?A發(fā)射源/正源 吸收 源/負源 無源 ),( zyxx?y?z?39。?Qn?Qn??A?39。A?Q Q’ 通過右邊的面 通過左邊的面 zxQAd xdzAdsnA yQ yQ Q??????? ?? )(??zxQAd x d zAdsnA yQ yQ Q????? ?? )39。(39。39。 39。??yyAQAyyAzyxAzyyxAQA yyyyyy ????????????? )(),(),()39
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