【文章內容簡介】 矩陣 。 12211( ) ( )?? ?( ) ( )nk i i k j jij ij kijnnii jj ii jjk i i k j jkkx x x xsrssx x x x????????? ? ??????? ? ? ? ? ?12? ? , , , , ,i j i j ps x x x? ?? ? ?Σ Sx? ?? ijr?R22 二、估計量的性質 ? ? ? ? 23 ? 如果 ，則稱估計量 是被估參數(shù) θ的一個 無偏估計 ，否則就稱為 有偏的 。 ? 。 ? ， 是 Σ的有偏估計。 ? E(S)=Σ。 ? ??E ?θ θ ?θ? ?E ?x μ? ? 1? nE n??Σ Σ?Σ24 ? 證明 25 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?11111?=1=11 1 1 1niiiniiiniiiniiEEnEnEnnnV nV n nn n n n??????????????? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ?? ? ? ? ? ???????? ??? ? ? ? ? ?????????????Σ x x x xx μ x μ x μ x μx μ x μ x μ x μxx Σ Σ Σ ? 設 是 θ的一個無偏估計，若 對 θ的 任一 無偏估計 有 即 為 非負定矩陣，則 稱 為 θ的 一致最優(yōu)無偏估計 。 ? 可以 證明，對于多元正態(tài)總體 ， 和 S分別是 μ和 Σ的一致最優(yōu)無偏估計。 26 ?θ θ? ? ? ??VV ??θ θ θ Θ，? ? ? ??VVθ θ ?θx ? 如果未知參數(shù) θ（ 可以是一個向量或矩陣 ） 的估計量 隨著樣本容量 n的不斷增大，而無限地逼近于真值 θ，則稱 為 θ的一致估計，或稱相合估計。 ? 估計量的一致性是在大樣本情形下提出的一種要求，而對于小樣本，它不能作為評價估計量好壞的準則。 ? 可以證明， 和 （ 或 S） 分別是 μ和 Σ的一致估計 （ 無需總體正態(tài)性的假定 ） 。 27 ?nθ?nθx ?Σ ? 如果一個統(tǒng)計量能把含在樣本中的有關 總體 （ 或 有關未知 參數(shù) ） 的 信息一點都不損失地充分提取出來，則這種統(tǒng)計量就稱為 充分統(tǒng)計量 。 ? 可以 證明，對于總體 Np(μ,Σ)，當 Σ已知時 ， 是 μ的充分統(tǒng)計量；當 μ已知時 ， 是 Σ的充分統(tǒng)計量；當 μ和 Σ均未知時， ( ,A)是 (μ,Σ)的充分統(tǒng)計量 。 ? 用來 作為估計量的充分統(tǒng)計量稱為充分估計量。 A, ,S這三者之間只相差一個常數(shù)倍，所含 的信息 完全相同 ， 故當 μ和 Σ均未知時 ， 也 都是 (μ, Σ)的 充分統(tǒng)計量。 ? 若 按 無偏性的準則 ， 則 可 采用 ( ,S)作為未知參數(shù) (μ,Σ)的充分估計量。 28 x? ? ? ?11= niiin ?????Σ x μ x μx?Σ? ? ? ??,x Σ xS和x167。 復相關系數(shù)和偏相關系數(shù) ?一、復相關系數(shù) ?*二、最優(yōu)線性預測 ?三、偏相關系數(shù) 29 一、復相關系數(shù) ? （簡單） 相關系數(shù)度量了一個隨機變量 x與另一個隨機變量 y之間線性關系的強弱。 ? 復相關系數(shù)度量了一個隨機變量 y與一組隨機變量x1,x2,…, xp之間線性關系 的強弱。 ? 設 ,1yy xyyxy xxxxyxy xxyyEVy?? ?????? ? ? ??? ????? ? ? ?? ? ? ??? ???????? ?????? ??σσ Σμxxρρ Rx的 相 關 矩 陣30 ? 則 y和 x的線性函數(shù) l′x（ l ≠0） 間 的最大相關系數(shù)稱為 y和 x間 的 復 （ 或 多重 ） 相關系數(shù) （ multiple correlation coefficient） ， 記作 ρyx或 ρy1,2,? ,p，它度量了一個變量 y和一組變量 x1,x2,? ,xp間的相關 程度 。 ? 若 x1,x2,?,xp互不相關， 則有 31 ? ? ? ?111m a x , ,y x y x xx y x x x yx y x x x yyyyy? ? ??????????????xllx σ Σ xσ Σ σρ R ρ0? ? ? ?21221,y xy xx xy xy xypy x y x????????? ? ?x ρ R ρ ρ ρ? 例 試證 隨機變量 x1, x2,?, xp的任一線性函數(shù)F=a1x1+a2x2+?+apxp與 x1, x2,?, xp的復相關系數(shù)為 1。 ? 證明 32 ? ?? ?1 , 2 , , 1 1 2 21 1 2 21 , 2 , ,1 m ax ,11F p p pppFpF l x l x l xF a x a x a x?????? ? ? ? ?? ? ? ? ???l 0ρy?x的極大似然估計 ? 設 這里 np，則在多元正態(tài)的假定下，復相關系數(shù) ρyx的極大似然估計 為 稱為 樣本復相關系數(shù) 。 1?xyyy xyxy xx xy xxsyyV ?? ????? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ??? ??rssSxx rR樣 本 ， 的 樣 本 相 關 矩 陣33 11?xy xx xyy xy xx xyyyr s??? ???xs S s r R r? 例 今 對 31個人進行人體測試，考察或測試的七個指標是： 年齡 (x1)、體重 (x2)、肺活量 (x3)、 英里跑的時間 (x4)、休息時的脈搏 (x5)、跑步時的脈搏 (x6)和跑步時記錄的最大脈搏 (x7)。數(shù)據(jù)列于表。 ? 可算得 x3與 x1,x2,x4,x5,x6,x7的樣本復