【文章內(nèi)容簡介】 先要弄清一些基本概念：兩種物質(zhì)的均勻的分子混合物叫做溶液，被溶解的物質(zhì)（如鹽）叫溶質(zhì)，溶解物質(zhì)的介質(zhì)（比如水）叫做溶劑，在一定量的溶液中所含溶質(zhì)的量叫做溶液的濃度。以下是基本的關系式：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量＋溶劑質(zhì)量，溶液濃度=100%=100%。解法一：設需加鹽xkg。配成的鹽水質(zhì)量為（x＋40）kg，其中含鹽（x＋40）20%kg，而40kg8%的鹽水中含鹽408%kg，由溶質(zhì)（鹽）的總量=原溶液中含鹽的量＋加入的鹽量，可列出方程（40＋x）20%=408%＋x解得x=6（kg）解法二：加鹽后溶質(zhì)的量雖然改變了，但溶劑（水）的量未發(fā)生變化，是個不變量，因此設需加鹽xkg，可列出方程（40＋x）80%=4092%解得x=6（kg）【說明】用一元一次方程求解溶液濃度問題主要有兩種基本類型：一、在溶液中添加溶質(zhì)，這時可把新溶液中溶質(zhì)的量等于原溶液中溶質(zhì)的量加上加入的溶質(zhì)的量作為等量關系；二、添加溶劑稀釋溶液濃度，溶質(zhì)在稀釋前后保持不變，是個不變量，可作為等量關系。一般地，濃度為p%的鹽水Mg要變?yōu)闈舛葹閝%的鹽水Ng，需加入濃度為r%的鹽水多少克？抓住“甲溶液中的溶質(zhì)與乙溶液中的溶質(zhì)含量之和等于混合液中溶質(zhì)的含量”這個等量關系，設需加入濃度為r%的鹽水xg，則可列出方程Mp%＋xr%=Nq%總之，尋求等量關系的途徑因題而異，但有一點是共同的，就是在變化的諸未知量中找不變的量，從運動變化的關系中找相對穩(wěn)定的相等關系，這就是尋求等量關系的關鍵之所在。第七章 二元一次方程組《二元一次方程組》知識梳理方程組是方程內(nèi)容的深化和發(fā)展，二元一次方程組是方程組內(nèi)容的開端。用消元法解二元一次方程組的方法是解方程組的基本思想方法，本章的內(nèi)容是學習二元二次方程組和其他方程組、一元二次方程、函數(shù)等必備的基礎知識。一次方程組不但是數(shù)學學科的重要基礎知識，在實際生活中也有著廣泛的應用。一、知識梳理（一）二元一次方程1．定義：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1的整式方程叫二元一次方程。其一般形式為ax+by=c(c?b≠0)2．二元一次方程的解：能適合一個二元一次方程的每一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。3．任何一個二元一次方程都有無數(shù)多個解。（二）二元一次方程組1．定義：兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。其一般形式為2．二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值。3．二元一次方程組的解的情況：當時，二元一次方程組有惟一一個解；當時，二元一次方程組無解；當時，二元一次方程組有無數(shù)多個解。(三)二元一次方程組的解法1． 代入消元法：求表示式，代入消元，回代得解。2． 加減消元法：變換系數(shù)，加減消元，回代得解。解一次方程組可以逐步消元，變多元為一元，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，從而求出方程組的解，即：二元一次方程組一元一次方程（四）二元一次方程組的解法二元一次方程組1．當某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1，或一個方程的常數(shù)項為0時，宜用代入法來解；2．在兩個方程中，當同一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時，宜用加減法來解。（五）應用問題是把實際問題數(shù)學化、典型化，借以培養(yǎng)同學們分析問題和解決問題的能力。列一次方程組解應用題與列一元一次方程解應用題的基本思想是一致的。一般地，凡是列二元一次方程組可解的應用題都可以用一元一次方程來解。對于含有多個未知數(shù)的問題，利用方程組來解，往往比列一元一次方程容易，原因在于通過多個未知數(shù)來尋找等量的數(shù)量關系直截了當。在列二元一次方程組時，要根據(jù)題目中的數(shù)量關系，假設兩個未知數(shù)，選擇兩個不同的等量關系，由此列出兩個含有這兩個未知數(shù)的等式，建立方程組，然后再求出方程組的解，從而解決問題。二、典型例題例1 填空題：1．在中，用含x的代數(shù)式表示y為y=____________________；用含y的代數(shù)式表示x為x=_______________。2．已知 x=1是方程ax－3y=5的一個解，那么a=_______；如果它也是方程組 mx－3y=1 y=2 x＋ny=5的一個解，那么m=_______，n=________。3．若xa－b－2ya＋b－2=11是二元一次方程，那么a=______，b=______。4．已知2x3m＋ny7與x8y2m－n是同類項，則m=_______，n=_______。5．方程x＋2y=7有_______________，正整數(shù)解是____________________。6．已知 x=1 x=2都是方程ax－by=4的解，則a=______，b=_______。 y=－2 y=07．如果一元二次方程組 ax－by=4，與 ax＋by=2的解相同，那么a=_____，b=____。 2x＋3y=4 4x－3y=28．關于x、y的二元一次方程組 3x－ay=16的解是 x=7，那么關于x、y的二元一次方程 2x＋by=15 y=1組 3（x＋y）－a（x－y）=16 2（x＋y）＋b（x－y）=15的解是______________。9．已知，則a∶b∶c=_____________。說明：熟練掌握二元一次方程組的定義、二元一次方程組的解等概念是解此類填空題的關鍵。例2 解方程組 x＋2y=11 ① 6x＋y=22 ②解法一：（代入消元法）：由②得y=22－6x ③把③代入①得x＋2（22－6x）=11即x＋44－12x=11∴x=3把x=3代入③得y=4∴ x=3 y=4 說明：把一個方程中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。這種解法叫做代入消元法。一般取系數(shù)絕對值為最小整數(shù)的未知數(shù)用另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，力求使變形后的方程比較簡單和代入后比較容易化簡。解法二：（加減消元法）：①6得6x＋12y=66③－②得11y=44 ∴y=4把y=4代入①得x=3 ∴ x=3y=4說明：先使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后把方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數(shù)，將方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。這種解法叫做加減消元法。（1）當某一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時，兩個方程相加把這個未知數(shù)消去；（2）當某一個未知數(shù)的系數(shù)相等時，兩個方程相減把這個未知數(shù)消去； （3）若未知數(shù)的系數(shù)都不相等時，可利用方程的變形原理2將方程兩邊都乘以一個正數(shù)，把未知數(shù)的系數(shù)化成絕對值相等，再進行加減，消去一個未知數(shù)。解法三：（消常數(shù)項法）：①2－②得－4x＋3y=0∴y= ③把③代入②得6x＋=22 ∴x=3把x=3代入③得y=4 ∴ x=3 y=4說明：當兩個方程中的常數(shù)項絕對值相等或成整數(shù)倍時，用加減法消去常數(shù)項來解比較簡捷迅速。例3 解方程組 －= 2x＋y=5解法一（代入消元法）：將原方程組變形為 x－3y=6 ① 2x＋y=5 ②由①得x=6＋3y ③把③代入②得2（6＋3y）＋y=5去括號整理得7y=－7 ∴y=－1把y=－1代入③得x=3 ∴ x=3 y=－1解法二（加減消元法）：同解法一，先將原方程組變形，①＋②3得7x=21 ∴x=3把x=3代入②得y=－1 ∴ x=3y=－1說明：（1）在解題時要根據(jù)實際情況，選擇簡便解法。一般地，當方程中某個未知數(shù)的系數(shù)為或一個方程的常數(shù)項為零時，宜用代入消元法來解；當兩個方程中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時，宜用加減消元法來解。 （2）對于含有小數(shù)或分數(shù)的方程組，通常是將小數(shù)和分數(shù)化為整數(shù)后再確定用何種方法來解。例4 解方程組 53x＋47y=112 ① 47x＋53y=88 ②解：①＋②得100x＋100y=200即x＋y=2 ③①－②得6x－6y=24即x－y=4 ④③＋④得2x=6 ∴x=3③－④得2y=－2 ∴y=－1∴ x=3 y=－1例5 求使方程組 x＋y=m＋2 ① 的解x、y都是正數(shù)的m的取值范圍。 4x＋5y=6m＋3 ②（2002年河南省中考題）解：由①5－②得x=－m＋7將上式代入①得y=2m－5∵x、y都是正數(shù) ∴ －m＋70 2m－50解這個不等式組得 m7 ∴ m7 mm7時，原方程組的解都是正數(shù)。例6 如果方程組 ax＋2y=b 的解x，y滿足∣x－2y－3∣＋（x＋3y＋2）2=0，求 4x－by=2a－1a、b的值。解：由非負數(shù)的性質(zhì)，可得方程組x－2y－3=0 解得 x=1 x＋3y＋2=0 y=－1把x、y的值代入已知條件所給出的方程組得a－2=b 解得 a=3 4＋b=2a－1 b=1聚焦二元一次方程（組）考點概述1．二元一次方程的概念按定義判斷一個方程是否是二元一次方程，應考慮：（1）含有兩個未知數(shù)；（2）含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1；（3）方程兩邊的代數(shù)式都必須是整式。注意：一元一次方程的解也叫做根，而二元一次方程的解不能叫做根。2．二元一次方程組的概念3．二元一次方程組的解法解二元一次方程組的基本思想方法是消元（化二元為一元），消元的基本方法有代入消元法和加減消元法。4．列二元一次方程組解應用題（1）按照審題、設元、列方程組、解方程組、作答的步驟進行，書寫要規(guī)范。（2）不死記硬背例題型和解法，要努力學習分析問題的本領。（3）加強探索型及開放性習題的練習，提高用數(shù)學知識解決實際問題的能力。典型例題搜索均選自全國部分省市近年中考試題。1．方程組的解例1 已知 x=2 是關于x、y的方程2x－y＋3k=0的解，則k=_____。（2003年無錫） y=1解：將 x=2代入已知方程中，得22－1＋3k=0 y=1解得k=－1例2 王老師在課堂上給出了一個二元方程x＋y=xy，讓同學們找出它的解。甲寫出的解是 x=0；乙寫出的解是 x=2y=0 y=2，你找出的與甲、乙不相同的一個解是_________。（2002年陜西）解：二元方程x＋y=xy的解有無數(shù)多個，每給出一個x的值，都可以相應地求出方程的一個解，可令x=3，則有3＋y=3y。解得y=故可填 x=3 y=例3 寫出滿足方程x＋2y=9的一個整數(shù)解_________。 （2003年黑龍江）解：取x=1代入已知方程中，求得y=4；還可求得 x=3等。其實由x＋2y=9y=，只要（9 y=3－x）是2的整數(shù)倍，則可求出多個整數(shù)解。2．二元一次方程的概念例4 若2x2a－3b－3＋3ya＋b－6＋2003=0是二元一次方程，則ba=________。（2003年昭通）解：由二元一次方程的概念知2a－3b－3=1 2a－3b=4 a=5 a＋b－6=1 a＋b=7 b=2 ba=25=323．方程組的解法例5 二元一次方程 2x＋y=2 的解是（ ） （2003年南寧） －x＋y=5A． x=1 B． x=－1 C． x=－3 D． x=3 y=6 y=4 y=2 y=2 解：用加減消元法可以很容易地解得 x=－1，故應選B y=4例6 解方程組 x＋y=4① 2x－y=－1②解法一（加減消元法）：①＋②得3x=3 ∴ x=1把x=1代入得y=3 x=1 ∴ y=3解法二（代入消元法）：由①得y=4－x③把③代入②得2x－（4－x）=－1 ∴ x=1把x=1代入得y=3 x=1 ∴ y=34．方程組的應用例7 若2amb2m＋3n與a2n－3b8的和仍是一個單項式，則m與n的值分別是（ ）A．1，2 B．2，1 C．1，1 D．1，3 （2003年煙臺）解：由題意知 m=2n－3 解得 m=1 2m＋3n=8 n=2故應選A例8 已知二元一次方