【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 露） 春分 （秋分） 清明 （白露） 谷雨 （處暑） 立夏 （立秋） 小滿 （大暑） 芒種 （小暑） 夏至 晷影長(zhǎng) （寸） 135 125 115.1 105.2 95.3 75.5 66.5 45.7 35.8 25.9 16.0 已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為 寸，夏至晷影長(zhǎng)為 寸，那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為（ ） A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸 【考點(diǎn)】 函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用． 【分析】 設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列 {an}，公差為 d， a1=， a13=，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出． 【解答】 解：設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列 {an}，公差為 d， a1=， a13=， 則 +12d=，解得 d=﹣ ． ∴ a6=﹣ 5=． ∴ 《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)是 寸． 故選： C． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 10．設(shè) F F2是雙曲線 ﹣ =1（ a＞ 0， b＞ 0）的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn) P，使（ + ） ? =0（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），且 2| |=3| |，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】 由向量減法法則和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可得 = =c，從而得 到 △ PF1F2 是以為 F1F2 斜邊的直角三角形．由此結(jié)合 ，運(yùn)用勾股定理算出 c， c，再根據(jù)雙曲線的定義得到 2a的值，即可得到該雙曲線的離心率． 【解答】 解： ∵ = ∴ ， 得 ﹣ =0，所以 = =c ∴△ PF1F2中，邊 F1F2上的中線等于 |F1F2|的一半，可得 ⊥ ∵ ， ∴ 設(shè) ， ，（ λ＞ 0） 得（ 3λ） 2+（ 2λ） 2=4c2，解得 λ= c ∴ c， c 由雙曲線的定義，得 2a=| |= c ∴ 雙曲線的離心率為 e= = 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出雙曲線上一點(diǎn) P 滿足 ∠ F1PF2 為直角，且兩 直角邊之比為 ，求雙曲線的離心率，著重考查了向量的運(yùn)算和雙曲線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題． 11．已知集合 M={（ x， y） |y=f（ x） }，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)（ x1， y1） ∈ M，存在（ x2， y2） ∈ M，使 x1x2+y1y2=0 成立，則稱集合 M 是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”，給出下列四個(gè)集合： ① M={（ x， y） |y= }； ② M={（ x， y） |y=sinx+1}； ③ ={（ x， y） |y=2x﹣ 2}； ④ M={（ x， y） |y=log2x} 其中是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”的序號(hào)是（ ） A． ②③④ B． ①②④ C． ①③ ④ D． ①②③ 【考點(diǎn)】 集合的表示法． 【分析】 利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，根據(jù)題意，若集合 M={（ x， y） |y=f（ x） }是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”，就是在函數(shù)圖象上任取一點(diǎn) A，得直線 OA，過(guò)原點(diǎn)與 OA 垂直的直線 OB，若 OB 總與函數(shù)圖象相交即可． 【解答】 解：由題意，若集合 M={（ x， y） |y=f（ x） }滿足： 對(duì)于任意 A（ x1， y1） ∈ M，存在 B（ x2， y2） ∈ M，使得 x1x2+y1y2=0 成立， 因此 ．所以，若 M 是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”， 那么在 M 圖象上任取一點(diǎn) A，過(guò)原點(diǎn)與直線 OA 垂直的直線 OB 總與函數(shù)圖象相交于點(diǎn) B． 對(duì)于 ① ： M={（ x， y） |y= }，其圖象是過(guò)一、二象限，且關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 所以對(duì)于圖象上的點(diǎn) A，在圖象上存在點(diǎn) B，使得 OB⊥ OA，所以 ① 符合題意； 對(duì)于 ② ： M={（ x， y） |y=sinx+1}，畫(huà)出函數(shù)圖象， 在圖象上任取一點(diǎn) A，連 OA，過(guò)原點(diǎn)作直線 OA 的垂線 OB， 因?yàn)?y=sinx+1 的圖象沿 x 軸向左向右無(wú)限延展，且與 x 軸相切， 因此直線 OB 總會(huì)與 y=sinx+1 的圖象相交． 所以 M={（ x， y） |y=sinx+1}是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”，故 ② 符合題意； 對(duì)于 ③ ： M={（ x， y） |y=2x﹣ 2}，其圖象過(guò)點(diǎn)（ 0，﹣ 1）， 且向右向上無(wú)限延展，向左向下無(wú)限延展， 所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點(diǎn) A，連 OA， 過(guò)原點(diǎn)作 OA 的垂線 OB 必與 y=ex﹣ 2 的圖象相交，即一定存在點(diǎn) B，使得 OB⊥ OA 成立， 故 M={（ x， y） |y=2x﹣ 2}是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”．故 ③ 符合題意； 對(duì)于 ④ ： M={x， y） |y=log2x}，對(duì)于函數(shù) y=log2x， 過(guò)原點(diǎn)做出其圖象的切線 OT（切點(diǎn) T 在第一象限）， 則過(guò)切點(diǎn) T 做 OT 的垂線，則垂線必不過(guò)原點(diǎn)， 所以對(duì)切點(diǎn) T，不存在點(diǎn) M，使得 OM⊥ OT， 所以 M={（ x， y） |y=log2x}不是 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”；故 ④ 不符合題意． 故選： D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查 “垂直對(duì)點(diǎn)集 ”的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用． 12．定義在（ 1， +∞ ）上的函數(shù) f（ x）滿足下列兩個(gè)條件：（ 1）對(duì)任意的 x∈（ 1， +∞ ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）當(dāng) x∈ （ 1， 2]時(shí)， f（ x） =2﹣ x；記函數(shù) g（ x） =f（ x）﹣ k（ x﹣ 1），若函數(shù) g（ x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是（ ） A． [1， 2） B． C． D． 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【分析】 根據(jù)題中的條件得到函數(shù) 的解析式為： f（ x） =﹣ x+2b， x∈ （ b， 2b]，又因?yàn)?f（ x） =k（ x﹣ 1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可 【解答】 解：因?yàn)閷?duì)任意的 x∈ （ 1， +∞ ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立，且當(dāng) x∈ （ 1， 2]時(shí)， f（ x） =2﹣ x 所以 f（ x） =﹣ x+2b， x∈ （ b， 2b]． 由題意得 f（ x） =k（ x﹣ 1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）的直線， 如圖所示紅色的直線與線段 AB 相交即可（可以與 B 點(diǎn)重合但不能與 A 點(diǎn)重合） 所以可得 k 的范圍為 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 解決此類問(wèn) 題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必備的解題工具． 二、填空題 13．若兩個(gè)非零向量 滿足 ，則向量 與 的夾角是 120176。 ． 【考點(diǎn)】 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角． 【分析】 將已知等式 平方得到 的模的關(guān)系及 ，然后利用向量的數(shù)量積公式求出 的夾角． 【解答】 解： ∵ = = ∴ ， ∴ （ + ） ?（ ﹣ ） =﹣ 2| |2， 設(shè) 的夾角為 θ cosθ= ∵ θ∈ [0176。， 180176。] ∴ θ=120176。 故答案為 120176。 【點(diǎn)評(píng)】 求兩個(gè)向量的夾角，一般利用向量的數(shù)量積公式來(lái)求出夾角的余弦，進(jìn)一步求出夾角，但一定注意向量夾角的范圍為 [0176。， 180176。] 14．已知（ ﹣ ） 5的展開(kāi)式中含 x 的項(xiàng)的系數(shù)為 30，則實(shí)數(shù) a= ﹣ 6 ． 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，列出方程即可求出 r 與 a 的值． 【解答】 解：（ ﹣ ） 5展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為： Tr+1= ? ? =（﹣ a） r? ? ， 令 = ，解得 r=1； 所以展開(kāi)式中