35--群的自同構(gòu)群(編輯修改稿)
2025-08-31 22:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 群同構(gòu)。證明 由定理2知，這兩種群的自同構(gòu)群都是2階群，2是素?cái)?shù)，所有2階群都彼此同構(gòu)，都與2次單位根群同構(gòu)。注意：定理2說(shuō)明一件事實(shí)，即不同的循環(huán)群其自同構(gòu)群可以相同。3. 內(nèi)自同構(gòu)群定理3 設(shè)是一個(gè)群，則（1）是的一個(gè)自同構(gòu)，稱為的內(nèi)自同構(gòu)；（2）的全體內(nèi)自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群，稱為 的內(nèi)自同構(gòu)群，記為；（3）。證明 （1）易知是的一個(gè)雙射變換。又 ，所以是的一個(gè)自同構(gòu)。（2）設(shè)與是的任何兩個(gè)自同構(gòu)，則， ， 即有仍是一個(gè)內(nèi)自同構(gòu)，此表明關(guān)于變換的乘法封閉。又易知，且是幺元，結(jié)合律顯然成立，所以關(guān)于變換的乘法作成一個(gè)群。（3）。令，即，則，由的任意性有，所以。 注意：設(shè)，則有，即，亦即對(duì)的任何內(nèi)自同構(gòu)都保持不變；反之，若的一個(gè)子群有此性質(zhì)，則它必是的正規(guī)子群。這就是說(shuō)，的正規(guī)子群就是對(duì)的任何內(nèi)自同構(gòu)都保持不變的子群：。因此，也常稱正規(guī)子群為不變子群。群的中心： 稱為群的中心，即群的中心就是與的所有元素都可交換的元素組成的集合。 根據(jù)中心的定義，顯然有。
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