【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 本概念）第四節(jié) 圖形的消隱技術(shù)（自修，只要求掌握基本概念）第五節(jié) 圖形的光照處理技術(shù)（自修，只要求掌握基本概念）第四章 三維幾何建模技術(shù)三維幾何建模是CAD/CAM系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)的核心內(nèi)容。第一節(jié) 基 本 概 念一、幾何建模的定義20世紀(jì)70年代中期發(fā)展起來(lái)的，它是一種通過(guò)計(jì)算機(jī)表示、控制、分析和輸出幾何實(shí)體的技術(shù)。幾何建模就是以計(jì)算機(jī)能夠理解的方式，對(duì)幾何實(shí)體進(jìn)行確切的定義，賦予一定的數(shù)學(xué)描述，再以一定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)形式對(duì)所定義的幾何實(shí)體加以描述，從而在計(jì)算機(jī)內(nèi)部構(gòu)造一個(gè)實(shí)體的模型。定義、描述的幾何實(shí)體必須是完整的、唯一的。而且能夠從計(jì)算機(jī)內(nèi)部模型上提取該實(shí)體的全部信息。二、二維繪圖與三維建模二維繪圖是早期的CAD/CAM系統(tǒng)的主要功能，但圖形不能自動(dòng)繪制，也不能聯(lián)動(dòng)更新?，F(xiàn)代CAD/CAM系統(tǒng)都是采用三維幾何建模，可以真實(shí)地、完整地、清晰地描述物體，是CAD/CAM技術(shù)發(fā)展的主流。三、三維建模技術(shù)基礎(chǔ)三維形體的幾何信息和拓?fù)湫畔缀涡畔ⅲ阂粋€(gè)物體在三維歐氏空間中的形狀、位置和大小。強(qiáng)調(diào)對(duì)一個(gè)單一基本幾何元素的具體準(zhǔn)確描述。舉例：直線的表示。拓?fù)湫畔ⅲ憾鄠€(gè)單一基本幾何元素之間的鄰接關(guān)系。舉例：立方體的面、邊、點(diǎn)之間的關(guān)系。形體的定義(1)體：由封閉表面圍成的有效空間，其邊界是有限個(gè)面的集合。(2)殼：由一組連續(xù)的面圍成的，實(shí)體的邊界稱為外殼，如果殼所包圍的空間是個(gè)空集則為內(nèi)殼。(3)面：形體表面的一部分，具有方向性，它由一個(gè)外環(huán)和若干個(gè)內(nèi)環(huán)界定其有效范圍。(4)環(huán)：有序、有向的邊組成的封閉邊界。環(huán)有內(nèi)環(huán)、外環(huán)之分，外環(huán)最大且只有一個(gè)，內(nèi)環(huán)的方向與外環(huán)相反。(5)邊：兩相鄰或多個(gè)鄰面的交線。(6)點(diǎn)：是邊的端點(diǎn)。(7)體素：如立方快、圓柱、球、環(huán)等。正則集合運(yùn)算見(jiàn)p57圖45。四、三維幾何建模技術(shù)的發(fā)展早期的CAD系統(tǒng)以平面圖形的處理為主。最早的三維CAD系統(tǒng)所用到的數(shù)據(jù)模型是線框模型，用線框表示三維形體，沒(méi)有面和體的休息。第一次CAD革命：法國(guó)Renault汽車(chē)公司的Bezier提出了Bezier曲線、曲面。第二次CAD革命：美國(guó)SDRC公司于1979年發(fā)布世界上第一個(gè)完全基于實(shí)體造型技術(shù)的大型CAD/CAM系統(tǒng)IDEAS。第三次CAD革命：參數(shù)化建模理論誕生。典型代表，美國(guó)PTC公司推出的基于特征、全尺寸約束、全數(shù)據(jù)相關(guān)、尺寸驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)修改的Pro/E系統(tǒng)。第四次CAD革命：基于變量化技術(shù)的造型技術(shù)。美國(guó)SDRC公司推出的IDEAS Master SeriesCAD/CAM系統(tǒng)。第二節(jié) 線 框 建 模一、線框建模的原理線框建模由一系列的點(diǎn)、直線、圓弧及某些二次曲線組成，描述產(chǎn)品的輪廓外形。其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是表結(jié)構(gòu)。二、線框建模的特點(diǎn)所需信息量少，數(shù)據(jù)運(yùn)算簡(jiǎn)單，對(duì)硬件占據(jù)的存儲(chǔ)空間比較小，要求不高。但沒(méi)有面的信息，存在多義性，不能進(jìn)行消隱。關(guān)于曲線、曲面的預(yù)備知識(shí)：三維空間向量的基本概念、向量的加減、向量與標(biāo)量的乘法、向量的點(diǎn)乘與叉乘、向量平行或垂直的判別方法。對(duì)于非零向量A=[a1,a2,a3]，B=[b1,b2,b3]，AB = a1 b1 + a2 b2+ a3 b3A⊥B的充要條件是AB = 0。A∥B的充要條件是A╳B = 01點(diǎn)二維空間P(x,y)，三維空間P(x,y,z)。2平面直線l 兩點(diǎn)式方程：已知直線上的點(diǎn)p1(x1,y1)和p2(x2,y2)，則方程為：l 標(biāo)準(zhǔn)方程（由兩點(diǎn)式方程推出）Ax+By+C=0 (A2+B2 ≠ 0)l 斜截式方程：已知斜率k和Y軸上的截距by=kx+bl 點(diǎn)斜式方程：已知斜率k，直線通過(guò)點(diǎn)（x0,y0）y=k(xx0)+y0l 法線式方程設(shè)N為從原點(diǎn)o到直線l的垂足，D=|ON|，θ為矢量ON與x軸正向夾角。設(shè)P(x,y)為直線上任意一點(diǎn)，則有而于是(*)變?yōu)閤cosθ+ysinθ=D注：利用這種思想推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式l 直線的參數(shù)方程（讓學(xué)生上來(lái)推導(dǎo)）設(shè)直線l的傾斜角為α，且通過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0)，則有(其中t為任意實(shí)數(shù)，表示P0P的有向長(zhǎng)度。)若直線通過(guò)兩點(diǎn)p1(x1,y1)、p2(x2,y2)，則(其中t為任意實(shí)數(shù)，表示P1P是P1P2在有向長(zhǎng)度上的倍數(shù)。)特別地，如果0≤t≤1，則動(dòng)點(diǎn)p在PP2兩點(diǎn)之間。矢量形式：P = (1t)P1+tP2 t = p1p/p1p23平面圓與圓弧圓的解析方程(xxc)2+(yyc)2=R2其中(xc,yc)為圓心，R為半徑。圓的參數(shù)方程(0≤θ≤2π)，若限定a≤θ≤b，即為圓弧的參數(shù)方程。4曲線的矢量方程與參數(shù)方程對(duì)于空間任意一點(diǎn)P，可以用對(duì)應(yīng)的位置矢量r = OP表示。所以對(duì)于空間曲線，只需研究曲線上動(dòng)點(diǎn)的位置矢量的變化規(guī)律?？臻g曲線的方程可表示為：r = r(t) = [x(t), y(t) , z(t)]所以，參數(shù)方程就是例題：求空間右手螺旋線的矢量方程與參數(shù)方程。設(shè)螺旋線以正Z坐標(biāo)軸為軸線，起點(diǎn)S落在正X軸上, 螺旋線的半徑為a，動(dòng)點(diǎn)P在螺旋線上的運(yùn)動(dòng)角速度為ω，沿軸線向上勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，所以參數(shù)方程為(其中t表示運(yùn)動(dòng)時(shí)間。)矢量方程為，r = r(t) = [acosωt, asinωt,vt]5曲面的矢量方程與參數(shù)方程對(duì)于平面域[0,a][0,b]上的任意一點(diǎn)p(u0,v0)，按照函數(shù)的映射關(guān)系對(duì)應(yīng)于三維空間中的點(diǎn)R(u0,v0)?？臻g曲面的矢量方程可表示為：R = R(u,v) = [x(u,v), y(u,v) , z(u,v)]所以，參數(shù)方程就是5矢函數(shù)的求導(dǎo)矢函數(shù)導(dǎo)矢仍然是一個(gè)矢函數(shù)，它表示曲線上一點(diǎn)的切線矢量，并指向曲線參數(shù)增長(zhǎng)的方向。關(guān)于導(dǎo)矢的基本運(yùn)算法則：C’ = 0 (C為常矢)；[r1(t)+r2(t)]’ = r1’(t)+r2’(t)；[Kr(t)]’ = K r’(t) (其中K為常數(shù))；[f(t)?r(t)]’ = f’(t) ?r(t)+ f(t) ?r’(t) (其中f(t)為數(shù)量函數(shù))；[r1(t)?r2(t)]’ = r1’(t) ?r2(t)+ r1(t) ?r2’(t)；[r1(t)r2(t)]’ = r1’(t) r2(t)+ r1(t) r2’(t)；r’’(t) = [x’’(t),y’’(t),z’’(t)]；……r(n)(t) = [x(n) (t),y(n) (t),z(n) (t)]。6矢函數(shù)的導(dǎo)矢及其應(yīng)用利用導(dǎo)矢可以求出空間曲線r = r(t) = [x(t), y(t) , z(t)]上任意一點(diǎn)t = t0的切線方程與法平面方程。切線方程：r = r(u) = r(t0) + u r’(t0)= [x(t0), y(t0) , z(t0)] + u [x’(t0), y’(t0) , z’(t0)]相應(yīng)的參數(shù)方程為x = x(t0) + u x’(t0)y = y(t0) + uy’(t0)z = z(t0) + uz’(t0)其中u為實(shí)數(shù)。