【文章內(nèi)容簡介】 Y g X???????????????顯 然 ：的 特 征 函 數(shù) 是 隨 機 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 ；連 續(xù) 隨 機 變 量 的 特 征 函 數(shù) 傅 氏 變 換 對 ；方 便 隨 機 變 量 變 換 后 新 的 隨 機 變 量 概 率 密 度 函 數(shù) 的 求 取 ：( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )1 ( ) ( )2j Y j g X j g xYjyYC E e E e e p x dxp y C e d? ? ???????????????? ? ????sin[ ] [ ] si n22 C ( ) [ ] ( )1 ( ) , ( )22 a rj Y j xYX Y XE e e p x dxp x xx???????????????? ? ???例 題 為 ， 上 的 均 勻 分 布 隨 機 變 量 ， 求 的 概 率 密 度 函 數(shù) 。解 ：212211c si n111 C ( ) ( ) ( 1 )11jyYy dx dyye dy p y yyy?????????? ? ? ????0031 ( ) ( ) [ ] [ ] [ 1 ] ( 0 ) ( ) ( 0 ) = 12 ( )Xj X j XXXXXCC E e E e E CCCY g X a X b?????? ? ? ??? ? ?、 特 征 函 數(shù) 的 性 質(zhì)總 是 存 在 的 ， 即或設(shè) ， 則0122 1 2 1 21 1 2 2 1 2 ( ) ( )3 ( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) jbYXC C a eXXp x x p x p xC p x C p x Y X X???????? ? ? ?設(shè) 和 統(tǒng) 計 獨 立 ， 即而 ， ， 則 對 于 有121200121121 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YnnkknY n kkC C Cp y p x p xn X X XYXC C C C C? ? ?? ? ? ? ???????????顯 然 ，將 性 質(zhì) 推 廣 到 個 統(tǒng) 計 獨 立 的 隨 機 變 量 、 、 ，設(shè) ， 則212122221[ ] 011 ( ) e xp ( )22 ( ) ( ) e xp ( ) ( 1 , 2 , )2knxnkkkxxjxxk k knkkX X XXXnxpxnC e p x dx k nY X C?????????????????? ? ? ?????例 題 設(shè) 、 、 為 統(tǒng) 計 獨 立 的 正 態(tài) 分 布 隨 機 變 量 ， 均 值 為 ， 方 差 為 ，求 它 們 算 術(shù) 平 均 的 概 率 密 度 函 數(shù) 。解 ： 由 題 設(shè) ，個 隨 機 變 量 的 特 征 函 數(shù) 為 ：設(shè) ， 則22122222( ) ( ) e xp ( )21( ) ( ) e xp ( )20 ( ) () e xp ( )22knxxYkkxxYXxnCX Y C Cn n nXnnpXnxx???????????????? ? ?? ? ? ? ??而即 ， 也 是 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 ， 均 值 為 ， 方 差 為 明 顯 變 小的 概 率 密 度 函 數(shù) 為 ：004( ) ( )() — — ( )()( ) [ ]()[ ] ( ) ( ) ( ) =0jxXjxXXkk k k XkXC e p x dxdCjx e p x dxddCj x p x dx E XddCE X x p x dx jdkC T ay??????????????????????????????????? ? ?? ? ?????、 特 征 函 數(shù) 與 原 點 矩 的 關(guān) 系對 特 征 函 數(shù) 求 的— — 1 階導(dǎo) 數(shù) 有于 是 ，同 理 ，將 在點 矩階 點處原原 矩000() () ( ) [ ]!!kkkkXX kkklordC jC E Xk d k???????????????級 數(shù) 展 開 ， 可 得 特 征 函 數(shù) 與 原 點 矩 的 關(guān) 系 ：2222 2 2102222 2 22002 2 2 2 222[ ] ( 0 , )( ) e xp( )22[ ] ( ) e xp( ) 022()[ ] ( ) e xp( )22 e xp( ) e xp(22xxXxxxXxx x xxxX N XCE X jdCE X jd????????? ? ???????? ? ?? ? ?? ?????????? ? ? ? ????????? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?例 題 設(shè) ， 求 的 各 階 矩 。解 ： ， 則一 階 矩 ：二 階 矩 ：20344)2[ ] =0[ ] =31 , 3 , 5 , ( 1 ) []0 xxkxkEXEXkkk E Xk????????????? ??????三 階 矩 ：四 階 矩 ：為 偶 數(shù)階 矩 ：為 基 數(shù)1 1 2 2 1 1 2 2122 1 212 1 2 2 1 2 1 2125( , ) ( , ) [ ] ( , ) j X j X j x j xXXp x xC E e p x xFou ri e re dx dxXX? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??????、 多 維 隨 機 變 量 的 特 征 函 數(shù)首 先 分 析 二 維 隨 機 變 量 和 。設(shè) 它 們 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 函 數(shù) 為 ， 則 二 維 特 征 函 數(shù) 定 義 為 ：和 的二 維 變 換聯(lián) 合 概 率1 1 2 212 1 22 1 2 12 1 2 1 2201 2 12 1 2 1 1 2 2012 1 2 1 210( , )1 ( , ) ( , )( 2 )1 . ( , ) ( ) ( )2 . ( , ) ( , )(3.j x j xCp x x C e d dX X C CFou rCCrCie????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ?????密 度 函 數(shù) 可 由 的 得 到 ：二 維 特 征 函 數(shù) 的 性 質(zhì) ：和 統(tǒng) 計 獨 立 的 充 要 條 件 為 ： ；在 平 面 上 一 直 連 續(xù) ；二 維 特 征 函 數(shù) 表 征 了 一 維 特 征 函 數(shù) ：逆 變 換1 12 12 2 12 2) ( , 0)( ) ( 0 , )CCC????????221 1 1 2 2 212 1 21212 1 212221 1 1 1 2 2 2 22 2 21 1 2 2( , ) ( , )( , )1( , )21( ) 2 ( ) ( ) ( )1 e xp2( 1 )X N m X N mCp Fo uri e rp x xx m x m x m x m??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?????????? ? ? ???? ? ??????? ???例 如 ： 正 態(tài) 隨 機 變 量 ， ，它 們 的 歸 一 化 相 關(guān) 系 數(shù) 為 ， 則 它 們 的 二 維 特 征 函 數(shù)可 直 接 通 過 求 二 維 聯(lián) 合 概 率 密 度 的 變 換 得 到 。2 2 2 212 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2221 1 2 22 2 2 21 1 2 212 1 21 ( , ) e xp ( 2 )2( 0 , ) ( 0 , ) ( , ) e xp( )2C jm jmX N X NC? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????? ? ? ? ??????????若 ， ， 且 統(tǒng) 計 獨 立 （ =0 ） ， 則1 1 2 2121 2 1 2121 2 1 21 1 2( , , , )( , , , ) ( , , , )( , , , )( , , , ) ( , , , ) e xp(nnnn n n nnnj X j X j Xn n n nnn X X Xp x x x n Cp x x x Fo uri e rC E e p x x xj x j x? ? ?? ? ?? ? ???? ? ?????????? ?一 般 情 況 下 ， 維 隨 機 變 量 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為， 其 維 特 征 函 數(shù) 與是 一 對 變 換 對 ：2 1 21 2 1 21 1 2 2 1 2)1( , , , ) ( , , , )( 2 ) e xp( )n n nn n n nnnn n nj x dx dx dxp x x x Cj x j x j x d d d?? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ??? ?第一章 隨機信號分析 ?隨機變量及其特征 ?隨機過程及其統(tǒng)計特性 ?平穩(wěn)及各態(tài)歷經(jīng)信號 ?隨機信號的相關(guān)性與功率譜 ?時間序列及其模型 隨機信號（過程） ?隨機信號的概率密度函數(shù)和相關(guān)函數(shù)； ?平穩(wěn)隨機過程的集平均和時間平均； ?隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性； ?隨機信號的頻域分析方法 —— 功率譜密度函數(shù)