第三章連續(xù)系統(tǒng)仿真方法學(xué)(編輯修改稿)
2024-08-28 13:01 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 式： 其中 迭代公式由 Taylor展開并保留 h2項(xiàng)獲得 注意： RK方法實(shí)質(zhì)是用均差代替導(dǎo)數(shù)， 其中 k項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)可任選 1 1 1 2( ) ( )2k k khy t y y k k??? ? ? ?121( , )( , )kkkkk f t yk f t h y k h??? ? ? ??四階形式（固定步長(zhǎng)）： 其中 四階形式在精度和復(fù)雜度方面都有較好的表現(xiàn)，最常用 Euler法與 RK法計(jì)算時(shí)僅用到前一步的結(jié)果， 稱單步法，已知初值后可自啟動(dòng) 1 1 1 2 3 4( ) ( 2 2 )6k k khy t y y k k k k?? ? ? ? ? ? ?1213243( , )( / 2 , / 2 )( / 2 , / 2 )( , )kkkkkkkkk f t yk f t h y k hk f t h y k hk f t h y k h???? ? ???? ? ??? ? ? ??Adams法 (多步法 ) Euler法是用矩形公式（面積）近似定積分，在曲線與矩形的邊之間有較大誤差； Adams法考慮用梯形公式（面積）代替矩形公式 稱二階隱式 Adams法公式 因公式右端包含未知項(xiàng)，不能直接求解，可以用迭代法求解，設(shè)有初值 迭代公式： 直至規(guī)定的精度 11 1 1( , ) [ ( , ) ( , ) ] ( )22kktk k k k k kthhf t y d t f t y f t y f f?? ? ?? ? ? ??11 ()2k k k khy y f f??? ? ?(0)1ky?( ) ( 1 )1 1 1[ ( , ) ( , ) ]2nnk k k k k khy y f t y f t y?? ? ?? ? ?隱式迭代計(jì)算步數(shù)太多，為此可降低精度，設(shè)計(jì)顯式Adams法，公式： Adams法的統(tǒng)一形式為： 算法特點(diǎn)：多步法，不能自啟動(dòng)，隱式方法還需迭代求解 實(shí)際應(yīng)用中，先用顯式法計(jì)算初值，再用隱式法校正一次，稱預(yù)報(bào) 校正法 與 RK法比較，同樣階次和精度下 Adams法計(jì)算次數(shù)較少 1 1 1 1( ) [ 3 ( , ) ( , ) ]2k k k k k k khy t y y f t y f t y? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 0 1 1[]k k k k N k Ny y h B f B f B f? ? ? ? ?? ? ? ? ?算法分析 ? 穩(wěn)定性分析 試驗(yàn)方程： 若數(shù)值積分公式為 其中 是一個(gè)高階多項(xiàng)式函數(shù) 僅當(dāng) 時(shí)算法才穩(wěn)定 如 Euler法穩(wěn)定條件為 隱式一階、二階 Adams法恒穩(wěn)定，更高階條件穩(wěn)定 RK法正好相反，階次越高穩(wěn)定域越大 , , R e 0dy yidt ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 ()kky p h y?? ?()ph?( ) 1ph ? ?11h ???? 積分步長(zhǎng)的選擇與控制 兩個(gè)原則：保證穩(wěn)定性，要求一定的計(jì)算精度 受穩(wěn)定性限制， h應(yīng)在系統(tǒng)中最小時(shí)間常數(shù)量級(jí) 如 RK4，要求步長(zhǎng)小于系統(tǒng)中最小時(shí)間常數(shù)的 實(shí)際應(yīng)用中對(duì)大量的仿真計(jì)算可以考慮采用變步長(zhǎng)法自動(dòng)改變步長(zhǎng) Matlab中 Simulink仿真時(shí)缺省的數(shù)值積分法為變步長(zhǎng)法 如 RKM34法 首先進(jìn)行誤差估計(jì)： 分別找一個(gè)三階和一個(gè)四階 RK公式： 1 1 3 4 51 1 4 5? ( 3 9 12 6 )30( 4 )6kkkkhy y k k k khy y k k k??? ? ? ? ?? ? ? ?其中 1213 1 24 1 35 1 3 4( , )( / 3 , / 3 )( / 3 , / 6 / 6)( / 2 , / 8 3 / 8 )( , / 2 3 / 2 2 )kkkkkkkkkkk f t yk f t h y k hk f t h y k h k hk f t h y k h k hk f t h y k h k h k h???? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ??則誤差為 1 1 1 1 3 4 5? ( 2 9 8 )30k k khE y y k k k k? ? ?? ? ? ? ? ?變步長(zhǎng)策略： 設(shè)定一個(gè)最小誤差限 ，一個(gè)最大誤差限 每一步的局部誤差取為 ，第 k+1步有效，下一步用 2h積分； ，保持 h不變； ，第 k+1步無(wú)效，步長(zhǎng)變?yōu)?h/2 min? max?1 1 1/( | | 1 )k k ke E y? ? ???1 m inke ?? ?m in 1 m a xke?????1 m axke ?? ?三、離散相似法 原理：將連續(xù)模型離散化后再仿真計(jì)算 形式： 傳遞函數(shù) → Z傳遞函數(shù)： Z域離散相似模型， 狀態(tài)空間模型 → 離散狀態(tài)方程：時(shí)域離散相似模型， 右邊第三項(xiàng)表示使用一階保持器增加的項(xiàng) ( ) { ( ) ( ) }hG z Z G s G s??[ ( 1 ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )mmx k T T x k T T u k T T u k T? ? ? ? ? ? ?x A x B u?? → 由采樣定理，為使離散相似模型中重構(gòu)的信號(hào)能精確表示原信號(hào)，應(yīng)有采樣時(shí)間小于系統(tǒng)最小時(shí)間常數(shù)的一半，或者采樣頻率是最大信號(hào)頻率的兩倍 離散相似法的優(yōu)點(diǎn)：不易受模型方程特性的影響，尤其對(duì)特征根相差較大的系統(tǒng)十分有效，計(jì)算速度也更快；但有的模型不易離散化 的計(jì)算誤差； u(t)在采樣間隔中的近似處理 對(duì) 后者 ，當(dāng)輸入是典型函數(shù)時(shí)，可通過(guò)增廣矩陣法消除誤差 誤差處理 考慮時(shí)域離散相似法，誤差來(lái)源： ATe狀態(tài)方程 的解為： 對(duì)典型函數(shù)，考慮將輸入 u(t)增廣到狀態(tài)向量 x(t)中，得 齊次解，避免積分近似出現(xiàn)的誤差 0( ) (0 ) ( )tA t A t Ax t e x e e B u d? ????? ?x A x B u??( ) ( 0)Atx t e x?增廣矩陣法示例 Ⅰ 假設(shè)系統(tǒng)為 n階，模型 x A x B uy C x???? ?? 0(0)xx?對(duì)階躍輸入 0( ) 1( )u t U t??定義 1 ( ) ( )nx t u t? ?，則 1 ( ) 0nxt? ?增廣后的狀態(tài)方程及輸出方程為 1100nnxxAB??? ? ? ????? ? ? ?????? ? ? ?? ?10nxyCx ????????初始條件 01 0( 0)( 0)nxxx U????? ??????? ??
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