一類具免疫控制的sir傳染病模型的穩(wěn)定性doc(編輯修改稿)
2025-08-28 02:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 穩(wěn)定的。定理3 令，當(dāng)，時，地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)（3）在地方病平衡點處的Jacobi矩陣為： ，其中： ，其中：，則系統(tǒng)（3）所對應(yīng)的特征方程為：，其中： ， ，令，當(dāng)，時，有，所以其特征根為負(fù)實根，從而地方病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的。定理4 當(dāng)時，無病平衡點在區(qū)域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。證明：當(dāng)時，系統(tǒng)（3）在區(qū)域內(nèi)僅存在唯一的一個無病平衡點，并且可以得出平衡點在其邊界上，所以在區(qū)域W內(nèi)不存在有閉軌線，而且系統(tǒng)（3）從區(qū)域W內(nèi)出發(fā)的軌線都不會超出W，又考慮到區(qū)域W的有界性，則對任給區(qū)域W內(nèi)的一個初始值，系統(tǒng)（3）的滿足初始值的解（S,I）最終都將趨向于平衡點，又因為平衡點的局部漸近穩(wěn)定性，可得出是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，在所給群體中無論初始值的染病者會有多少，傳染病都將不會流行且會逐漸消失。定理5 當(dāng)且成立時，地方病平衡點 在區(qū)域內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。證明： 要證明點在區(qū)域W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，只需要證明在區(qū)域W內(nèi)不存在系統(tǒng)（3）的閉軌線即可[11]，構(gòu)造Dulac函數(shù)，有 ，所以保持常號，且其不在區(qū)域W內(nèi)任何子區(qū)域內(nèi)恒為零，則系統(tǒng)（3）在區(qū)域W內(nèi)不存在閉軌線，所以地方病平衡點在區(qū)域W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，一旦有患病者，疾病就會流行而最終的易感者和患病者都將分別穩(wěn)定為數(shù)量，從而形成地方病。3 數(shù)值模擬下面用Matlab數(shù)學(xué)軟件進行數(shù)值模擬，通過模擬能夠清晰了解模型軌線的走向，并驗證定理4和定理5的正確性，進而更好的了解無病點和地方病的發(fā)展趨勢。取參數(shù)，，，，則系統(tǒng)（3）為：滿足條件，運用Matlab軟件由定理4可知，無病平衡點在區(qū)域W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的（見圖1）。 圖1 無病平衡點的數(shù)值模擬
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