奧賽培訓(xùn)講義振動(dòng)和波(編輯修改稿)
2025-08-31 15:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 fLsin60176。 ②解①②兩式可得：f = x ，且f的方向水平向左。根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn)，x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關(guān)系——= －k其中k = ，對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)而言，k是固定不變的。顯然這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式。答案：松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。評(píng)說(shuō)：這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題，問(wèn)法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為：T = 2π = 2π = 。二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)彈簧振子物理情形：如圖8所示，用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，置于傾角為θ的光滑斜面上。證明：小球在彈簧方向的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期T 。學(xué)生自己證明…。周期T = 2π模型分析：這個(gè)結(jié)論表明，彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個(gè)廣義的概念，且伸展后不會(huì)改變運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)。其次，我們還可以這樣拓展：把上面的下滑力換程任何一個(gè)恒力（如電場(chǎng)力），它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)仍然不會(huì)改變。當(dāng)然，這里的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不變并不是所有運(yùn)動(dòng)參量均不改變。譬如，振子的平衡位置、振動(dòng)方程還是會(huì)改變的。下面我們看另一類型的拓展——物理情形：如圖9所示，兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧，連接一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊，可以在光滑的水平面上滑動(dòng)。試求這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期T 。解說(shuō)：這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識(shí)綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義，不難推導(dǎo)出幾個(gè)彈性系數(shù)分別為kk…、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式（設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k）——串聯(lián)： = 并聯(lián)：k = 在圖9所示的情形中，同學(xué)們不難得出：T = 2π當(dāng)情形變成圖10時(shí)，會(huì)不會(huì)和圖9一樣呢？詳細(xì)分析形變量和受力的關(guān)系，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，事實(shí)上，這時(shí)已經(jīng)變成了彈簧的并聯(lián)。答案：T = 2π 。思考：如果兩個(gè)彈簧通過(guò)一個(gè)動(dòng)滑輪（不計(jì)質(zhì)量）再與質(zhì)量為m的鉤碼相連，如圖11所示，鉤碼在豎直方向上的振動(dòng)周期又是多少？解：這是一個(gè)極容易出錯(cuò)的變換——因?yàn)閳D形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但經(jīng)過(guò)仔細(xì)分析后，會(huì)發(fā)現(xiàn)，動(dòng)滑輪在這個(gè)物理情形中起到了重要的作用——致使這個(gè)變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)?！锒?，我們前面已經(jīng)證明過(guò)，重力的存在并不會(huì)改變彈簧振子的振動(dòng)方程，所以為了方便起見(jiàn)，這里（包括后面一個(gè)“在思考”題）的受力分析沒(méi)有考慮重力。具體分析如下：設(shè)右邊彈簧的形變量為x2 、滑輪（相對(duì)彈簧自由長(zhǎng)度時(shí)）的位移為x 、鉤子上的拉力為F ，則k1x1 = k2x2x = F = 2 k2x2解以上三式，得到：F = x ，也就是說(shuō)，彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)k = 。答：T = π 。再思考：如果兩彈簧和鉤碼通過(guò)輕桿和轉(zhuǎn)軸，連成了圖12所示的系統(tǒng)，已知k1 、k2 、m 、a 、b ，再求鉤碼的振動(dòng)周期T 。思路提示：探討鉤碼位移和回復(fù)力關(guān)系，和“思考”題類似。（過(guò)程備考：設(shè)右彈簧伸長(zhǎng)x2 ，則中間彈簧伸長(zhǎng)x1 = x2 鉤碼的位移量x = x1 + x2 而鉤碼的回復(fù)力F = k1x1結(jié)合以上三式解回復(fù)力系數(shù)k = = ，所以…）答：T = 2π 。單擺單擺分析的基本點(diǎn)，在于探討其回復(fù)力隨位移的變化規(guī)律。相對(duì)原始模型的伸展，一是關(guān)于擺長(zhǎng)的變化，二是關(guān)于“視重加速度”的變化，以及在具體情形中的處理。至于復(fù)雜的擺動(dòng)情形研究，往往會(huì)超出這種基本的變形，而僅僅是在分析方法上做適當(dāng)借鑒。物理情形1：如圖13所示，在一輛靜止的小車內(nèi)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩靜止懸掛著一個(gè)小鋼球，當(dāng)小車突然獲得水平方向的大小為a的加速度后（a＜g），試描述小球相對(duì)小車的運(yùn)動(dòng)。模型分析：小鋼球相對(duì)車向a的反方向擺起，擺至繩與豎直方向夾角θ= arctg時(shí)，達(dá)到最大速度，此位置即是小球相對(duì)車“單擺”的平衡位置。以車為參照，小球受到的場(chǎng)力除了重力G外，還有一慣性力F 。所以，此時(shí)小球在車中相當(dāng)于處在一個(gè)方向傾斜θ、大小變?yōu)榈男隆爸亓Α钡淖饔?，屬超重情況。這是一種“視重加速度”增加的情形。解說(shuō)：由于擺長(zhǎng)L未變，而g視 = ，如果a很小，致使最大擺角不超過(guò)5176。的話，小角度單擺可以視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期也可以求出來(lái)。答案：小球以繩偏離豎直方向θ= arctg的角度為平衡位置做最大擺角為θ的單擺運(yùn)動(dòng)，如果θ≤5176。，則小球的擺動(dòng)周期為T = 2π物理情形2：某秋千兩邊繩子不等長(zhǎng)，且懸點(diǎn)不等高，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖14所示，且有a2 + b2 = + ，試求它的周期（認(rèn)為人的體積足夠?。?。模型分析：用C球替代人，它實(shí)際上是在繞AB軸擺動(dòng)，類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視 = gcos
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