【正文】 （3）環(huán)行相遇問題：同地同向：每相遇一次所走路程差=一環(huán)的路程同地背向：每相遇一次所走路程和=一環(huán)的路程（4）航行問題：順流速度=靜水速度＋水流速度逆流速度=靜水速度－水流速度（5）時鐘問題：分針走的總路程－時針走的總路程=環(huán)形周長（60）n（n是第n次重合）開始追趕到追上（重合）時，分針與時針所用的時間相等8．工程問題基本關系：工作量=工作效率工作時間等量關系：各個部分完成工作量的和=全部工作量 原計劃完成時間=實際完成時間＋提前完成時間=實際完成時間－誤工時間9．濃度配比問題基本關系：溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量濃度溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量＋溶劑質(zhì)量（水）等量關系：甲溶質(zhì)質(zhì)量＋乙溶質(zhì)質(zhì)量=混合后溶質(zhì)質(zhì)量甲溶液質(zhì)量＋乙溶液質(zhì)量=混合后溶液質(zhì)量注意：稀釋時，加溶劑前后，溶質(zhì)不變；加濃時，加溶質(zhì)前后，溶劑不變。10．數(shù)字問題基本關系：若百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為z，則這個三位數(shù)用代數(shù)式表示為100x＋10y＋z（x、y、z在0至9之間，x≠0）典型例題例1 在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人，現(xiàn)另調(diào)20人去支援甲、乙兩處，使在甲處勞動的人數(shù)為在乙處勞動的人數(shù)的2倍，應調(diào)往甲、乙兩處各多少人？分析：等量關系為：調(diào)往甲處的人數(shù)＋調(diào)往乙處的人數(shù)=20調(diào)入后甲處人數(shù)=調(diào)入后乙處人數(shù)的2倍解：設應調(diào)往甲處x人，則就調(diào)往乙處（20－x）人。根據(jù)題意得27＋x=2[19＋（20－x）]解得x=17∴20－x=3答：應調(diào)往甲處17人，調(diào)往乙處3人。說明：勞力調(diào)配應用題是在生產(chǎn)勞動中進行勞力調(diào)配時的規(guī)劃應用題型。一般要抓住題目中調(diào)配后新的甲、乙兩方的倍比關系來布列方程解題。例2 A、B兩地相距169千米，甲車以42千米/小時的速度從A地駛向B地，出發(fā)30分鐘后因機器故障需停車修理，這時乙車以39千米/小時的速度從B地向A地駛來。已知甲車排除故障用了20分鐘，問乙車出發(fā)后經(jīng)過多少時間與甲車相遇？ 分析：本例中不僅汽車的速度不同，出發(fā)的時間也不相同，因而從出發(fā)到相遇的時間也不相同，但題中蘊含著一個重要的等量關系：甲車所行路程＋乙車所行路程=全程另外，甲車雖然早出發(fā)了30分鐘，卻因排除故障耽擱了20分鐘，所以甲車從出發(fā)到相遇運行的時間只比乙車多用了10分鐘，于是又有等量關系：甲車運行時間=乙車運行時間＋10分鐘解：設乙車出發(fā)后x小時與甲車相遇，則甲車從出發(fā)到相遇時運行時間為（x＋）小時。根據(jù)題意得42（x＋）＋39x=169解得x=2答：乙車出發(fā)后2小時與甲車相遇。說明：本題有多種解法，但無論怎樣列方程，總要依據(jù)等量關系：甲車所行路程＋乙車所行路程=全程。另外在列出的方程中，同類量的單位要統(tǒng)一，如時間單位都用小時，距離單位都用千米。例3 一艘輪船航行于A、B兩地之間，順水航行速度為v1，逆水航行速度為v2，那么這艘輪船航行于A、B兩地之間的平均速度是（ ）A． B． C． D．解：設A、B兩地的距離為s，順水航行時間為t1，逆水航行時間為t2，那么t1= t2=平均速度故應選D。說明：這里應用的就是距離、速度、時間三者的關系式，應注意平均速度是總路程除以總時間。本題還引進了中間量s、tt2參與計算，最后都消去了。例4 環(huán)湖一周為900米，甲每分鐘行走60米，乙的速度是甲的倍，甲、乙分別在相距300米的A、B兩處（如圖）（1）若甲、乙同時沿近路相向而行，多長時間相遇？（2）若甲、乙同時按相反方向沿遠路而行，經(jīng)過多長時間相遇？（3）若甲、乙同時按順時針方向走，經(jīng)過多長時間第一次相遇？經(jīng)過多長時間第二次相遇？解：（1）若甲、乙同時沿近路相向而行，相遇所需的時間設為x分鐘。根據(jù)題意得60x＋60x=300解得x=2（2）若甲、乙同時按相反方向沿遠路而行，相遇所需的時間設為y分鐘。根據(jù)題意得60y＋60y=900－300解得y=4（3）若甲、乙同時按順時針方向走，第一次相遇所需的時間設為z分鐘。根據(jù)題意得60z－60z=600解得z=20同理可求得第二次相遇所需的時間為t=50說明：環(huán)形問題的同向相遇相當于直線問題的同向追及問題；而背向相遇問題相當于直線問題的相向相遇問題。例5 李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元。%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應交利息所得稅=利息金額20%） （2000年廣西中考題）解：設儲蓄2000元的年利率為x，則儲蓄1000元的年利率為（%－x）。根據(jù)題意得[2000x＋1000（%－x）]（1－20%）=解得x=%∴%－x=% 答:%、%例6 已知甲、乙兩種商品原來的單價之和為100元，因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%。調(diào)價后，甲、乙兩種商品的單價之和比原來的單價之和提高了2%，求甲、乙兩種商品原來的單價各是多少？ （1998年鹽城中考題）解：設甲原來的單價為x元，那么乙原來的單價為（100－x）元。根據(jù)題意得（1－10%）x＋（1＋5%）（100－x）=（1＋2%）100解這個方程得x=20∴100－x=80答：甲、乙原來的單價分別為20元、80元。說明：隨著改革開放的不斷深化，市場經(jīng)濟日益繁榮，經(jīng)濟型的數(shù)學問題也不斷滲透到我們的課堂中來。同學們應多觀察、分析發(fā)生在我們身邊的“經(jīng)濟問題”。解決這類問題的關鍵在于熟悉諸如成本、利潤、利息、增值、貶值、盈利、虧損、賺錢、賠本、售價、折扣、費用、股票等名詞術語，再加深對百分比、增長率等有關概念的理解和應用。例7 一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大2，如果個位數(shù)字與十位數(shù)字交換，比原數(shù)大18。求這個兩位數(shù)。解：設十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為x＋2。這個兩位數(shù)是10x＋（x＋2），交換后的兩位數(shù)是10（x＋2）＋x。根據(jù)題意得10（x＋2）＋x=[10x＋（x＋2）]＋18化簡得0x=0∴原方程有無數(shù)多個解。但因x＋x只能取0至9之間的數(shù)字，且x≠0，8，9，∴x=1，2，3，4，5，6，7?！嗨蟮膬晌粩?shù)分別為13，24，35，46，57，68，79。例8 要將含鹽30%的鹽水20千克變成含鹽50%的鹽水。問：（1）需蒸發(fā)掉多少千克的水？（2）需加入多少千克的鹽？（3）需加入60%的鹽水多少千克？解：（1）設需蒸發(fā)掉x千克水。根據(jù)題意得（20－x）50%=2030%解得x=8（2）設需加入y千克鹽。根據(jù)題意得2030%＋y=（20＋y）50%解得y=8（3）設需加入60%的鹽水z千克。根據(jù)題意得2030%＋60%z=（20＋z）50%解得z=40說明：濃度配比問題涉及的三個量是溶液的質(zhì)量、溶質(zhì)的質(zhì)量和百分比濃度，可歸納為稀釋類、加濃類和混合類三種基本類型。稀釋時，加溶劑前后，溶質(zhì)不變；加濃時，加溶質(zhì)前后，溶劑不變；混合前后的溶質(zhì)（或溶劑）不變。一元一次方程綜合問題及其應用例1 方程甲（x－4）=3x與方程乙x－4=4x的解相同，其根據(jù)是（ ）A． 甲方程的兩邊都加上了同一個整式x B．甲方程的兩邊都乘以了xC．甲方程的兩邊都乘以了 D．甲方程的兩邊都乘以了解：甲方程的兩邊都乘以同一個非零的數(shù)，所得到的新方程x－4=4x與原方程的解相同，故應選C。例2 如果等式1992＋1994＋1996＋1998=5000－□成立，則□中應填的數(shù)是（ ）A．5 B．－980 C．－1900 D．－2980解：設□中應填的數(shù)是x，則1992＋1994＋1996＋1998=5000－x即7980=5000－xx=5000－7980=－2980，應選D【說明】含有未知數(shù)物等式叫做方程，而1992＋1994＋1996＋1998=5000－□是含有未知數(shù)□的等式，因此是方程。在代數(shù)中，未知數(shù)一般用字母x、y、z表示。在中國古代數(shù)學中，未知數(shù)用天、地、人等表示，稱為“天元術”。本題中，未知數(shù)是用□表示的，因此，本題實質(zhì)上是解方程求未知數(shù)□。例3 若p，q都是質(zhì)數(shù)，以x為未知數(shù)的方程px＋5q=97的根是1，則p2－q=________。解：因為1是方程px＋5q=97的根，所以p1＋5q=97若p是奇數(shù)，5q應為偶數(shù)，q就只能是偶質(zhì)數(shù)2，此時p=97－52=87=329，與p為質(zhì)數(shù)的條件不符，所以只能p是偶質(zhì)數(shù)2。從而可得5q=95，q=19，是個質(zhì)數(shù)，所以p2－q=4－19=－15?！菊f明】本題是將方程根的概念與奇偶數(shù)分析結合起來考察的一道例題。檢驗一個數(shù)是否為方程的根，只需將該數(shù)代入方程，看這個數(shù)是否滿足方程即可。例4 有理數(shù)，8恰是下列三個方程(1)(2)3(2y＋1)=2（1＋y）＋3（y＋3）(3)的根，則的值等于______________。解：將，8代入方程（1），（2），（3）檢驗，知滿足方程（1），8滿足方程（2），滿足方程（3），所以x=，y=8，z=。因此=【說明】本題是將方程與代數(shù)式求值結合起來的綜合例題。關鍵是判斷，8各是哪個方程的根，可以這樣進行：先解一個方程，比如解第一個方程，求得；然后取和8中較易運算的一個，比如將8代入剩下的兩個方程之一，若8滿足這個方程，則必滿足剩下的那個方程；若8不滿足這個方程，則必滿足這個方程，8必滿足第三個方程。例5 解方程∣1990x－1990∣=1990分析：這是含有絕對值的方程，去掉絕對值符號可以變?yōu)閮蓚€一元一次方程來求解。因此是可化為一元一次方程的方程。解法一：原方程兩邊同除以1990得∣x－1∣=1。當x≥1時，由x－1=1得x=2當x1時，由x－1=－1得x=0經(jīng)檢驗，x=2，x=0都是原方程的根。解法二：若1990x≥1990，則1990x－1990=1990即1990x=3980得x=2若1990x1990，則1990x－1990=－1990，即1990x=0得x=0經(jīng)檢驗，x=2，x=0都是原方程的根。解法三：原方程兩邊同除以1990得，∣x－1∣=1∴x－1=1或x－1=－1解得x=2或x=0經(jīng)檢驗，x=2，x=0都是原方程的根。例6 ，，求正確的乘積應是多少？解：設相乘的正數(shù)是x。－=顯然,=。，問題就好辦了。為此，=y，即y=…?！?0y=…=＋…=＋y。∴9y=，y=。因此可得到方程=。解得x=180。180=180=1614=644例7 海灘上有一堆核桃，第一天猴子吃掉了這堆核桃的，又將4個扔到大海中；第二天猴子吃掉的核桃數(shù)加上3個就是第一天所剩核桃數(shù)的。若第二天剩下6個核桃，問海灘上原有多少個核桃？解：設海灘上原有核桃x個。第一天， 吃掉，扔掉4個，剩余x－－4=（－4）個；第二天， 吃掉的核桃數(shù)為[（－4）－3]個，剩余（－4）－[（－4）－3]=[（－4）＋3]個。已知第二天剩下6個核桃，所以可列出方程解得x=20檢驗知x=20符合題意，所以海灘上原來共有20個核桃。例8 A、B兩地相距126km，甲每小時行進20km，乙每小時行進16km。甲、乙兩人同時由A地出發(fā)向B地行進，甲到B后立即返回，問從A出發(fā)后幾小時，乙在去路上恰遇甲在歸途中？解法一：這是一個勻速運動的行程問題，甲時速為20km，乙時速為16km，其行進過程如右圖所示。甲由A到B后立即返回，在歸途中與乙在C點相遇，其中A—B—C表示了甲行進的路程，虛線A—C表示了乙行進的路程。設從A出發(fā)后x小時，甲在歸途中與乙在C點相遇。甲x小時共走了20xkm（AB＋BC的路程），乙x小時共走了16xkm（AC的路程），因此，甲、乙二人從A出發(fā)到在C點相遇共走了（20x＋16x）km的路程。我們發(fā)現(xiàn)，（20x＋16x）km的路程恰等于AB＋BC＋AC=2AB=2126km。抓住了這個等量關系，我們就可以列出方程20x＋16x=2126。解得x=7，即從A出發(fā)后7小時甲乙二人相遇。【說明】本例是個行程問題，解行程問題的基本公式是：路程=速度時間多數(shù)情況下是在路程或時間上尋求等量關系。上面的解法是在路程方面尋求等量關系，下面我們再從時間方面尋求等量關系來布列方程。解法二：設乙走的路程AC為xkm，則甲由A—B—C的路為（2126－x）km。乙行進xkm用了小時，甲行進（2126－x）km用了小時，由于這兩個時間應相等，于是可列出方程解得x=112（km）所以乙從A出發(fā)后=7(小時)，在去的路上恰遇甲于歸途中。例9 一架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24km，順風飛行需小時，逆風飛行需3小時，求兩個城市間的距離。分析：設兩個城市為A、B，若由A向B是順風飛行，則由B向A是逆風飛行。在勻速飛行中，順風飛行的速度=無風時的速度＋風速逆風飛行時的速度=無風時飛行的速度－風速解法一：設兩個城市之間的距離為xkm，則順風飛行的速度為，逆風飛行的速度為。由于飛機在無風時的速度是個定值，即順風飛行的速度－風速=逆風飛行的速度＋風速，所以可列出方程－24=＋24解得x=2448（km）解法二：設無風時飛機的飛行速度為xkm/h，則飛機順風時的飛行速度為（x＋24）km/h，逆風時的飛行速度為（x－24）km/h。順風飛行h與逆風飛行3h的路程應相等（等于AB的距離），于是可列出方程（x＋24）=3（x－24）解得x=840（km/h）繼而求出兩城市之間的距離為3（840－24）=2448（km）注：請同學們總結一下例9兩種列方程的方法各自抓住了什么樣的等量關系。例10 有含8%的鹽水40kg，要配成含鹽20%的鹽水，需要加鹽多少千克？分析：這是一道有關溶液濃度的問題。